北师版八年级下《第1章三角形的证明》单元测试题含答案.docx

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北师版八年级下《第1章三角形的证明》单元测试题含答案

第一章三角形的证明

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．已知下列各组数据，可以构成等腰三角形的是（　B　）

A．1，2，1B．2，2，1C．1，3，1D．2，2，5

2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则下列四个结论：

①AD上任意一点到点C，B的距离相等；②AD上任意一点到AB，AC的距离相等；③BD＝CD，AD⊥BC；④∠BDE＝∠CDF.其中正确的个数是（　D　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

3．如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，则∠A的度数是（　D　）

A．70°B．55°

C．50°D．40°

4．下列条件中不能确定是等腰三角形的是（　D　）

A．三条边都相等的三角形D．一条中线把面积分成相等的两部分的三角形

B．有

一个锐角是45°的直角三角形

C．一个外角的平分线平行于三角形一边的三角形

5．如图，已知∠ABC＝∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是（　A　）

A．AC＝BDB．∠CAB＝∠DBA

C．∠C＝∠DD．BC＝AD

6．

下列说法中：

（1）顶角相等，并且有一腰相等的两个等腰三角形全等；

（2）底边相等，且周长相等的两个等腰三角形全等；（3）腰长相等，且有一角是50°的两个等腰三角形全等；（4）两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；错误的有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个A

7．已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（　C　）

A．8或10B．8

C．10D．6或12

8．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接CF.若∠A＝60°，∠ABD＝24°，则∠ACF的度数为（　A　）

A．48°B．36°C．30°D．24°

9．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A＝∠ABE.若AC＝5，BC＝3，则BD的长为（　D　）

A．2.5B．1.5

C．2D．1

10．如图，等边△ABC的三条角平分线相交于点O，过点O作EF∥BC，分别交AB于E，交AC于F，则图中的等腰三角形有（　D　）

A．4个B．5个

C．6个D．7个

二、填空题（每小题3分，共24分）

11．等腰三角形两腰上的高相等，这个命题的逆命题是__________________________________________，这个逆命题是________命题．

12．如图，过等边△ABC的顶点A作射线．若∠1＝20°，则∠2的度数为________．

第12题图第13题图

13．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是________．

14．如图是某超市一层到二层电梯的示意图，其中AB、CD分别表示超市一层、二层电梯口处地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长约为12米，则乘电梯从点B到点C上升的高度h约为________米．

第14题图第15题图

15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝3，AB＝12，则△ABD的面积为________．

16．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，交AB于点E，交AC于点D.若∠ADE＝40°，则∠DBC＝________°.

第16题图第17题图

17．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△ABO≌△ADO.下列结论：

①AC⊥BD；②CB＝CD；③△ABC≌△ADC；④DA＝DC.其中所有正确结论的序号是__________．

18．若等腰三角形一腰上的高与腰长之比为1∶2，则该等腰三角形顶角的度数为________．

三、解答题（共66分）

19．（8分）如图，在长方形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE＝CF，EF⊥DF，求证：

BF＝CD.

20.（8分）如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC＝125°，求∠ACB和∠BAC的度数．

21．（8分）如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，连接EF.求证：

AD垂直平分EF.

22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.

（1）求证：

△BED≌△CFD；

（2）若∠A＝60°，BE＝1，求△ABC的周长．

23．（10分）如图，AD是△ABC的边BC上的高，∠B＝60°，∠C＝45°，AC＝6.求：

（1）AD的长；

（2）△ABC的面积．

24．（10分）如图，△ABC是等边三角形，点D，E，F分别是AB，BC，CA上的点．

（1）若AD＝BE＝CF，问△DEF是等边三角形吗？

试证明你的结论；

（2）若△DEF是等边三角形，问AD＝BE＝CF成立吗？

试证明你的结论．

25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），△AOB为等边三角形，P是x轴上一个动点（不与原点O重合），以线段AP为一边在其右侧作等边三角形△APQ.

（1）求点B的坐标；

（2）在点P的运动过程中，∠ABQ的大小是否发生改变？

如不改变，求出其大小；如改变，请说明理由．

（3）连接OQ，当OQ∥AB时，求点P的坐标．

答案

11．如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形　真

12．100°　13.76　14.6　15.18　16.15　17.①②③

18．30°或150°　解析：

当高在三角形内部时，顶角是30°；当高在三角形外部时，顶角是150°.所以等腰三角形顶角的度数为30°或150°.

19．证明：

∵四边形ABCD是长方形，∴∠B＝∠C＝90°.（1分）∵EF⊥DF，∴∠EFD＝90°，∴∠EFB＋∠CFD＝90°.∵∠EFB＋∠BEF＝90°，∴∠BEF＝∠CFD.（4分）在△BEF和△CFD中，

∴△BEF≌△CFD（ASA），（7分）∴BF＝CD.（8分）

20．解：

∵AB＝AC，AE平分∠BAC，∴AE⊥BC，∴∠DEC＝90°.（3分）∵∠ADC＝125°，∴∠DCE＝∠ADC－∠DEC＝35°.（5分）∵CD平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠DCE＝70°.（6分）又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝70°，∴∠BAC＝180°－（∠B＋∠ACB）＝40°.（8分）

21．证明：

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∴点D在线段EF的垂直平分线上．（3分）在Rt△ADE和Rt△ADF中，

∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴AE＝AF，（6分）∴点A在线段EF的垂直平分线上．∵两点确定一条直线，∴AD垂直平分EF.（8分）

22．

（1）证明：

∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°.∵D是BC的中点，∴BD＝CD.（4分）∴△BED≌△CFD（AAS）．（5分）

（2）解：

∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝CA，∠B＝60°.（7分）又∵DE⊥AB，∴∠EDB＝30°，∴BD＝2BE＝2，∴BC＝2BD＝4，（9分）∴△ABC的周长为AB＋BC＋CD＝3BC＝12.（10分）

23．解：

（1）∵∠C＝45°，AD是△ABC的边BC上的高，∴∠DAC＝45°，∴AD＝CD.（2分）∵AC2＝AD2＋CD2，∴62＝2AD2，∴AD＝3

.（4分）

（2）在Rt△ADB中，∵∠B＝60°，∴∠BAD＝30°，∴AB＝2BD.（6分）∵AB2＝BD2＋AD2，∴（2BD）2＝BD2＋AD2，BD＝

.（8分）∴S△ABC＝

BC·AD＝

（BD＋DC）·AD＝

×（

＋3

）×3

＝9＋3

.（10分）

24．解：

（1）△DEF是等边三角形．（1分）证明如下：

∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C，AB＝BC＝CA.又∵AD＝BE＝CF，∴DB＝EC＝FA.∴△ADF≌△BED≌△CFE，（3分）∴DF＝ED＝FE.∴△DEF是等边三角形．（5分）

（2）AD＝BE＝CF成立．（6分）证明如下：

如图，∵△DEF是等边三角形，∴DE＝EF＝FD，∠FDE＝∠DEF＝∠EFD＝60°.∴∠1＋∠2＝120°.（8分）∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴∠2＋∠3＝120°，∴∠1＝∠3.同理∠3＝∠4，易证△ADF≌△BED≌△CFE（AAS），∴AD＝BE＝CF.（10分）

25．解：

（1）如图①，过点B作BC⊥x轴于点C.∵△AOB为等边三角形，且OA＝2，∴∠AOB＝60°，OB＝OA＝2，∴∠BOC＝30°.（2分）又∵∠OCB＝90°，∴BC＝

OB＝1，由勾股定理得OC＝

，∴点B的坐标为（

，1）．（4分）

（2）∠ABQ＝90°，始终不变．（5分）理由如下：

∵△APQ，△AOB均为等边三角形，∴AP＝AQ，AO＝AB，∠PAQ＝∠OAB，∴∠PAO＝∠QAB.（6分）在△APO与△AQB中，

∴△APO≌△AQB（SAS），∴∠ABQ＝∠AOP＝90°.（8分）

（3）当点P在x轴正半轴上时，点Q在点B上方，易知OQ与AB相交．当点P在x轴负半轴上时，点Q在点B的下方．∵AB∥OQ，∴∠BQO＝180°－∠ABQ＝90°，∠BOQ＝∠ABO＝60°.又OB＝OA＝2，∴OQ＝1，可求得BQ＝

，（10分）由

（2）可知△APO≌△AQB，∴OP＝BQ＝

，∴此时点P的坐标为（－

，0）．（12分）