等差数列讲义02.docx
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等差数列讲义02
德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：
1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？
老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢？
原来小高斯通过细心观察发现：
1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，小高斯把这道题巧算为
（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如：
（1）1，2，3，4，5，…，100；
（2）1，3，5，7，9，…，99；
（3）8，15，22，29，36，…，71。
其中
（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；
（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：
和=（首项+末项）×项数÷2。
例11＋2＋3＋…＋1999＝？
分析与解：
这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。
由等差数列求和公式可得
原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：
利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例211＋12＋13＋…＋31＝？
分析与解：
这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。
根据首项、末项、公差的关系，可以得到
项数=（末项-首项）÷公差+1，
末项=首项+公差×（项数-1）。
例33＋7＋11＋…＋99＝？
分析与解：
3，7，11，…，99是公差为4的等差数列，
项数=（99－3）÷4＋1＝25，
原式=（3＋99）×25÷2＝1275。
例4求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。
解：
末项=25＋3×（40-1）＝142，
和=（25＋142）×40÷2＝3340。
利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解决各种与等差数列求和有关的问题。
例5在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2，边长是1根火柴棍。
问：
（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？
（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？
分析：
最大三角形共有8层，从上往下摆时，每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表：
由上表看出，各层的小三角形数成等差数列，各层的火柴数也成等差数列。
解：
（1）最大三角形面积为
（1＋3＋5＋…＋15）×12
＝［（1＋15）×8÷2］×12
＝768（厘米2）。
（2）火柴棍的数目为
3＋6＋9+…+24
＝（3＋24）×8÷2=108（根）。
答：
最大三角形的面积是768厘米2，整个图形由108根火柴摆成。
例6盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里。
这时盒子里共有多少只乒乓球？
分析与解：
一只球变成3只球，实际上多了2只球。
第一次多了2只球，第二次多了2×2只球……第十次多了2×10只球。
因此拿了十次后，多了
2×1＋2×2＋…＋2×10
＝2×（1＋2＋…＋10）
＝2×55＝110（只）。
加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝113（只）。
综合列式为：
（3-1）×（1＋2＋…＋10）＋3
＝2×［（1＋10）×10÷2］＋3＝113（只）。
练习3
1.计算下列各题：
（1）2＋4＋6＋…＋200；
（2）17＋19＋21＋…＋39；
（3）5＋8＋11＋14＋…＋50；
（4）3＋10＋17＋24＋…＋101。
2.求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。
3.求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和。
4.时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟也敲一下。
问：
时钟一昼夜敲打多少次？
5.求100以内除以3余2的所有数的和。
6.在所有的两位数中，十位数比个位数大的数共有多少个？
答 案
1.
（1）10100；
（2）336；（3）440；（4）780。
2.1127。
提示：
项数=（93-5）÷4+1=23。
3.2565。
提示：
末项=13+5×（30-1）=158。
4.180次。
解：
（1+2+…+12）×2+24=180（次）。
5.1650。
解：
2+5+8+…+98=1650。
6.45个。
提示：
十位数为1，2，…，9的分别有1，2，…，9个。
鸡兔同笼问题是按照题目的内容涉及到鸡与兔而命名的，它是一类有名的中国古算题。
许多小学算术应用题，都可以转化为鸡兔同笼问题来加以计算。
例1小梅数她家的鸡与兔，数头有16个，数脚有44只。
问：
小梅家的鸡与兔各有多少只？
分析：
假设16只都是鸡，那么就应该有2×16＝32（只）脚，但实际上有44只脚，比假设的情况多了44-32＝12（只）脚，出现这种情况的原因是把兔当作鸡了。
如果我们以同样数量的兔去换同样数量的鸡，那么每换一只，头的数目不变，脚数增加了2只。
因此只要算出12里面有几个2，就可以求出兔的只数。
解：
有兔（44-2×16）÷（4-2）=6（只），
有鸡16-6＝10（只）。
答：
有6只兔，10只鸡。
当然，我们也可以假设16只都是兔子，那么就应该有4×16＝64（只）脚，但实际上有44只脚，比假设的情况少了64－44＝20（只）脚，这是因为把鸡当作兔了。
我们以鸡去换兔，每换一只，头的数目不变，脚数减少了4-2＝2（只）。
因此只要算出20里面有几个2，就可以求出鸡的只数。
有鸡（4×16-44）÷（4-2）=10（只），
有兔16——10＝6（只）。
由例1看出，解答鸡兔同笼问题通常采用假设法，可以先假设都是鸡，然后以兔换鸡；也可以先假设都是兔，然后以鸡换兔。
因此这类问题也叫置换问题。
例2100个和尚140个馍，大和尚1人分3个馍，小和尚1人分1个馍。
问：
大、小和尚各有多少人？
分析与解：
本题由中国古算名题“百僧分馍问题”演变而得。
如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看作腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解。
假设100人全是大和尚，那么共需馍300个，比实际多300－140＝160（个）。
现在以小和尚去换大和尚，每换一个总人数不变，而馍就要减少3——1＝2（个），因为160÷2＝80，故小和尚有80人，大和尚有
100－80＝20（人）。
同样，也可以假设100人都是小和尚，同学们不妨自己试试。
在下面的例题中，我们只给出一种假设方法。
例3彩色文化用品每套19元，普通文化用品每套11元，这两种文化用品共买了16套，用钱280元。
问：
两种文化用品各买了多少套？
分析与解：
我们设想有一只“怪鸡”有1个头11只脚，一种“怪兔”有1个头19只脚，它们共有16个头，280只脚。
这样，就将买文化用品问题转换成鸡兔同笼问题了。
假设买了16套彩色文化用品，则共需19×16＝304（元），比实际多304——280＝24（元），现在用普通文化用品去换彩色文化用品，每换一套少用19——11＝8（元），所以
买普通文化用品24÷8=3（套），
买彩色文化用品16－3＝13（套）。
例4鸡、兔共100只，鸡脚比兔脚多20只。
问：
鸡、兔各多少只？
分析：
假设100只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚200只，而兔的脚数为零。
这样鸡脚比兔脚多200只，而实际上只多20只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多200——20=180（只）。
现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少2只，兔脚增加4只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少4＋2＝6（只），而180÷6＝30，因此有兔子30只，鸡100——30＝70（只）。
解：
有兔（2×100——20）÷（2＋4）＝30（只），
有鸡100——30=70（只）。
答：
有鸡70只，兔30只。
例5现有大、小油瓶共50个，每个大瓶可装油4千克，每个小瓶可装油2千克，大瓶比小瓶共多装20千克。
问：
大、小瓶各有多少个？
分析：
本题与例4非常类似，仿照例4的解法即可。
解：
小瓶有（4×50-20）÷（4＋2）＝30（个），
大瓶有50-30＝20（个）。
答：
有大瓶20个，小瓶30个。
例6一批钢材，用小卡车装载要45辆，用大卡车装载只要36辆。
已知每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，那么这批钢材有多少吨？
分析：
要算出这批钢材有多少吨，需要知道每辆大卡车或小卡车能装多少吨。
利用假设法，假设只用36辆小卡车来装载这批钢材，因为每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，所以要剩下4×36=144（吨）。
根据条件，要装完这144吨钢材还需要45-36=9（辆）小卡车。
这样每辆小卡车能装144÷9＝16（吨）。
由此可求出这批钢材有多少吨。
解：
4×36÷（45-36）×45＝720（吨）。
答：
这批钢材有720吨。
例7乐乐百货商店委托搬运站运送500只花瓶，双方商定每只运费0.24元，但如果发生损坏，那么每打破一只不仅不给运费，而且还要赔偿1.26元，结果搬运站共得运费115.5元。
问：
搬运过程中共打破了几只花瓶？
分析：
假设500只花瓶在搬运过程中一只也没有打破，那么应得运费0.24×500=120（元）。
实际上只得到115.5元，少得120-115.5=4.5（元）。
搬运站每打破一只花瓶要损失0.24＋1.26＝1.5（元）。
因此共打破花瓶4.5÷1.5＝3（只）。
解：
（0.24×500－115.5）÷（0.24＋1.26）＝3（只）。
答：
共打破3只花瓶。
例8小乐与小喜一起跳绳，小喜先跳了2分钟，然后两人各跳了3分钟，一共跳了780下。
已知小喜比小乐每分钟多跳12下，那么小喜比小乐共多跳了多少下？
分析与解：
利用假设法，假设小喜的跳绳速度减少到与小乐一样，那么两人跳的总数减少了
12×（2＋3）＝60（下）。
可求出小乐每分钟跳
（780——60）÷（2＋3＋3）＝90（下），
小乐一共跳了90×3=270（下），因此小喜比小乐共多跳
780——270×2＝240（下）。
练习13
1．鸡、兔共有头100个，脚350只，鸡、兔各有多少只？
2．学校有象棋、跳棋共26副，2人下一副象棋，6人下一副跳棋，恰好可供120个学生进行活动。
问：
象棋与跳棋各有多少副？
3．班级购买活页簿与日记本合计32本，花钱74元。
活页簿每本1.9元，日记本每本3.1元。
问：
买活页簿、日记本各几本？
4．龟、鹤共有100个头，鹤腿比龟腿多20只。
问：
龟、鹤各几只？
5．小蕾花40元钱买了14张贺年卡与明信片。
贺年卡每张3元5角，明信片每张2元5角。
问：
贺年卡、明信片各买了几张？
6．一个工人植树，晴天每天植树20棵，雨天每天植树12棵，他接连几天共植树112棵，平均每天植树14棵。
问：
这几天中共有几个雨天？
7．振兴小学六年级举行数学竞赛，共有20道试题。
做对一题得5分，没做或做错一题都要扣3分。
小建得了60分，那么他做对了几道题？
8．有一批水果，用大筐80只可装运完，用小筐120只也可装运完。
已知每只大筐比每只小筐多装运20千克，那么这批水果有多少千克？
9．蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。
现有三种小虫共18只，有118条腿和20对翅膀。
问：
每种小虫各有几只？
10．鸡、兔共有脚100只，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共有脚92只。
问：
鸡、兔各几只？
1.兔75只，鸡25只。
2.象棋9副，跳棋17副。
3.活页簿21本，日记本11本。
4.30只龟，70只鹤。
5.贺年卡5张，明信片9张。
6.6天。
7.15道。
8.4800千克。
解：
［（80×20）÷（120-80）］×120＝4800（千克）。
9.5只蜘蛛，7只蜻蜓，6只蝉。
提示：
把小虫分成8条腿与6条腿两种，先求出蜘蛛的数。
10.兔18只，鸡14只。
解：
由于鸡换成兔，兔换成鸡，脚的只数少了8只，故原来的兔比鸡多4只。
减去这4只兔，则鸡、兔一样多，并且共有脚100-4×4=84（只），所以，
鸡有84÷（4+2）=14（只），
兔有14+4=18（只）。
（1）5678+1999=
（2）8765-1998=
2，（8641+8642+8643+8641+8643+8638+8639）÷7=
3，
（1）99999×22222+33333×33334=
（2）66666×10001+66666×6666=
4，
（1）2+4+6+8+10+12+…………+96+98+100=
（2）1000+999-998+997+996-995+…………+106+105-104+103+102-101=
5，在19和91之间插入5个数，使这7个数构成一个等差数列，写出插入的5个数。
6，判断：
12+13+14+……+86+87的和是一个奇数还是一个偶数
7，19991999×19991998-19992000×19991997=
8，19981999×19991998-19981998×19991999=
答 案
1计算
（1）5678+1999=5678+（2000-1）=5678+2000-1 =7677
（2）8765-1998
=8765-（2000-2）
=8765-2000+2
=6768
2，（8641+8642+8643+8641+8643+8638+8639）÷7
=（8640+1+8640+2+8640+3+8640+1+8640+3+8640-2+8640-1）÷7
=（8640×7+7）÷7
=8641×7÷7
=8641
3，
（1）99999×22222+33333×33334
=33333×66666+33333×33334
=33333×（66666+33334）
=33333×100000
=3333300000
（2）66666×10001+66666×6666
=11111×（6×10001+6×6666）
=11111×100002
=1111122222
4，
（1）2+4+6+8+10+12+…………+96+98+100
=（2+100）×50÷2
=2550
（2）1000+999-998+997+996-995+…………+106+105-104+103+102-101
=165750（把3个数看成一组计算出结果结果是一个等差数列）
5，在19和91之间插入5个数，使这7个数构成一个等差数列，写出插入的5个数。
答案：
3143556779
6，判断：
12+13+14+……+86+87的和是一个奇数还是一个偶数
答案：
偶数把数分为2组一组奇一组偶发现奇有38个偶数有37个加起来还是偶数
7，19991999×19991998-19992000×19991997
=19991999×（19991999-1）-（19991999+1）×（19991999-2）
=2
8，19981999×19991998-19981998×19991999
=（19981998+1）×（19991999-1）-19981998×19991999
=10000
9+99+999+9999+99999=
2，199999+19999+1999+199+19=
3，（2+4+6+8+10+……+1886+1888）—（1+3+5+7+9+……+1885+1887）=
4，9999×2222＋3333×3334＝
5，56×32＋56×27＋56×96－56×57＋56＝
6，98766×98768－98765×98769＝
1，计算9＋99＋999＋9999＋99999
解：
在涉及所有数字都是9的计算中，常使用凑整法.例如将999化成1000—1去计算.这是小学数学中常用的一种技巧.
9＋99＋999＋9999＋99999
＝（10－1）＋（100-1）＋（1000－1）＋（10000-1）＋（100000-1）
＝10＋100＋1000＋10000＋100000-5
＝111110-5
＝111105.
2，计算199999＋19999＋1999＋199＋19
解：
此题各数字中，除最高位是1外，其余都是9，仍使用凑整法.不过这里是加1凑整.（如199＋1＝200）
199999＋19999＋1999＋199＋19
＝（19999＋1）＋（19999＋1）＋（1999＋1）＋（199＋1）＋（19＋1）－5
＝200000＋20000＋2000＋200＋20-5
＝222220-5
＝22225.
3，计算（2+4+6+…+996+998+1000）－－（1+3+5+…+995+997+999）
分析：
题目要求的是从2到1000的偶数之和减去从1到999的奇数之和的差，如果按照常规的运算法则去求解，需要计算两个等差数列之和，比较麻烦。
但是观察两个扩号内的对应项，可以发现2－1=4－3=6－5=…1000－999=1，因此可以对算式进行分组运算。
解：
解法一、分组法
（2+4+6+…+996+998+1000）－（1+3+5+…+995+997+999）
=（2－1）+（4－3）+（6－5）+…+（996－995）+（998－997）+（1000－999）
=1+1+1+…+1+1+1（500个1）
=500
解法二、等差数列求和
（2+4+6+…+996+998+1000）－（1+3+5+…+995+997+999）
=（2+1000）×500÷2－（1+999）×500÷2
=1002×250－1000×250
=（1002－1000）×250
=500
4，计算9999×2222＋3333×3334
解：
此题如果直接乘，数字较大，容易出错.如果将9999变为3333×3，规律就出现了.
9999×2222＋3333×3334
＝3333×3×2222＋3333×3334
＝3333×6666＋3333×3334
＝3333×（6666＋3334）
＝3333×10000
＝33330000.
5，56×3+56×27+56×96-56×57+56
分析：
乘法分配律同样适合于多个乘法算式相加减的情况，在计算加减混合运算时要特别注意，提走公共乘数后乘数前面的符号。
同样的，乘法分配率也可以反着用，即将一个乘数凑成一个整数，再补上他们的和或是差。
56×3+56×27+56×96-56×57+56
=56×（32+27+96－57+1）
=56×99
=56×（100－1）
=56×100－56×1
=5600－56
=5544
6，计算98766×98768－98765×98769
分析：
将乘数进行拆分后可以利用乘法分配律，将98766拆成（98765+1），将98769拆成（98768+1），这样就保证了减号两边都有相同的项。
解：
98766×98768－98765×98769
=（98765+1）×98768－98765×（98768+1）
=98765×98768+98768－（98765×98768+98765）
=98765×98768+98768－98765×98768-98765
=98768－98765
=3
1．仔细观察每一排数的排列有什么规律，然后按规律在（）内填上适当的数．
（1）2，4，8，16，（），64．
（2）1，4，9，16，（），36，49．64．
（3）1，4，7，10，13，（），19，21．
（4）1，4，16，64，（），1024，4096．
（5）2，3，5，9，17，（），65，129．
2．在○中填数：
已知9999÷9=1111，想一想：
在○中填上什么数字，才能使下面的等式成立？
（1）○999○÷9=2222；
（2）○999○÷9=3333；
（3）○999○÷9=4444；
（4）○999○÷9=7777；
（5）○999○÷9=9999．
答 案
1.
（1）32
（2）25（3）16（4）256（5）33
2.
（1）19998
（2）29997（3）39996（4）69993（5）89991
口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各20个。
问：
一次最少摸出几个球，才能保证至少有4个小球颜色相同？
2，口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球共18个。
其中红球3个、黄球5个、蓝球10个。
现在一次从中任意取出n个，为保证这n个小球至少有5个同色，n的最小值是多少？
3，一排椅子只有15个座位，部分座位已有人就座，乐乐来后一看，他无论坐在哪个座位，都将与已就座的人相邻。
问：
在乐乐之前已就座的最少有几人？
4，一把钥匙只能开一把锁，现有10把钥匙和10把锁，最少要试验多少次就一定能使全部的钥匙和锁相匹配？
5，在一副扑克牌中，最少要取出多少张，才能保证取出的牌中四种花色都有？
、123+234+345+456+567+678=
2、4999+499+49=
3、25×（877+872+871+876）＝
4、888×（99+25+1）＝
5、65×128+174×65－65×202＝
答 案
1.2403
2.5547
3.87400
4.111000
5.6500
、31+46+32+47+33+48+34+49＝
2、125×7×64÷8＝
3、1+2-3+4+5-6+7+8-9+10+11-12+……+58+59-60＝
4、90÷（9÷8）÷（8÷7）÷（7÷6）÷（6÷5）＝
答 案
1、320
2、7000
3、570
4、50
（1）5678+1999=
（2）8765-1998=
2，（8641+8642+8643+8641+8643+8638+8639）÷7=
3，
（1）99999×22222+33333×33334=
（2）66666×10001+66666×6666=
4，
（1）2+4+6+8+10+12+…………+96+98+100=
（2）1000+999-998+997+996
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