等差数列讲义02.docx

1、等差数列讲义02德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：123499100？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：110029939849525051。1100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）10025050。小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。后项与前项之差都相等的数列称为等

2、差数列，后项与前项之差称为公差。例如：（1）1，2，3，4，5，100；（2）1，3，5，7，9，99；（3）8，15，22，29，36，71。其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）项数2。例1 1231999？分析与解：这串加数1，2，3，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。由等差数列求和公式可得原式=（11999）199921999000。注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中

3、的各个加数是否构成等差数列。例2 11121331？分析与解：这串加数11，12，13，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11121（项）。原式=（11+31）212=441。在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。根据首项、末项、公差的关系，可以得到项数=（末项-首项）公差+1，末项=首项+公差（项数-1）。例3 371199？分析与解：3，7，11，99是公差为4的等差数列，项数=（993）4125，原式=（399）2521275。例4 求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。解：末项=253（40-1）142，和=（25142）4

4、023340。利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解决各种与等差数列求和有关的问题。例5 在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2，边长是1根火柴棍。问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？分析：最大三角形共有8层，从上往下摆时，每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表：由上表看出，各层的小三角形数成等差数列，各层的火柴数也成等差数列。解：（1）最大三角形面积为（13515）12（115）8212768（厘米2）。（2）火柴棍的数目为369+24（324）82=108（根）。答：最大三角形的面积是768厘米2，整个图形由108根火柴摆成。例6

5、 盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里。这时盒子里共有多少只乒乓球？分析与解：一只球变成3只球，实际上多了2只球。第一次多了2只球，第二次多了22只球第十次多了210只球。因此拿了十次后，多了21222102（1210）255110（只）。加上原有的3只球，盒子里共有球1103113（只）。综合列式为：（3-1）（1210）32（110）1023113（只）。 练习31.计算下列各题：（1）246200；（2）17192139

6、；（3）58111450；（4）3101724101。2.求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。3.求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和。4.时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟也敲一下。问：时钟一昼夜敲打多少次？5.求100以内除以3余2的所有数的和。6.在所有的两位数中，十位数比个位数大的数共有多少个？答 案1.（1）10100；（2）336；（3）440；（4）780。 2.1127。 提示：项数=（93-5）4+1=23。3.2565。 提示：末项=13+5（30-1）=158。4.180次。 解：（1+2+12）2+24=180（次）。5.1650

7、。 解：2+5+8+98=1650。6.45个。提示：十位数为1，2，9的分别有1，2，9个。鸡兔同笼问题是按照题目的内容涉及到鸡与兔而命名的，它是一类有名的中国古算题。许多小学算术应用题，都可以转化为鸡兔同笼问题来加以计算。例1 小梅数她家的鸡与兔，数头有16个，数脚有44只。问：小梅家的鸡与兔各有多少只？分析：假设16只都是鸡，那么就应该有21632（只）脚，但实际上有44只脚，比假设的情况多了44-3212（只）脚，出现这种情况的原因是把兔当作鸡了。如果我们以同样数量的兔去换同样数量的鸡，那么每换一只，头的数目不变，脚数增加了2只。因此只要算出12里面有几个2，就可以求出兔的只数。解：有

8、兔（44-216）（4-2）=6（只），有鸡16-610（只）。答：有6只兔，10只鸡。当然，我们也可以假设16只都是兔子，那么就应该有41664（只）脚，但实际上有44只脚，比假设的情况少了644420（只）脚，这是因为把鸡当作兔了。我们以鸡去换兔，每换一只，头的数目不变，脚数减少了4-22（只）。因此只要算出20里面有几个2，就可以求出鸡的只数。有鸡（416-44）（4-2）=10（只），有兔16106（只）。由例1看出，解答鸡兔同笼问题通常采用假设法，可以先假设都是鸡，然后以兔换鸡；也可以先假设都是兔，然后以鸡换兔。因此这类问题也叫置换问题。例2 100个和尚140个馍，大和尚1人分3个

9、馍，小和尚1人分1个馍。问：大、小和尚各有多少人？分析与解：本题由中国古算名题“百僧分馍问题”演变而得。如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看作腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解。假设100人全是大和尚，那么共需馍300个，比实际多300140160（个）。现在以小和尚去换大和尚，每换一个总人数不变，而馍就要减少312（个），因为160280，故小和尚有80人，大和尚有1008020（人）。同样，也可以假设100人都是小和尚，同学们不妨自己试试。在下面的例题中，我们只给出一种假设方法。例3 彩色文化用品每套19元，普通文化用品每套11元，这两种文化用品共买了16套，用钱280元。问

10、：两种文化用品各买了多少套？分析与解：我们设想有一只“怪鸡”有1个头11只脚，一种“怪兔”有1个头19只脚，它们共有16个头，280只脚。这样，就将买文化用品问题转换成鸡兔同笼问题了。假设买了16套彩色文化用品，则共需1916304（元），比实际多30428024（元），现在用普通文化用品去换彩色文化用品，每换一套少用19118（元），所以买普通文化用品 248=3（套），买彩色文化用品 16313（套）。例4 鸡、兔共100只，鸡脚比兔脚多20只。问：鸡、兔各多少只？分析：假设100只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚200只，而兔的脚数为零。这样鸡脚比兔脚多200只，而实际上只多20只，这说明假

11、设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多20020=180（只）。现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少2只，兔脚增加4只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少426（只），而180630，因此有兔子30只，鸡1003070（只）。解：有兔（210020）（24）30（只），有鸡10030=70（只）。答：有鸡70只，兔30只。例5 现有大、小油瓶共50个，每个大瓶可装油4千克，每个小瓶可装油2千克，大瓶比小瓶共多装20千克。问：大、小瓶各有多少个？分析：本题与例4非常类似，仿照例4的解法即可。解：小瓶有（450-20）（42）30（个），大瓶有50-3020（个）。答：有大瓶20个，小瓶30个。例6 一批钢材，用

12、小卡车装载要45辆，用大卡车装载只要36辆。已知每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，那么这批钢材有多少吨？分析：要算出这批钢材有多少吨，需要知道每辆大卡车或小卡车能装多少吨。利用假设法，假设只用36辆小卡车来装载这批钢材，因为每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，所以要剩下436=144（吨）。根据条件，要装完这144吨钢材还需要45-36=9（辆）小卡车。这样每辆小卡车能装144916（吨）。由此可求出这批钢材有多少吨。解：436（45-36）45720（吨）。答：这批钢材有720吨。例7 乐乐百货商店委托搬运站运送500只花瓶，双方商定每只运费0.24元，但如果发生损坏，那么每打破一只不仅不给运费，

13、而且还要赔偿1.26元，结果搬运站共得运费115.5元。问：搬运过程中共打破了几只花瓶？分析：假设500只花瓶在搬运过程中一只也没有打破，那么应得运费0.24500=120（元）。实际上只得到115.5元，少得120-115.5=4.5（元）。搬运站每打破一只花瓶要损失0.241.261.5（元）。因此共打破花瓶4.51.53（只）。解：（0.24500115.5）（0.241.26）3（只）。答：共打破3只花瓶。例8 小乐与小喜一起跳绳，小喜先跳了2分钟，然后两人各跳了3分钟，一共跳了780下。已知小喜比小乐每分钟多跳12下，那么小喜比小乐共多跳了多少下？分析与解：利用假设法，假设小喜的跳绳

14、速度减少到与小乐一样，那么两人跳的总数减少了12（23）60（下）。可求出小乐每分钟跳（78060）（233）90（下），小乐一共跳了903=270（下），因此小喜比小乐共多跳7802702240（下）。 练习131鸡、兔共有头100个，脚350只，鸡、兔各有多少只？2学校有象棋、跳棋共26副，2人下一副象棋，6人下一副跳棋，恰好可供120个学生进行活动。问：象棋与跳棋各有多少副？3班级购买活页簿与日记本合计32本，花钱74元。活页簿每本1.9元，日记本每本3.1元。问：买活页簿、日记本各几本？4龟、鹤共有100个头，鹤腿比龟腿多20只。问：龟、鹤各几只？5小蕾花40元钱买了14张贺年卡与明信

15、片。贺年卡每张3元5角，明信片每张2元5角。问：贺年卡、明信片各买了几张？6一个工人植树，晴天每天植树20棵，雨天每天植树12棵，他接连几天共植树112棵，平均每天植树14棵。问：这几天中共有几个雨天？7振兴小学六年级举行数学竞赛，共有20道试题。做对一题得5分，没做或做错一题都要扣3分。小建得了60分，那么他做对了几道题？8有一批水果，用大筐80只可装运完，用小筐120只也可装运完。已知每只大筐比每只小筐多装运20千克，那么这批水果有多少千克？9蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。现有三种小虫共18只，有118条腿和20对翅膀。问：每种小虫各有几只？10鸡、兔共有脚1

16、00只，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共有脚92只。问：鸡、兔各几只？1.兔75只，鸡25只。 2.象棋9副，跳棋17副。3.活页簿21本，日记本11本。4.30只龟，70只鹤。5.贺年卡5张，明信片9张。6.6天。 7.15道。8.4800千克。解：（8020）（120-80）1204800（千克）。9.5只蜘蛛，7只蜻蜓，6只蝉。提示：把小虫分成8条腿与6条腿两种，先求出蜘蛛的数。10.兔18只，鸡14只。解：由于鸡换成兔，兔换成鸡，脚的只数少了8只，故原来的兔比鸡多4只。减去这4只兔，则鸡、兔一样多，并且共有脚100-44=84（只），所以，鸡有84（4+2）=14（只），兔有14+4=18

17、（只）。（1） 5678+1999= （2） 8765-1998=2，（8641+8642+8643+8641+8643+8638+8639）7=3，（1）9999922222+3333333334= （2）6666610001+666666666=4，（1）2+4+6+8+10+12+96+98+100= （2）1000+999-998+997+996-995+106+105-104+103+102-101=5，在19和91之间插入5个数，使这7个数构成一个等差数列，写出插入的5个数。6，判断：12+13+14+86+87的和是一个奇数还是一个偶数7，1999199919991998-199

18、9200019991997=8，1998199919991998-1998199819991999=答 案1计算 （1）5678+1999=5678+（2000-1）=5678+2000-1 =7677 （2） 8765-1998=8765-(2000-2) =8765-2000+2 =67682，（8641+8642+8643+8641+8643+8638+8639）7 =(8640+1+8640+2+8640+3+8640+1+8640+3+8640-2+8640-1) 7 =(8640 7+7) 7 =864177 =8641 3，（1）9999922222+3333333334 =33

19、33366666+3333333334 =33333(66666+33334) =33333 100000 =3333300000 （2）6666610001+666666666 =11111（610001+66666） =11111100002 =11111222224，（1）2+4+6+8+10+12+96+98+100=(2+100) 502=2550 （2）1000+999-998+997+996-995+106+105-104+103+102-101=165750(把3个数看成一组 计算出结果 结果是一个等差数列)5，在19和91之间插入5个数，使这7个数构成一个等差数列，写出插入的

20、5个数。答案：31 43 55 67 796，判断：12+13+14+86+87的和是一个奇数还是一个偶数答案：偶数 把数分为2组 一组奇 一组偶 发现奇有38个 偶数有37个 加起来还是偶数7，1999199919991998-1999200019991997 =19991999（19991999-1）-（19991999+1）(19991999-2) =28，1998199919991998-1998199819991999 =(19981998+1) (19991999-1)-1998199819991999 =100009+99+999+9999+99999=2，199999+1999

21、9+1999+199+19=3，（2+4+6+8+10+1886+1888）（1+3+5+7+9+1885+1887）=4，99992222333333345，5632562756965657566，987669876898765987691， 计算999999999999999解：在涉及所有数字都是9的计算中，常使用凑整法.例如将999化成10001去计算.这是小学数学中常用的一种技巧.999999999999999（101）（100-1）（10001）（10000-1）（100000-1）10100100010000100000-5111110-5111105.2， 计算199999199

22、99199919919解：此题各数字中，除最高位是1外，其余都是9，仍使用凑整法.不过这里是加1凑整.（如 1991200）19999919999199919919（199991）（199991）（19991）（1991）（191）520000020000200020020-5222220-522225.3，计算（2+4+6+996+998+1000）（1+3+5+995+997+999）分析：题目要求的是从2到1000的偶数之和减去从1到999的奇数之和的差，如果按照常规的运算法则去求解，需要计算两个等差数列之和，比较麻烦。但是观察两个扩号内的对应项，可以发现21=43=65=1000999

23、=1，因此可以对算式进行分组运算。解：解法一、分组法（2+4+6+996+998+1000）（1+3+5+995+997+999）=（21）+（43）+（65）+（996995）+（998997）+（1000999）=1+1+1+1+1+1（500个1）=500解法二、等差数列求和（2+4+6+996+998+1000）（1+3+5+995+997+999）=（2+1000）5002（1+999）5002=10022501000250=（10021000）250=5004，计算 9999222233333334解：此题如果直接乘，数字较大，容易出错.如果将9999变为33333，规律就出现了.

24、99992222333333343333322223333333433336666333333343333（66663334）33331000033330000.5，563+5627+5696-5657+56分析：乘法分配律同样适合于多个乘法算式相加减的情况，在计算加减混合运算时要特别注意，提走公共乘数后乘数前面的符号。同样的，乘法分配率也可以反着用，即将一个乘数凑成一个整数，再补上他们的和或是差。563+5627+5696-5657+56=56（32+27+9657+1）=5699=56（1001）=56100561=560056=55446，计算98766987689876598769分析

25、：将乘数进行拆分后可以利用乘法分配律，将98766拆成（98765+1），将98769拆成（98768+1），这样就保证了减号两边都有相同的项。解：98766987689876598769=（98765+1）9876898765（98768+1）=9876598768+98768（9876598768+98765）=9876598768+987689876598768-98765=9876898765=31仔细观察每一排数的排列有什么规律，然后按规律在（ ）内填上适当的数（1）2，4，8，16，（ ），64（2）1，4，9，16，（ ），36，4964（3）1，4，7，10，13，（ ），19

26、，21（4）1，4，16，64，（ ），1024，4096（5）2，3，5，9，17，（ ），65，1292在中填数：已知99999=1111，想一想：在中填上什么数字，才能使下面的等式成立？ （1）9999=2222；（2）9999=3333；（3）9999=4444；（4）9999=7777；（5）9999=9999答 案1.（1） 32（2） 25（3） 16（4） 256（5）332.（1）19998（2）29997（3） 39996（4） 69993（5）89991口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各20个。问：一次最少摸出几个球，才能保证至少有4个小球颜色相同？2

27、，口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球共18个。其中红球3个、黄球5个、蓝球10个。现在一次从中任意取出n个，为保证这n个小球至少有5个同色，n的最小值是多少？3，一排椅子只有15个座位，部分座位已有人就座，乐乐来后一看，他无论坐在哪个座位，都将与已就座的人相邻。问：在乐乐之前已就座的最少有几人？4，一把钥匙只能开一把锁，现有10把钥匙和10把锁，最少要试验多少次就一定能使全部的钥匙和锁相匹配？5，在一副扑克牌中，最少要取出多少张，才能保证取出的牌中四种花色都有？、123+234+345+456+567+678=2、4999+499+49=3、25（877+872+871+87

28、6）4、888（99+25+1）5、65128+1746565202答 案1.24032.55473.874004.1110005.6500、31+46+32+47+33+48+34+492、12576483、1+2-3+4+5-6+7+8-9+10+11-12+58+59-604、90（98）（87）（76）（65）答 案1、3202、70003、5704、50（1） 5678+1999= （2） 8765-1998=2，（8641+8642+8643+8641+8643+8638+8639）7=3，（1）9999922222+3333333334= （2）6666610001+666666666=4，（1）2+4+6+8+10+12+96+98+100= （2）1000+999-998+997+996