线性变换练习题.docx
《线性变换练习题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性变换练习题.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
线性变换练习题
线性变换习题
一、填空题
3
1.设是P3的线性变换，（a,b,c）（2bc,a4b,3a），a,b,cP，1（1,0,0）,
2（0,1,0）,3（0,0,1）是P3的一组基，则在基1,2,3下的矩阵为
3
，又123P,则（）。
2.设A为数域P上秩为r的n阶矩阵，定义n维列向量空间Pn的线性变换：
（）A，Pn，则dim1（0）＝，dim（Pn）＝。
112
3.设P上三维列向量空间V的线性变换在基1,2,3下的矩阵是201，则
121
在基2,1,3下的矩阵是。
4.如果矩阵A的特征值等于1，则行列式|AE|=。
211
5.设A=121，（X）AX是P3上的线性变换，那么的零度=。
112
6.若APnn，且A2E，则A的特征值为。
7.在P[x]n中，线性变换D（f（x））f'（x），则D在基1,x,x2,L,xn1下的矩阵为。
8.在P22中，线性变换:
A
E3
10A在基E110,E201
20100200
下的矩阵是
3
2
1
9.设A5
0
2的三个特征值为1，
1
1
4
2，3，则1+2+3=
123
10.数域P上n维线性空间V的全体线性变换所成的线性空间L（V）为维线性空间，
它与同构。
已知n阶方阵A满足A2A，则A的特征值为。
已知3阶矩阵A的特征值为1,2,3,则|A|。
1
设为数域P上的线性空间V的线性变换,若是单射,则1（0）=
设三阶方阵A的特征值为1,2,-2,则|2A|=
在P[x]n中，线性变换D（f（x））f'（x），则D在基1,2x,3x2,L,nxn1下的矩阵为。
a11
a12
a13
已知线性变换在基1,2,3下的矩阵为a21
a22
a23，则
在基
2,
3,1下的矩
a31
a32
a33
阵为。
1
1
2
设P上三维列向量空间V的线性变换在基1,
2,
3下的矩阵是
2
0
1，则
1
2
1
在基2,1,3下的矩阵是
2的矩阵为11，线性变换在基
201
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
矩阵为
2
1
1
22.若线性变换在基
1,2,3下的矩阵为0
1
1，则在基3,2,1下的矩阵为
矩阵为
1
。
2
1
23.若APnn，且A2
E，则A的特征值为
。
选择题
列哪种变换一定是向量空间
A．fx
C．fx
当n阶矩阵A适合条件（A．
C．
A．设
A．
C．
Fxn的线性变换（
B．
fx
fxdx
D．
fx
）。
A有n个不同的特征向量A有n个不同的特征值
2，则的所有特征值为（
2B．0，2
是3维向量空间上的变换，下列
333
x1,x2,x3=x1,x2,x3
时，它必相似于对角阵。
A是三角矩阵
A是可逆矩阵
是向量空间V上的线性变换，且
x1,x2,x3=cosx1,sinx2,0
B．
D．
设
）。
C．0
中是线性变换的是（
D．0，2，1
）。
B．x1,x2,x3=2x1x2,x2x3,x3
2
D．x1,x2,x3=x1,0,0
L,r是向量空间V的线性相关的向量组，L,r在
A．线性无关
是V的一个线性变换，则向量组
n阶方阵A有n
A．充要条件
下的像
（1）,
（2）,L,（r）（B．线性相关C．线性相关性不确定
个不同的特征值是A可以对角化的（
C．必要而非充分条件
，则的特征值（
A．只有1
B．
D．
B．只有
充分而非必要条件
既非充分也非必要条件
）。
D．全是零向量
）。
间V的线性变换且
）。
C．有1和
D．有0和
如果方阵A与对角阵
相似，则A10=（
）。
A.E
B.A
C.
E
阶单位矩阵，
则（
）。
A．EA
E
B
C．A与B相似于同一个对角矩阵
D.10E
设A、B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n
B．A与B有相同的特征向量和特征值
D．AB
设4级矩阵A与B相似，
B的特征值是1，2，3，4，则A的行列式是（
）。
A．-24
B．10C．24D．不能确定
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
A.
是单射
Ker（）
{0}
B.是满射Im（）V
C.
是双射
Ker（）
{0}
D.是双射是单位映射
设A为3阶矩阵,且A
E,A
E,A2E均不可逆,则错误的是（
）
设是n维线性空间V的线性变换,那么下列说法错误的是（
）。
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
n维线性空间V的线性变换可以对角化的充要条件是（）。
A.A不相似于对角阵
B.A可逆
C.|A
E|
0
D.|A
E|0
设A为3阶矩阵,且其特征多项式为f（）
（1）（
1）（
2）,则错误的是（
）
A.A相似于对角阵
B.A不可逆
C.|A
E|
0
D.|A
E|
0
n维线性空间V的线性变换可以对角化的充要条件是（）。
A.0B.1C.2D.3
C．
x1,x2,x3=cosx1,sinx2,sinx3
D．
x1,x2,x3=x12,x2,0
设
L（V），则下列各式成立的是（
）。
A.
dimImdimKernB.Im
Ker
V
C.
ImKerVD.Im
IKer
{0}
f1（x）2x2，
f2（x）
x，
f3（x）
1xx2
（）求在已知基下的矩阵；
（2）设f（x）12x3x2，求
f（x）。
2.设是二维列向量空间P2的线性变换
：
设x
x1
P2，
11定义xx。
x2
11
1）求值域
P2的基与维数；
（2）求核
1（0）的基与维数。
三、计算题
111
3.设线性变换在基1,2,3下的矩阵是A222
111
（1）求矩阵A以及线性变换的特征值与特征向量；
（2）判断是否可以对角化（即线性变换
是否在某组基下的矩阵为对角形），若
不能对角化，说明理由；若可以对角化，
求可逆阵
T，使T
1AT为对角形。
1
1
1
4.令R3表示实数域R上的三元列向量空间，令
A1
1
1，若
R3，作变换
2
2
2
（）A。
1）证明为R3上的线性变换；
（2）求ker（）及其维数；（3）求Im（）及其维数。
1
2
1
5.设矩阵
A0
0
0，
0
0
0
（1）
求A的特征值和特征向量；
（2）
求可逆矩阵
P，使P1AP为对角矩阵。
1
1
0
1
0
6.令R3表示实数域R上的三元列向量空间，
A0
1
1，1
0，2
1
1
2
1
0
0
1）
若1
12,2
23,331，证明1,2,3为R的一组基；
2）
求1,2
3到1,2,
3的过渡矩阵；
3）
若
R3，作变换
（）A，证明为R3上的线性变换；
4）
求ker（
）及其维数；
5）
求Im（
）及其维数。
设
是R3的线性变换,（x1,x2,x3）（x12x2x3,x2x3,x1x22x3）。
1）
求ker（
）及其维数；
（2）求Im（）及其维数。
7.
1
11
11
可逆阵T，使T1AT为对角形矩阵。
00
61
112
11.设三维线性空间V的线性变换在基1,2,3下的矩阵为A011
101
12.设R[x]3表示实数域上的次数小于
1）求的值域及其维数；
（2）求的核及其维数。
f1（x）
1x，f2（x）1
2
x，
f3（x）x
2
2x2是R[x]3的一组基，线性变换
满足
f1（x）
2
x2，f2（x）
x，
f3（x）1
2xx
1）
求
在已知基下的矩阵；
2）
设f（x）12x
3x2
，求f（x）。
给定
P3
的两组基
1
（1,0,1）,2
（2,1,0）,
3
（1,1,1）；1
（1,2,1）,
2（2,2,1）,3（2,1
1）。
定义线性变换
：
i
i,i1,2,3。
1）
写出由基1,2,3
到基
1,2,3的过渡矩阵；
2）
写出
在基1,2,
3下的矩阵；
3）
写出
在基1,2,
3下的矩阵。
3
2
1
设线性变
换
在基1,2,
3下的矩阵是A
2
2
2,求可逆矩阵
T,使得
3
6
1
3的多项式，再添上零多项式构成的线性空间，而
13.
14.
T1AT为对角形矩阵。
101
15.设A020。
101
（1）求A的全部特征值；
（2）求A的属于每个特征值的特征向量；
（3）求一个可逆矩阵X，使X1AX为对角形。
122
16.设
L（V），且在V的基1,2,3下的矩阵A=224
。
问
242
（1）
是否可以对角化
（2）若
能对角化，求出V的一个基，使在此基下的矩阵为对角矩阵。
4
6
0
17.设数域
P上三维线性空间V的线性变换在基1,2,3下的矩阵A
3
5
0
3
6
1
1）求在基1212,22123，3123下的矩
阵；
2）设1223，求在基1,2,3下的坐标。
四、证明题
2,L
变子空间。
4.设W1,W2是向量空间V的两个子空间，是V的一个线性变换，证明：
若W1,W2都是
的不变子空间，则W1W2也是的不变子空间。
5.设是向量空间V的一个线性变换，W1,W2都是的不变子空间。
证明：
W1W2也是的不变子空间。
6.证明：
线性变换的属于不同特征值的特征向量线性无关。
2
7.设是数域P上的n维线性空间V的线性变换,且2E（恒等变换）。
（1）证明:
的特征值只能为1或-1；
（2）用V1,V1分别表示的属于特征值1和1的特征子空间,证明:
VV1V1。
8.设为数域P上的n维线性空间V的线性变换。
证明:
dimImdimKern。
9.设,L（P[x]），且f（x）P[x],（f（x））f（x）,（f（x））xf（x）.证明I.其中I为恒等变换。
升级会员 