七年级下数学 第13讲 等腰三角形一.docx

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七年级下数学第13讲等腰三角形一

等腰三角形从边和角两方面出发，阐述了它的特殊性．在理解等腰三角形的性质和判定的基础上，能够熟练的进行边和角之间的计算及证明，本节课的内容相对基础．

等腰三角形的性质

（1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．

（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“等腰三角形三线合一”）．

（3）等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线所在的直线．

【例1】等腰三角形底边长为7cm，它的周长不大于25cm，则它的腰长x的取值范围是

____________．

【例2】

【例3】

（1）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则顶角的度数是_______；

（2）等腰三角形一腰上的高于底边的夹角为50°，则顶角的度数是___________．

【例4】

已知：

AB=AC，AD=DE=BE，BD=BC，那么∠A的度数为________．

【例5】已知：

在三角线ABC中，D是AC上一点，且AB=BC=CD，BE=DE，AD=AE，连

接DE，则∠C的度数为_________．

【例6】如果等腰三角形的两个角的度数的比为4:

1，那么顶角为（）

A．30°或120°B．120°或20°C．30°或20°D．以上都不正确

【例7】

如图，在△ABC中，已知∠C=90°，AD=BD，如果∠DBC=15°，那么∠A

（）

A．75°B．37.5°C．60°D．以上都不对

【例8】等腰三角形底边长为6厘米，一腰上的中线把三角形分成两部分，其周长的差为2

厘米，则它的腰长为（）

A．4厘米B．8厘米C．4厘米或8厘米D．不确定

【例9】在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，那么△ABC的最大外角为（）

A．160°B．140°C．135°D．145°

【例10】在等腰三角形中，角平分线、中线、高的条数最多有（重合的算一条）（）

A．6个B．7个C．8个D．9个

【例11】

如图，在△ABC中，已知AB=AC，AD=DE，∠BAD=20°，∠EDC=10°，

求∠DAE的度数．

【例12】

如图，在△ABC中，AC=BC，CD为AB边上的中线，点E为BC边上的一点，

EF⊥AB，垂足为F，试说明∠ACD=∠BFE的理由．

【例13】如图，AB=AC，AD=CE，∠1=∠2，∠3=∠4，试说明∠EAC=∠ACB的理由．

【例14】如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为BC上一点，EC⊥BC，EC=BD，

DF=EF，说明AF⊥DE的理由．

【例15】等腰三角形的周长为30cm

（1）若腰长为xcm，则x的取值范围是____________cm；

（2）若底边长为acm，则a的取值范围是____________．

【例16】如图，已知∠A=150，AB=BC=CD=DE=EF，则∠FEM=_____________．

【例17】如图，在△ABC中，AB=BC，M，N为BC边上两点，并且∠BAM=∠CAN，MN=AN，

则∠MAC的度数是____________．

【例18】已知Rt△ABC中，AC=BC，∠C=900，D为AB边中点，∠EDF=900，将∠EDF绕

D点旋转，它的两边分别交AC，BC（或它们的延长线）于E、F，当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时（如图1），易证：

S△DEF+S△CEF=

S△ABC，当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立?

若成立，请给予证明；若不成立，S△DEF，S△CEF，S△ABC又有怎样的数量关系?

请写出你的猜想，不需证明．

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）．

【例19】下列说法中，不正确的是（）

A．如果三角形ABC是等腰三角形，那么∠B=∠C

B．如果△ABC中，∠B=∠A，那么△ABC是等腰三角形

C．如果三角形的两条边相等，那么此三角形一定是等腰三角形

D．有两个角相等的三角形是等腰三角形

【例20】

（1）在△ABC中，如果AB=AC，∠B=52°，那么∠A=__________；

（2）在Rt△ABC中，如果∠B=45°，那么△ABC是___________三角形；

（3）在△ABC中，如果∠BCA=30°，∠ABC=50°，那么△ABC是________三角形

（按角分类）．

【例21】

已知AC=BC，∠ACD=∠BCE，试说明△CDE是等腰三角形的理由．

【例22】如图：

BD平分∠ABC，CD平分△ABC的一个外角，DE∥BC，

说明EF=BE-CF的理由．

【例23】如图，△ABC中BA=BC，点D是AB延长线上一点，DF⊥AC于F交BC于E，

试说明△DBE是等腰三角形．

【例24】△ABC中，在

（1）∠1=∠2；

（2）AD⊥BC；（3）BD=CD；这三个条件中有两个

条件成立，能否得出AB=AC?

证明所有的可能．

【例25】

如图，已知：

在△ABC中，AB=AC，D、E、F分别为AB、BC、CA上的一点，且

BD=CE，∠DEF=∠B，说明△DEF是等腰三角形的理由．

【例26】已知三角形三个内角度数如图所示，试画一条直线MN，将这个三角形分割成两个

等腰三角形．

【例27】

（1）如图，在△ABC中，已知∠A=36°，∠ABC=72°，CD平分∠ACB，交边

AB于点D．图中那几个是的等腰三角形?

为什么?

（2）在第

（1）小题中，如果再作DE∥BC，交边AC于E，那么上图中还有哪几个三角形是等腰三角形?

为什么?

【例28】如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，BE平分∠ABC，G为EF的中点，

说明AG⊥EF的理由．

【例29】

如图，已知：

D是∠ABC、∠ACB的平分线的交点，DE∥AB，交BC于点E，

DF∥AC，交BC于点F，如果BC=12cm，求△DEF的周长．

【例30】

把一张长为8厘米，宽4厘米的长方形的纸条，像如图所示的那样折叠，重合部

分是△BDE，求△ABE的周长，并简单说明理由．

【例31】如图，在△ABC中，∠ACB=45°，∠ABC=60°，AD、CF分别是BC、AB边上的

高，且相交于点P，∠ABC的平分线BE分别交AD、CF于点M、N，试找出图中所有的等腰三角形，并简述理由．

【习题1】在△ABC中，已知AB=3，∠B=52°，如果AC=3，那么∠A=________．

【习题2】等腰三角形的一个外角等于100°，则与它不相邻的两个内角的度数分别为__________．

【习题3】如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，且BD=BE，∠A=84°，

则∠DEC=___________．

【习题4】如图，△ABC中AB=AC，CD平分∠BCA，CE⊥AB于点E，∠DCE=51°，

则∠ACB=________．

【习题5】如图，在下列三角形中，若AB=AC，则不能被一条直线分成两个小等腰三角形

的是（）

【习题6】

（1）如果等腰三角形中有一个角为120°，另外两个角的度数为________；

（2）如果等腰三角形中有一个角为30°，另外两个角的度数为____________．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【习题7】

（1）等腰三角形的两边长分别为6厘米和12厘米，它的周长为________；

（2）等腰三角形的两边长分别为8厘米和12厘米，它的周长为___________．

【习题8】如图，CE平分∠ACB，且CE⊥BD，∠DAB=∠DBA，又知AC=18，△CBD的周

长为28，求BC的长．

【习题9】

如图，已知：

△ABC中∠C的平分线CD交AB于点D，DE∥BC于点E，若DE=3，

AE=4，求AC的长．

【习题10】如图，已知：

在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠BAD=∠CAE，CE=BD．

说明：

（1）△ADE也是等腰直角三角形；

（2）BD⊥CE的理由．

【作业1】等腰三角形周长为13㎝，其中一边长为3㎝，则该等腰三角形的底边长为（）

A．7cmB．3cmC．7cm或3cmD．5cm

【作业2】已知等腰三角形的周长为24㎝，其中一边长为7㎝，则与它相邻的另一边长

（）

A．7cm或10cmB．8.5cm或7cm

C．7cm或10cm或8.5cmD．10cm或8.5cm.

【作业3】在△ABC中，AB=AC．

若∠A=50°，则∠B=，∠C=_____；若∠B=45°，则∠A=，∠C=；

若∠C=60°，则∠A=，∠B=；若∠A=∠B，则∠A=，∠C=．

【作业4】等腰三角形中，AB的长是BC长2倍，三角形的周长是40，求AB的长．

【作业5】已知下列语句：

①有一个角为300，腰长相等的两个等腰三角形全等．②有一个角为1100的腰长相等的两个等腰三角形全等．③腰长相等，顶角相等的两个等腰三角形全等．④底角和底边对应相等的两个等腰三角形全等．⑤一腰和底边对应相等的两个等腰三角形全等．⑥顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等．⑦底和一腰上的高对应相等的两个等腰三角形全等．其中不能判断两个等腰三角形全等的方法有（）

A．0个B．1个C．2个D．3个

【作业6】

如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BC=BD=BE，则图中等腰三角形共有_________个．

【作业7】如图，在△ABC中，AB=AC=CE，D是BC上一点，∠ABC=40°，E是AC上

一点，AE=DE．求∠EDC的度数．

【作业8】如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN经过点O，

且MN∥BC，若AB=12，AC=18，求△AMN的周长．

【作业9】如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∠ABC的平分线交CD于点E，

交AC于点F，问△CEF是等腰三角形吗?

请说明理由．

【作业10】如图，在△ABC中，AB=AC，E在BA延长线上，AE=AF，求证：

EF⊥BC．

【作业11】如图，已知：

在△ABC中，AB>AC，BD是∠ABC的平分线且与∠ACB的角平

分线交于点D，作ED∥BC，问线段EF、BE、CF之间有怎样的数量关系?

并说明理由．