有理数的运算教材分析.docx
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有理数的运算教材分析
基于新型课堂教学模式下的备课
东昌府区侯营中学肖春
第三章《有理数的运算》教材分析
一、地位和作用
有理数的运算主要包括有理数的加减法、乘除法、和乘方运算的意义、法则和运算律，以及使用计算器作简单的有理数运算。
这部分的内容不仅是为下一部分内容“整式的加减”的学习作好一个铺垫，而且是整个初中（7～9年级）数学“数与代数”内容中关于“数”的学习的重要基础，通过这部分内容的学习，可以有助于学生更好地学习“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”等内容，可以说这部分内容是整个初中数学学习的重要基础，因此这部分内容是本学期教学内容的一个重点。
二、教材说明
（一）设计思路
在有理数运算中，教科书设置了丰富的现实背景：
潮汐涨落、净胜球数、气温变化等，让学生采取自主探索，合作交流的学习方式，探求并总结有理数运算的法则和规律。
考虑到有理数运算的学习重点是对法则和运算律的理解，为了避免因为小数、分数运算的复杂性而冲淡学习的主题，有理数的运算先以整数运算的学习为出发点，然后过渡到含有小数、分数的运算。
另外，教科书还安排了大量运用有理数及其运算解决实际问题的内容，以使学生进一步体会所学知识与现实世界的联系。
本章的学习给学生提供了丰富的数学活动机会，如：
归纳、猜测、验证、推理、计算、交流等等，以使学生能亲身经历这些活动，从中发现问题，探索规律，促进对知识的理解和掌握。
（二）内容分析
（1）本章主要内容是有理数的运算。
首先从生活实例引入，从低级到高级依次讲解有理数的加减、乘除以及乘方运算的意义、法则和运算律，并配合有理数的运算介绍了计算器的使用。
结合学生熟悉的生活实例引入运算律，让学生经历探索法则和运算律的过程，在过程中鼓励学生用自己的语言叙述、交流，充分地进行探索，发展其观察、猜测、验证的能力，培养学生分类、归纳，概括的能力，加深对法则、运算律的理解。
加法与乘法都是在介绍运算法则－－着重是符号法则的基础上，进行基本运算的训练；减法与除法，则是着重介绍如何向加法与乘法转化，从而利用加法与乘法的运算法则、运算律进行运算。
乘方限定在指数是自然数的范围，教学中应通过实例，让学生感受当底数大于1时，乘方运算的结果增长得很快，发展学生的数感。
（2）算术四则运算（还包括平方、立方运算）的知识，以及前面学的有理数的概念，是这部分的重要基础。
有理数的运算是实数运算、代数运算，以及解方程、研究函数等内容，也就是整个初中代数的一个基础。
本章主要内容是有理数的运算。
（3）本章内容是初等数学的重要基础，无论是有理数的有关概念还是运算，在初中集扩充到有理数集，以后还将引入无理数，把数集扩充到实数集，人们对数的以认识是逐步数学、高中数学以及其它各门学科的学习中，都是离不开的。
它是实数运算，代数式运算以及解方程、研究函数等内容的一个基础。
（4）计算器的使用，主要目的是学生用后可以更好地解决实际问题中的复杂运算，经历运用计算器探索有趣的数学规律的活动。
故教学中应尽可能向学生提供现实问题或探索规律的问题，大力开发更为丰富的学习资源，注意借助计算器的使用，发展学生合情推理的能力。
三、教学目标
1、理解有理数的加、减、乘、除、乘方的意义，掌握有理数的运算法则、运算律及运算顺序。
2、能够熟练地进行有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步为主），并能合理使用运算律简化运算。
能运用有理数的运算解决简单的问题。
掌握科学计数法。
了解加法与减法、乘法与除法可以相互转化。
3、会用计算器进行有理数的简单运算。
4、通过丰富的数学活动，体验分类、转化、归纳等数学思想方法，并能初步运用这些思想方法解决简单的实际问题。
5、通过自主探究、合作交流的学习活动，在克服困难中，培养学生敢于提出问题、勇于解决问题的意志品质。
本章根据学生的实际情况减低了复杂性、技巧性和熟练程度的要求，有理数的加、减、乘、除、乘方的混合运算强调以三步为主，降低要求，主要是因为计算器的影响，也是从义务教育阶段数学课程所要实现的最终目标考虑的。
绝大多数学生在今后的生活、学习和工作中并不需要进行繁杂的代数运算和变形，更不需要熟练的技能技巧，而要实现这些要求却要花费学生相当多的时间和精力，甚至会损害他们学习数学的兴趣和信心。
当然，符号运算对于数学来说又是比不可少的。
就现状而言，对运算意义的理解、根据问题的需要选择适当的算法和运算工具、估算结果的合理性等意识和能力的培养则应当得到加强。
为此，一定数量的训练和练习是必要的，但一定要在控制在适当的范围内。
四、重点、难点和关键
（1）本章的重点是有理数加法与乘法的运算，减法可以化成加法，除法与乘方则可以化成乘法。
（2）本章的难点是对运算法则的理解以及有理数减法的运算，比较起来，四则运算中，要确定两个数的差的符号及绝对值，难度相对要大一些。
（3）学习有理数加法与乘法的关键是搞清符号问题，符号一经确定，问题就比较简单了。
学习有理数运算，最终要求还是要落实到有理数的混合运算上，从这个意义上说，本大节的学习关键就是最后的混合运算。
当然，混合运算是以加、减、乘、除的基本运算为基础的。
教学建议：
1、有理数运算的教学，应注重使学生在具体情境中体会运算的含义，鼓励学生自己探索运算法则和运算律，并在与同学交流的过程中逐步形成较为规范的语言。
应注重估算，提倡算法多样化，减少繁难的笔算（对笔算的要求以教科书习题为准）。
对于在实际问题中或探索规律中出现的复杂运算，应使用计算器。
2、应注重运用有理数及其运算解决实际问题的教学，注意让学生会用正负数表示实际问题中的量，能对运算的结果作合理的解释，并赋予实际意义。
五、评价建议
1、关注学生对有理数运算法则的理解水平。
对概念与法则学习的评价，不应单纯考查记忆和具体操作；对运算的评价重点应放在学生对算理的理解、能否根据实际问题的特点，选择合理简便的算法，而不能过分要求技巧。
2、对于较复杂的有理数运算，关注学生是否会使用计算器进行运算。
3、重视对学生运用有理数表示实际问题中的量，并用有理数运算解决实际问题的能力的评价，同时在学习过程中关注对学生归纳、概括、描述、交流等能力的考察。
六、课时安排建议：
本章教学时间约需12课时，具体分配如下（仅供参考）
1．有理数的加法与减法4课时
2．有理数的乘法与除法3课时
3．有理数的乘方2课时
4．有理数的混合运算1课时
5．利用计算器进行简单的计算1课时
回顾与思考1课时
3．1有理数的加法与减法（4课时）
1、有理数加法引入，教材采用符号法、探索算法，再结合数轴加以验证。
建议另外创设情境进行教学，引入带有趣味性的问题，如飞机升降，水位变化，或温度变化的情境完全可以得出算式，同时，在比较、归纳加法法则时最好再增加一个算式，如（+2）+（+3）=+5，体现同号时的两种可能出现情况，在教学实践过程中，一开始学生很难用比较准确的语言来描述法则，关键是踩不到绝对值这个点子上，此时，可先回顾一下绝对值概念，如观察+4与－4，－3与+2的符号与绝对值的大小，再引导学生观察和的符号与和的绝对值与两个加数的符号及绝对值的关系，培养学生分类、归纳、概括能力。
鼓励学生用自己语言表达。
以习题为分界线，运算律为下一课时。
加法的运算律学生通过练习不难得出，但不要忽视得出结论后，换几个数试一试这一过程，让学生了解验证是推理反思的一个重要环节。
可适当补充几个类似例题的习题，让学生体会运用运算律可以简化运算。
2、前先要用好教材引例，让学生自己得出计算3－（－3）的方法，无论是用逆运算还是借助温度计都应鼓励，同时引导学生观察两个算式及其结果。
为减法法则奠定基础。
有理数减法法则学生通过两组算式的比较，是不难得出的。
关键是要在这一过程中，注重培养学生抽象概括能力和口头表达能力。
3．2有理数的乘法与除法（3课时）
1、有理数的乘法是小学乘法的延续，本教材所采用的处理符号的方法易为学生学习掌握，降低了理解的难度。
乘法法则的推导，要注意引导学生仔细观察算式的因数与积的变化规律，找出规律后来猜测这个算式的结果，最后把两列算式分类、归纳、交流得出乘法公式。
对多个有理数的积的符号的确定及运算律的探索，学生通过实例不难发现，因都是从特殊到一般的过程，在得出结论后教师应要求学生再找几个例子验证，发展学生的观察，归纳，猜测，验证的能力。
2、有理数的除法作为乘法的逆运算与小学学过的正数的除法意义是一致的，教材体现了知识体系的延续这一原则，有助于将新知识迅速纳入旧知识的结构之中，关键有两处：
除法的意义；除法转化乘法。
注意求负数的倒数，和除法中0不能作除数。
3．3有理数的乘方（2课时）
相对老教材要求有较大提高，增添了许多探索规律、发展数感的情境。
1、要关注学生对乘方意义的理解。
2、注意分数、负数、乘方的书写格式，勿漏括号。
注意-3
与（-3）
的区别，它们底数各是多少，还原式各是什么，读法上区别等。
注重乘方意义的认识。
3、例如：
对细胞分裂数目列表展示，便于学生理解一般表达式。
如能利用多媒体则效果更好，要组织学生进行对比、反思还要注意引导学生从中感受当底数大于1时，乘方结果增长很快，当底数小于1时，乘方结果减少很快。
棋盘上的学问是一个有趣的数学典故，除直接推理外，也可与细胞分裂中的细胞数，折纸问题的拆痕总数联系比较得出算式，对棋盘可具体列出到1——10格情况，让学生感受数目大，1+2+8+16+32+64……+……即可。
3．4有理数的混合运算（1课时）
有理数的运算是整章运算的总合，学生易混易错点较多，需时间整合，应适当增加一些练习，但题目不要过繁，过难，以课本难度为准（以三步为主）要注意培养学生在运算过程中有条理的思考，合理使用运算律简化运算，形成基本技能。
如－24+32÷（－6）等。
3．5计算器的使用（1课时）
本节要求学生会用计算器作有理数的加、减、乘、除乘方运算和它们的混合运算，让学生初步体会解决问题的程序思想。
1、鼓励学生探索计算器的用法，感受计算器在复杂计算和探索规律过程中带来的方便。
熟悉功能，掌握按键程序。
2、利用计算器探索规律，使学生逐步熟悉计算器用法。
注意新计算器与原来计算器不同。
第四章数据的收集与简单统计图
一、地位和作用
在当今的信息社会里，数据是一种重要的信息，统计概率所提供的“运用数据进行推断”的思考方法已成为现代社会一种普遍使用并且强有力的思维方式。
能够利用数据和对数据进行处理已成为信息时代每一位公民必备的素质。
在基础教育阶段的数学课程中，加强统计概率的份量已成共识，从《标准》看，“统计与概率”领域主要学习收集、整理、描述和分析数据等处理数据的基本方法和概率的初步知识，这些内容在三个学段均有安排，教学要求随着学段的升高逐渐提高。
数据的来源一般有两条渠道：
一条是通过统计调查或科学试验得到第一手或直接的统计数据；另一条是通过查阅资料等获得的第二手或间接的统计数据。
统计调查是获得第一手数据的重要途径，它们常常通过调查、访问、邮寄、电话、电脑辅助等形式来收集数据；科学试验是取得自然科学数据的主要手段；各种文献资料、报刊杂志、广播、电视媒体等提供了大量的统计数据，通过这些资料或媒体可以获得第二手数据。
本章通过学生收集数据和整理数据的过程，使学生体会数据在现实生活中的作用，了解收集数据的基本方法和基本要求以及能够按要求对数据进行简单的分类排序，分组。
本节课的教学意义不仅仅体现在学生对数据的收集与整理知识上，还体现了学生在收集数据过程中所表现出的积极探索，合作交流的学习精神。
二、设计理念
（1）努力为学生营造一个生动具体的学习情景，选取的问题力求贴近学生，有生活气息.
（2）教与学的形式以师生合作探索活动为主.
（3）让学生亲身经历收集、整理、描述分析和提炼数据的全过程,初步感受统计独特的思想方法。
三、教学目标
（1）了解数据收集的意义。
（2）知道用什么方法收集数据。
会将收集的数据进行分组整理，通过参与收集、整理数据和初步分析数据，发展数感，培养统计观念。
（3）会制作扇形统计图，能从条形统计图、折线统计图和扇形统计图中获得信息。
（4）掌握三种统计图的相互转化。
经历根据具体问题选择合适的统计图来清晰、有效地展示数据的过程，提高选择和处理信息的能力。
（5）积极参与数据的收集、分析、整理与描述的数学活动，通过与他人的合作交流，提高收集与处理数据的能力，并初步形成实事求是、认真细致的学习态度。
四、教学重点、难点
重点：
数据的收集方式和分组整理，扇形统计图的制作，根据不同的问题选择合适的表示方法。
难点：
扇形统计图的制作。
五、教学建议
1、强调典型案例的作用
统计与现实生活的联系是非常紧密的，这一领域的内容对学生来说应该是充满趣味性和吸引力的。
在教材编写时，特别注意选择典型的、学生感兴趣的和富有时代气息的现实问题作为例子，在解决这些实际问题的过程中，学习收集、整理数据的方法，理解统计的概念和原理。
例如，通过调查“我们班推荐谁当班长的候选人”这样一个学生感兴趣的案例介绍调查、收集、整理数据的方法.还可以补充一些典型案例,如“第29届奥林匹克运动会上，各国代表团奖牌榜”，使学生综合运用本章知识和方法进行统计活动。
这样的一种利用典型案例编写统计内容的方式，可以使学生在解决实际问题的过程中，经历数据处理的一般过程，并在这个数据处理的过程中学习有关的统计知识和方法，体会统计的思想，同时也使学生感受统计与实际生活的联系以及在解决现实问题中的作用。
2、突出统计活动的基本过程
学习统计的最有效方法是让学生真正经历统计活动的基本过程，使学生在收集、整理、描述和分析数据的统计活动中，逐步学会用数据说话，自觉地想到用统计的方法来解决一些问题。
本套教材特别注意让学生在统计活动的过程中学习有关统计的知识和方法。
如前所述，对于“统计与概率”领域中统计的内容，全套教材以数据处理的基本过程为线索，按照数据的收集与整理、数据的描述、数据的分析来安排统计内容。
在每一章节中，对于统计的知识和方法又都是放在数据处理的过程中来学习的。
本章“数据的收集与简单统计图”主要学习收集整理数据的常用方法，这些方法的学习是以典型案例为载体，在收集、整理、描述和分析数据的过程中进行的。
这样的一种处理方式，将统计的概念、方法与原理统一到数据处理的基本过程中，使学生更好地体会统计的思想，帮助学生建立统计观念。
3、注意与相关内容的衔接
本章是“统计与概率”的起始章，起着承上启下的作用。
教材编写时，一方面注意与小学内容的衔接，同时也注意为后面的学习打好基础。
对于数据的收集与简单统计图，《标准》在三个学段采用螺旋上升的安排方式，第1学段要求“学习一些简单的收集、整理数据的方法”，第2学段要求“进一步学习收集、整理数据的方法”，第3学段要求“体会抽样的必要性以及用样本估计总体的思想”等。
4、强调在活动中建立统计观念，改进学生的学习方式
统计观念反映的是由一组数据所引发的想法、能推测到的可能结果以及自觉地想到用统计的方法解决问题等，是在亲身经历统计活动的过程中培养出来的一种感觉。
动手处理数据并展示自己的成果是一个活动性很强，并且充满乐趣的过程，教学中要注意让所有学生都能参与到统计的活动中去，在活动的过程中建立统计观念。
鼓励学生积极合作、充分交流，促进学生学习方式的改变。
本章的学习特别强调让学生通过活动经历数据处理的基本过程，但活动重点应放在收集和整理数据方面，比如可以引导学生根据调查目的，在充分讨论的基础上亲自设计调查问卷，发放并收回调查问卷得到数据，然后动手设计表格整理数据。
对于描述和分析数据两个环节，教师可以根据问题的难易程度提出适当的要求，有时可以让学生自己完成，有时需要在教师的帮助下或由教师讲解完成。
活动可以采用多种形式，既有课上的又有课下的，既有校内的又有校外的，既有个体的又有小组合作的。
教师在整个活动中应该是一个指导者、参与者和合作者。
5、挖掘现实生活中的素材进行教学
如前所述，本章编写时选用了一些的学生感兴趣的和富有时代气息素材，但还很不够，教学时要注意和学生一起挖掘现实生活中方方面面有趣的、可操作的、真实的素材，使学生充分感受统计在日常生活、社会和各学科领域的广泛应用，体会统计在解决问题中所起的作用，从而调动学生学习统计的积极性。
在选择真实素材进行教学时还要注意数据的真实性。
学生在从事收集数据的活动中，对于同一个问题，有时会出现不同的学生或不同的小组收集到的数据差别较大的情况，这是要注意对学生收集数据的活动过程以及所得数据进行科学的评价，不能随便更改数据，培养学生实事求是的科学态度。
6、将统计图表的学习放在解决问题的情景中，作为数据处理的一部分。
数学中采用的问题情景应尽量来源于实际，问题的解答要符合实际，使学生体会到数学与实际世界的密切联系。
本章涉及到利用条形图、扇形图和折线图描述数据的内容，对于扇形统计图，不仅要求能够读出图中的信息，而且要求能画出来描述数据,掌握三种统计图的相互转化.。
六、课时分配：
4.1数据收集的方式1课时
4.2数据的整理1课时
4.3简单的统计图2课时
4.4统计图的相互转化1课时
回顾与总结1课时
各节教学目标
4.1收集数据的方式
1.知道数据收集的几种方式,且会选择适当的方式收集数据.
数据收集的主要方式有：
问卷调查、查阅资料、实地调查和实验.
2.体会数据的收集在解决有些现实生活问题中的作用,养成收集数据的习惯.
4.2数据的整理
1.学会如何对数据进行分组整理,以便掌握数据的整体分布情况.
如何将数据进行分组：
（1）分组时要根据实际问题确定适当的组距.
（2）绘制简单的统计表.
（3）将各数据填入统计表中,进行整理.
2.学会和同学一起调查、研究、分析,养成动手、动脑的习惯.
4.3简单的统计图
1.了解统计图的种类、特点及作用.
2.能够从条形统计图、折线统计图、扇形统计图中获取信息.
3.在表达数据时如何根据需要选择统计图:
（1）如果要表达的数据是分散的，并且要清晰地表示各个项目的实际数据，那么使用条形图较为适宜.
（2）如果要表达各个项目的数据占整体的百分比，使用扇形图较为适宜.
（3）如果要清晰地显示各个项目的数据在一段时间内的变化，或分析数据的变化趋势，使用折线图较为适宜.
4.掌握制作扇形统计图的步骤,能够熟练的制作扇形统计图.
（1）某扇形对应的圆心角=该扇形占整圆的百分比×3600.
（2）制作扇形统计图的步骤:
计算各部分占总体的百分比；
计算各部分相应的扇形圆心角的度数；
用圆规画圆，再利用量角器作出各圆心角，从而把圆面分成若干个扇形；
将各部分占总体的百分比标注在相应的扇形上；
填写标题.
5.能够运用扇形统计图分析解决一些实际问题.
4.4统计图的相互转化
1.能根据具体问题选择合适的统计图来清晰有效地展示数据.
2.会把几种简单的统计图相互转化.
在条形统计图与扇形统计图的相互转化中,条形统计图各线条所表示的长度和为各数据的总数,用整个圆面积表示.每个线条的长度占总长度和的百分比为相对应的扇形面积,所有扇形面积的和为100%.
回顾与思考
1.收集、整理、描述和分析数据是数据处理的基本过程.数据充满了生活的各个方面,数据处理可以帮助我们认识和解决很多问题.
2.统计图是反映数据信息的一种常用形式,简单的统计图包括条形统计图、折线统计图和扇形统计图.三种统计图的特点与作用如下表所示：
条形统计图
折线统计图
扇形统计图
特
点
用一个单位长度表示一定的数量
用整个圆面积表示总数,用各个扇形面积表示每一部分占总数的百分数
用线条的长短表示数据的大小
用折线起伏表示数据的增减变化
作
用
清晰地反映每个项目的具体数据及之间的大小关系
能清晰地反映同一事物在不同时段的变化情况
反映出各个部分在总数中所占的百分比,以及各个部分之间的大小关系
3.统计图对统计的作用:
（1）可以清晰有效地表示数据；
（2）可以对数据进行分析；
（3）可以获取许多信息；
（4）可以帮助人们作出合理的决策.
第五章代数式与函数的初步认识
一、教材分析
本章首先让学生在现实情况下探索事物之间的数量关系，从而引入用字母表示数量关系和变化规律，建立抽象思维，进入神奇的代数世界，在其中又认识了代数式这个概念，并利用代数式更好地解决、验证现实生活中的问题或变化规律。
同时贯穿看从特殊到一般，再由一般到特殊的认知规律。
用字母表示数，可以把数和数量关系简明地表示出来，比小学中单纯的数字表示更科学、更全面。
它是代数的一个重要特点。
荷兰著名数学家弗赖登塔尔指出“代数开始的典型特征是文字演算”，“如果字母作为一个数的不确定名词，那又为什么要用这么多a、b、c……其实，这就像我们讲到这个人和那个一样，学生不理解a怎么能等于b，你可以告诉他‘实际上，a与b不一定相等，但也可能偶然相等，就像我们想象中的人恰好与你想象中的人相同’。
最本质的一点是要使学生知道用字母可以表示某些东西，不同的字母或表达式可以表示相同的东西。
”
字母表示数包括三个方面的内容：
1.用于体现数量关系或变化规律。
本章是将知识置于具体情境中，引导学生探索事物之间的数量关系或变化规律。
并自然引入字母表示这些数量关系或变化规律，以便于进行更深一步的预测或推理。
2．运算律的使用。
有加法交换律，乘法交换律，乘法分配律等。
这些知识在小学时接触过。
在此可作为对小学知识的归纳总结。
有助于小学数学与初中代数的衔接。
3．一些常用的、基本的数量关系或变化规律，往往写成公式的形式，以便应用。
利用公式，由已知数求出所需的未知数的运算在后面的学习中经常遇到。
在这里体现启下的作用。
学生在进行了许多有现实意义的、很有兴趣的探索活动之后，接受了代数式的概念。
进入了列代数式、代数式求值和代数式运算这三方面的学习。
列代数式实际上是让学生在实现情境中，将语言表示转化到代数表示。
要运用代数的方法解决问题，一个十分重要的前提就是把问题中的数量关系用代数式表示出来。
本章在内容上提供了现实生活中很多实例。
如利用正六边形地砖铺地面就刻画了一个典型的经验公式，它是在人们收集大量数据，并进行分析的基础上得到的。
这体现了数学模型思想，使学生感到数学与日常生活及其他科学的密切联系。
掌握了用代数式表示问题中的基本数量关系，反之，给出一个代数式要能赋予它实际背景。
并能给出代数式在实际背景下的多样解释。
本章通过丰富的例子使学生经历从语言叙述到代数式表示，从代数式表示到语言叙述的双向过程，通过活动使学生感受代数表示在判断和推理上的意义。
列代数式的目的是解决问题,解决问题的过程中，往往需要根据代数式中字母所取的值确定代数式的值。
求代数式的值的计算可理解为一个转换过程或某种算法。
本章给出很多实际例子，引导学生能解释代数式值的实际意义，并能利用实际意义推断代数式所反映的规律，以培养学生的探索精神，发展他们的符号感，运用符号解决问题及进行判断和推理的能力和符号运算能力。
本章提供了许多有实际意义，学生感兴趣的探索活动，有的是数字或数字的变化规律，有的是几何图形方面的变化规律。
经历探索后，运用符号表示规律，由于探索的方式和角度不同，可能得到的代数式不同，但通过利用合并同类项、去括号等法则验证后，可化归到同一个基本规律上去。
本章体现了由实际情况抽象出代数，再由代数去验证和解决实际问题的思想。
二、教学目标
1．通过探索事物之间的数量关系，建立初步的符号感，发展抽象思维，体会字母表示数的优越性。
2．理解代数式的概念，能分
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