九年级上册圆专题讲义.docx

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九年级上册圆专题讲义

九年级上册圆专题讲义

知识点一、圆的相关概念

1、圆的定义

在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫

做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.

2、圆的几何表示

以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”

知识点二、弦、弧等与圆有关的定义

（1）弦

连接圆上任意两点的线段叫做弦.（如图中的AB）

（2）直径

经过圆心的弦叫做直径（如图中的CD），半径相等，直径等于半径的2倍.

（3）弧、优弧、劣弧

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.

弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“

”，读作“圆弧AB”或“弧AB”.

大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）.

（4）半圆

圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆.

（5）等圆

能够重合的两个圆叫做等圆.

（6）等弧

在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.

知识点三、垂径定理及其推论

垂径定理：

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.

推论：

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

垂径定理及其推论可概括为：

过圆心

垂直于弦

平分弦知二推三

平分弦所对的优弧

平分弦所对的劣弧

例1.圆的半径为5cm，圆心到弦AB的距离为4cm，则AB=______cm

练习1.如图1，CD为⊙O的直径，AB⊥CD于E，DE=8cm，CE=2cm，则AB=______cm

（图1）（图2）（图3）

练习2.如图2，⊙O的半径OC为6cm，弦AB垂直平分OC，则AB=______cm，∠AOB=______

练习3.如图3，P为⊙O的弦AB上的点，PA=6，PB=2，⊙O的半径为5，则OP=______

练习4.今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何．（选自《九章算术》卷第九“句股”中的第九题，1尺=10寸）．此问题的实质就是解决下面的问题：

“如图，OC是⊙O的半径，弦AB⊥OC于点D，CD=1，AB=10，求直径”

中考链接：

（2007昆明，13，3分）如图，AB是⊙O的弦，OC是⊙O的半径，OC⊥AB于点D，AB=16cm，OD=6cm，

那么⊙O的半径是________cm

（2009昆明，22节选，8分）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD切⊙O于点D，过

点D作DF⊥AB于点E，交⊙O于点F，已知OE＝1cm，DF＝4cm．求⊙O的半径

知识点四、圆的对称性

1、圆的轴对称性

圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.

2、圆的中心对称性

圆是以圆心为对称中心的中心对称图形.

知识点五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理

1、圆心角

顶点在圆心的角叫做圆心角.

2、弦心距

从圆心到弦的距离叫做弦心距.

3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等.

推论：

在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，

那么它们所对应的其余各组量都分别相等.

知识点六、圆周角定理及其推论

1、圆周角

顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.

2、圆周角定理

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

推论1：

同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

推论2：

半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

例1.如图1，ΔABC是⊙O的内接正三角形，若P是

上一点，则∠BPC=______；若M是

上一点，

则∠BMC=______．

练习1.如图2，AC是⊙O的直径，弦AB∥CD，若∠BAC=32°，则∠AOD等于（）

A．64°B．48°

C．32°D．76°

练习2.如图3，弦AB，CD相交于E点，若∠BAC=27°，∠BEC=64°，则∠AOD等于（）

A．37°B．74°

C．54°D．64°

练习3.如图4，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=138°，则它的一个外角∠DCE等于（）

A．69°B．42°

C．48°D．38°

（图1）（图2）（图3）（图4）

练习4.如图，△ABC内接于⊙O，BC=12cm，∠A=60°．求⊙O的直径．

中考链接：

（2012昆明，6，3分）如图，AB、CD是⊙O的两条弦，连接AD、BC.若

，则

的度数为（）

A．

B．

C．

D．

知识点七、点和圆的位置关系

设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：

d

点P在⊙O内；

d=r

点P在⊙O上；

d>r

点P在⊙O外.

知识点八、三角形的外接圆

1、过三点的圆：

不在同一直线上的三个点确定一个圆.

2、三角形的外接圆：

经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆.

3、三角形的外心：

三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形

的外心.

4、圆内接四边形对角互补.

例1.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE=70°，则∠BOD=（）

A.35°　　B.70°　　　C.110°　　　D.140°　　　　　　　　　　　　　　　　　　

练习1.已知⊙O中，弦AB的长等于半径，P为弦AB所对的弧上一动点，则∠APB的度数为（）

A.30oB.150oC.30o或150oD.60°或120o

知识点九、直线与圆的位置关系

直线和圆有三种位置关系，具体如下：

1、相交：

直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；

2、相切：

直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，

3、相离：

直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离.

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：

直线l与⊙O相交

d

直线l与⊙O相切

d=r；

直线l与⊙O相离

d>r.

考点十、切线的性质与判定定理

1、切线的判定定理：

过半径外端且垂直于半径的直线是切线；

两个条件：

过半径外端且垂直半径，二者缺一不可

即：

∵

且

过半径

外端

∴

是⊙

的切线

2、性质定理：

切线垂直于过切点的半径

例1.已知：

如图，△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交

BC的延长线于点F．

求证：

（1）AD＝BD；　

（2）DF是⊙O的切线．

（2011昆明，24节选，8分）如图，已知AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，过点E的直线EF与AB

的延长线交与点F，AC⊥EF，垂足为C，AE平分∠FAC．

求证：

CF是⊙O的切线

（2013昆明，22节选，8分）已知：

如图：

AC是☉O的直径，BC是☉O的弦，点P是☉O外一点，

PBA=

C。

求证：

PB是☉O的切线

（2014昆明，22节选，8分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D是边AC上的一点，连接BD，

使∠A=2∠1，E是BC上的一点，以BE为直径的⊙O经过点D.

（1）求证：

AC是⊙O的切线；

（2）若∠A=60°，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积.（结果保留根号和π）

（2015昆明，22，8分）如图，AH是⊙O的直径，AE平分∠FAH，交⊙O于点E，过点E的直线FG⊥

AF，垂足为F，B为直径OH上一点，点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上．

（1）求证：

直线FG是⊙O的切线；

（2）若CD=10，EB=5，求⊙O的直径．

考点十一、切线长定理

切线长定理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的

夹角.

即：

∵

、

是的两条切线

∴

；

平分

考点十二、三角形的内切圆

1、三角形的内切圆

与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.

2、三角形的内心

三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心.

考点十三、圆内正多边形的计算

1、正多边形的定义

各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.

2、正多边形和圆的关系

只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外

接圆.

3、正多边形的中心

正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.

4、正多边形的半径

正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径.

5、正多边形的边心距

正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距.

6、中心角

正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角.

7、正三角形

在⊙

中△

是正三角形，有关计算在

中进行：

8、正四边形

同理，四边形的有关计算在

中进行，

9、正六边形

同理，六边形的有关计算在

中进行，

例1.

练习1.正六边形的边心距为2，则该正六边形的边长是

练习2.中心角为30度的圆内接正n边形的n为

练习3.半径为6cm的圆内接正三角形的边长为和边心距为

中考链接：

（2010昆明，14，3分）半径为r的圆内接正三角形的边长为（结果可保留根号）

考点十四、弧长和扇形面积

扇形：

一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形.

1、弧长公式

2、扇形面积公式

其中n是扇形的圆心角度数，R是扇形的半径，L是扇形的弧长.

3、圆锥的侧面积

圆锥母线：

圆锥的顶点到底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥母线

其中L是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径.

还有一些常考的关系：

①圆锥侧面扇形的弧长等于底面圆的周长

②圆锥侧面扇形的半径等于圆锥的母线长

③底面圆半径，圆锥的高，圆锥的母线构成一个直角三角形

例1.已知圆锥的底面半径是3cm，母线长为6cm，则侧面积________cm2．（结果保留π）

练习1.已知圆锥的底面半径为3，侧面积为15

，则这个圆锥的高为．

练习2.已知圆锥的高是3cm，母线长是5cm，则圆锥的侧面积是　　　　．

练习3.在

中,

将

绕边

所在直线旋转一周得到圆锥,

则该圆锥的侧面积是（）

A.

B.

C.

D.

例2.如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，

的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．

（1）如果建立直角坐标系，使点B的坐标为（－5，2），点C的坐标为（－2，2），则点A的坐标为；

（2）画出

绕点O顺时针旋转

后的△Ａ１Ｂ１Ｃ1，并求线段OA扫过的面积.

例3.现有一个圆心角为90°，半径为8cm的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不

计）.该圆锥底面圆的半径为（）

A．4cmB．3cmC．2cmD．1cm

练习4.圆锥的母线长4cm,底面半径长1cm,那么它的侧面展开图的圆心角是（）

A.180°B.150°C.90°D.120°

中考链接：

（2007昆明，15，3分）如图，把半径为4cm的半圆围成一个圆锥的侧面，使半圆圆心为圆锥的顶

点，那么这个圆锥的高是_______cm．（结果保留根号）

第13题图

（2008昆明，15，3分）如图，在Rt△ABC中，∠BCA=900，∠BAC=300，AB=8cm，把△ABC以点B

为中心，逆时针旋转使点C旋转到AB边的延长线上点C`处，求AC边扫过的图形（图中阴影部分）的

面积为_________cm.（结果保留

）

（2009昆明，8，3分）在Rt△ABC中，∠C＝90º，BC＝4cm，AC＝3cm．把△ABC绕点A顺时针旋转

90º后，得到△AB1C1，如图所示，则点B所走过的路径长为（）

A．5

cmB．

cm

C．

cmD．5

cm

（2010昆明，8，3分）如图，已知圆锥侧面展开图的扇形面积为65

cm2，

扇形的弧长为10

cm，则圆锥母线长是（）

A．5cmB．10cm

C．12cmD．13cm

（2011昆明，14，3分）如图，在△ABC中，∠C=120°，AB=4cm，两等圆⊙A与⊙B外切，则图中两

个扇形（即阴影部分）的面积之和为cm2．（结果保留π）

（2012昆明，13，3分）已知扇形的圆心角为

半径为

，则该扇形的面积为cm².

（结果保留π）

（2013昆明，13，3分）如图，从直径为4cm的圆形纸片中，剪出一个圆心角为90°的扇形OAB，

且点O、A、B在圆周上，把它围成一个圆

锥，则圆锥的底面圆的

半径是cm．

（2015昆明，17，6分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．

（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；

（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2；

（3）求出

（2）中C点旋转到C2点所经过的路径长．（记过保留根号和π）