题型五特殊四边形的动态探究题.docx

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题型五特殊四边形的动态探究题

试题演练

1.如图，AD是⊙O的直径，AD＝2BD，点C是

上的不与A、D重合的动点，连接BC，BA，AC.

（1）求∠ACB的度数；

（2）填空：

已知⊙O半径为4.

①当l

＝________时，四边形OBDC是菱形；

②当l

＝________时，四边形ABDC是矩形．

2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以点A为圆心，AC为半径作⊙A，交AB于点D，交CA的延长线于点E，过点E作EF∥AB交⊙A于点F，连接AF，BF，DF.

（1）求证：

△ABC≌△ABF；

（2）填空：

①当∠CAB等于______时，四边形ACBF为正方形；

②当∠CAB等于________时，四边形ADFE为菱形．

3.（’15郑州模拟）如图，扇形OAB的半径OA＝3，圆心角∠AOB＝90°，点C是

上异于A、B的动点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连接DE，点G、H在线段DE上，且DG＝GH＝HE.

（1）当点C在

上运动时，在CD、CG、DG中，长度不变的线段是________，该线段的长度是________；

（2）求证：

四边形OGCH是平行四边形；

（3）当OD＝________时，四边形OGCH是菱形．

4.如图，CD是△ABC的中线，点E是AF的中点，CF∥AB.

（1）求证：

CF＝AD；

（2）若已知AB＝10，AC＝6，填空：

①当BC长为________时，四边形BFCD是矩形；

②当BC长为________时，四边形BFCD是菱形．

5.如图，在矩形ABCD中，AB＝13cm，AD＝4cm，点E、F同时分别从D、B两点出发，以1cm/s的速度沿DC、BA向终点C、A运动，点G、H分别为AE、CF的中点，设运动时间为t（s）．

（1）求证：

四边形EGFH是平行四边形．

（2）填空：

①当t为________s时，四边形EGFH是菱形；

②当t为________s时，四边形EGFH是矩形．

6.如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm.点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，P，Q运动速度均为2cm/s.以AQ、PQ为边作平行四边形AQPD，连接DQ，交AB于点E.设运动的时间为t

（单位：

s）（0≤t≤4）解答下列问题：

（1）在点P，Q运动过程中，平行四边形AQPD的面积是否具有最大值，若有，请求出它的最大值；否则，请说明理由．

（2）填空：

①当t的值为________s时，平行四边形AQPD为矩形；

②当t的值为________s时，平行四边形AQPD为菱形．

7.（’15平顶山模拟）如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，得△GFC.

（1）求证：

BE＝DG；

（2）填空：

①若∠B＝60°，当BC＝________AB时，四边形ABFG是菱形；

②若∠B＝60°，当BC＝________AB时，四边形AECG是正方形．

8.如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD＝8cm，AC＝4cm，点E从点B出发沿BD方向以1cm/s的速度向点D运动，同时点F从点D出发沿DB方向以同样的速度向点B运动，设点E、F运动的时间为t（s），其中0＜t＜8.

（1）求证：

△BEC≌△DFA；

（2）填空：

①以点A、C、E、F为顶点的四边形一定是________形；

②当t的值为________时，以点A、C、E、F为顶点的四边形为矩形．

【答案】

1.解：

（1）∵AD是⊙O的直径，

∴∠ABD＝90°，

∵AD＝2BD，

∴在Rt△ABD中，cos∠D＝

＝

＝

，

∴∠D＝60°，

∴∠ACB＝∠D＝60°；

（2）①

；②

.

【解法提示】①当BC⊥OD时，∵OB＝OD＝BD，∴OE＝DE，∵OD是半径，BC是弦，∴BE＝CE，∴四边形OBDC是菱形，则OD＝CD＝OC，∴∠COD＝60°，∴l

＝

＝

；②当BC经过圆心O时，易得四边形ABDC是矩形，△AOC为等边三角形，∴∠COD＝180°－60°＝120°，∵lCD＝

＝

.

2.【思路分析】

（1）首先利用平行线的性质得到∠FAB＝∠CAB，然后利用SAS证得两三角形全等即可；

（2）①当∠CAB＝45°时，四边形ACBF为正方形．∠FAB＝∠CAB＝45°，进而∠FAC＝∠AFB＝∠ACB＝90°，四边形ACBF为矩形，再由邻边AC＝AF得其为正方形；②当∠CAB＝60°时，四边形ADFE为菱形．根据∠CAB＝60°，得到∠FAB＝∠AFE＝∠CAB＝∠AEF＝60°，从而得到EF＝AD＝AE，利用邻边相等的平行四边形是菱形进行判断．

解：

（1）证明：

∵EF∥AB，

∴∠E＝∠CAB，∠EFA＝∠FAB，

∵∠E＝∠EFA，

∴∠FAB＝∠CAB，

又∵AF＝AC，AB＝AB，

∴△ABC≌△ABF（SAS）；

（2）①45°　②60°

【解法提示】①当∠CAB＝45°时，由

（1）知，∠FAB＝∠CAB＝45°，∠FAC＝∠AFB＝∠ACB＝90°，故四边形ACBF为矩形，又∵AC＝AF，∴四边形ACBF为正方形．

②当∠CAB＝60°时，易得∠FAB＝∠AFE＝∠CAB＝∠AEF＝60°，从而得到△AEF和△ADF均为等边三角形，∴EF＝AD＝AE＝DF,∴四边形ADFE为菱形．

3.【思路分析】

（1）由于四边形ODCE是矩形，而矩形的对角线相等，所以DE＝OC，而CO是圆O的半径，这样DE的长度不变，也就DG的长度不变；

（2）连接OC，容易根据已知条件证明四边形ODCE是矩形，然后利用其对角线互相平分和DG＝GH＝HE，可以知道四边形CHOG的对角线互相平分，从而判定其是平行四边形；（3）若四边形OGCH是菱形，必有OC与GH垂直，即可推得DE、OC垂直、平分且相等，故得到四边形CDOE是正方形，在Rt△OCD中，利用OC＝OA＝3，OD＝CD运用勾股定理即可求出OD的长．

解：

（1）DG，1.

【解法提示】在矩形ODCE中，DE＝OC＝3，∵DG＝GH＝HE，∴DG＝

DE＝1.

（2）连接OC交DE于M.由矩形得OM＝CM，EM＝DM.

∵DG＝HE，∴EM－EH＝DM－DG，∴HM＝MG.∴四边形OGCH是平行四边形．

（3）

.

【解法提示】∵四边形OGCH是菱形，∴OC⊥GH，∴OC⊥DE，又∵OC＝DE，CM＝OM＝EM＝DM，∴四边形CDOE是正方形．∴CD＝OD，∠CDO＝90°，∵OA＝OC＝3，∴OD2＋CD2＝9，2OD2＝9，OD＝

.

4.【思路分析】

（1）易得DE是△ABF的中位线，进而DE

（2）①6　②8

【解法提示】①当CD⊥AB，即CD是AB的中垂线时，∠CDB＝90°，平行四边形BFCD有一个角为直角是矩形，此时AC＝BC＝6；②当∠ACB＝90°时，CD是直角△ABC斜边上的中线，∴CD＝AD＝BD，从而平行四边形BFCD的邻边相等是菱形，此时由勾股定理易得BC＝8.

5.【思路分析】

（1）易证△ADE≌△CBF，进而易得GE∥HF，且GE＝HF，所以四边形EGFH是平行四边形．

（2）①四边形EGFH是菱形，G是AE的中点，则GF＝GE＝GA＝

AE，得到∠AFE＝90°，根据DE＝AF，列方程求解；②四边形EGFH是矩形，易得△ADE∽△EHC，则根据

＝

列方程求解即可．

解：

（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠B＝90°，AD＝CB，

∵点E、F同时分别从D、B两点出发，以1cm/s的速度沿DC、BA向终点C、A运动，

∴DE＝BF，∴△ADE≌△CBF（SAS），

∴AE＝CF，∠DEA＝∠EAF＝∠CFB，

∵点G、H分别为AE、CF的中点，

∴GE∥HF，且GE＝HF，

∴四边形EGFH是平行四边形．

（2）①

；②8或

.

【解法提示】连接EF，

∵四边形EGFH是菱形，G是AE的中点．∴GF＝GE＝GA＝

AE，∴EF⊥AB，

∴DE＝AF，∴t＝13－t，∴t＝

.

②∵四边形EGFH是矩形，∴∠D＝∠EHC＝∠AEH＝90°，

∴∠AED＋∠HEC＝∠ECH＋∠HEC＝90°，∴∠AED＝∠ECH，∴△ADE∽△EHC，

∴

＝

，∴

＝

，解得：

t1＝8，t2＝

.

6.【思路分析】

（1）首先利用勾股定理求得AB＝10，然后表示出AP，过P作PH⊥AC于H，利用△APH∽△ABC，利用相似三角形对应边的比相等，表示出AH的长，然后由平行四边形面积公式，得到平行四边形AQPD的面积的二次函数表达式，用配方法求最值；

（2）①利用矩形的性质得到△APQ∽△ABC，利用相似三角形对应边的比相等列出比例式即可求得t值；②利用菱形的性质得到△AEQ∽△ACB，利用相似三角形对应边的比相等列出比例式即可求得t值．

解：

（1）∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，

∴AB＝10cm，

∵BP＝2tcm，

∴AP＝AB－BP＝10－2t，

过P作PH⊥AC于H，则PH∥BC，

∴△APH∽△ABC，

∴

＝

，即

＝

，

∴PH＝

（10－2t）．

∵S▱AQPD＝AQ·PH＝2t·

·（10－2t）

＝－

t2＋12t＝－

（t－

）2＋15，

∴当t＝

s时，平行四边形AQPD的面积具有最大值，为15.

（2）①

；②

.

【解法提示】①当▱AQPD是矩形时，PQ⊥AC，∴PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，∴

＝

，即

＝

，解得t＝

.∴当t＝

时，▱AQPD是矩形；②当▱AQPD是菱形时，DQ⊥AP，则△AEQ∽△ACB，∴

＝

，即

＝

，解得t＝

.∴当t＝

时，▱AQPD是菱形．

7.【思路分析】

（1）根据平行四边形和平移的性质得到AB＝CD，AE＝CG，再证明Rt△ABE≌Rt△CDG可得到BE＝DG；

（2）①要使四边形ABFG是菱形，须使AB＝BF；根据条件找到满足AB＝BF时，BC与AB的数量关系即可；②当四边形AECG是正方形时，AE＝EC，由AE＝

AB，可得EC＝

AB，再有BE＝

AB可得BC＝

AB.

解：

（1）证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AB＝CD.

∵AE是BC边上的高，且CG是由AE沿BC方向平移而成，

∴CG⊥AD，AE＝CG，

∴∠AEB＝∠CGD＝90°.

∵在Rt△ABE与Rt△CDG中，AE＝CG，AB＝CD，

∴Rt△ABE≌Rt△CDG（HL），

∴BE＝DG.

（2）①

；②

.

【解法提示】①当BC＝

AB时，四边形ABFG是菱形．

证明：

∵AB∥GF，AG∥BF，∴四边形ABFG是平行四边形．

∵Rt△ABE中，∠B＝60°，∴∠BAE＝30°，∴BE＝

AB，

∵BE＝CF，BC＝

AB，∴EF＝

AB.∴AB＝BF.∴四边形ABFG是菱形．

②BC＝

AB时，四边形AECG是正方形．

∵AE⊥BC，GC⊥CB，∴AE∥GC，∠AEC＝90°，

∵AG∥CE，∴四边形AECG是矩形，当AE＝EC时，矩形AECG是正方形，∵∠B＝60°，∴EC＝AE＝AB·sin60°＝

AB，BE＝

AB，∴BC＝

AB.

8.解：

（1）证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC，AD∥BC，

∴∠EBC＝∠FDA.

在△BEC和△DFA中，

∴△BEC≌△DFA.

（2）①平行四边形；②2或6.

【解法提示】①平行四边形，理由如下：

连接CF，AE，

由

（1）得：

∠BEC＝∠DFA，EC＝AF，∴∠FEC＝∠AFE，即EC∥AF，∴以点A、C、E、F为顶点的四边形一定是平行四边形.

②2或6，理由如下：

∵四边形AECF为矩形，∴AC＝EF，

∵BD＝8cm，AC＝4cm，∴EF＝4，BE＝2cm或6cm.

∵速度为1cm/s，∴t＝2或6.