新课程标准的理念下如何进行有效的数学教学.docx
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新课程标准的理念下如何进行有效的数学教学
新课程标准的理念下如何进行有效的数学教学
一、新课标理念下的有效的数学教学
1.1新课标对数学的界定性描述
“数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程”。
（修订后的数学定义为：
数学是研究空间形式和数量关系的一门学科）
在基本理念中又说“数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具，能够帮助人们处理数据、进行计算、推理和证明，数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象，数学为其他科学提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础。
1.1新课标对数学的界定性描述
数学在提高人的推理能力、抽象能力、想像力和创造力等方面有着独特的作用；数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。
”这是新课标对数学“功能性”的描述。
以上是新课标对数学是什么的回答。
1.2有效的数学教学问题的提出
在新课标的基本理念3中指出“数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。
”“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，学习实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。
”这里就提出了有效的数学教学的问题及其方式。
这也一直是在实际教学中困扰一线教师的“想说爱你不容易”的大问题。
二、如何进行有效性的数学教学
2.1创设情境应注意有效性
所谓情境教学，是指在教学过程中教师有目的地引入或创设具有一定情趣色彩的生动具体的场境，以引起学生一定的兴趣或生活体验，从而帮助学生理解教材，并使学生心理机能得到发展的一种教学模式。
新课标强调让学生在现实情境和已有的生活、知识经验的基础上学习和理解数学，这样使学生认识到数学就在生活中，数学就在自己的身边，使他们学习数学不那么枯燥。
这一点己形成大家的共识。
值得注意的两个问题：
（1）创设问题情境是必要的：
它符合数学的自身发展规律，数学的发展史表明，数学的发展一方面是来自于外部，即现实社会发展的需要（如数不够用了，使数进行了三次扩充），另一方面源自于数学的内部（如罗巴切夫几何，否认第五公设）。
“问题是数学的心脏”，数学学习也同样如此。
（2）创设情境的理论背景--建构主义的观点
谈到创设情境有一个重要的理论不得不介绍，近20年来在西方逐渐形成的建构主义理论。
建构主义这种学习理论是为了改进教学提出的理论，主要目的在于了解发展过程中的各种活动如何引发学生的自主学习，以及在学习过程中教师如何扮演支持者的角色。
建构主义的代表人物:
是皮亚杰（瑞士教育学心理学专家）。
建构主义理论内容很丰富，但其核心是：
以学生为中心，强调学生对知识的主动探索、主动发现和对所学知识意义的主动建构。
建构主义认为，知识不是通过老师传授得到的，而是学习者在一定的情境背境下，借助他人的帮助，利用必要的学习资料，通过意义建构的方式而获得的。
这里建构主义学习理论强调“情境”是学习环境中的四大要素之一。
因此，要促成学生顺利地完成有关知识的学习，就必要创设有效的问题情境。
几年来新课标教学实践也说明“创设情境”深受师生的欢迎，特别是在新课的引入及教学激趣方面效果较好。
任何一种理论都不是十全十美的，建构主义也有三大缺陷：
①忽视教师的作用；
②忽视情感的作用；
③片面强调知识结构的重要性，不利于常识性和实际知识内容的传授。
同样，情境设计也存在一个教学效率的问题，因为新课程中既有过程性的目标，还有知识技能目标，情境设计热热闹闹，最后一堂课的教学内容不能完成，教学目标不能实现，那怎么叫是有效的情境教学呢？
更有甚者，目前普遍存在一些，情境设计牵强作秀，生搬硬套或形同虚设，或为应付公开课，应付评比来突击情境创设等等。
有效的情境创设，就是要有效果，有效率。
例1有位老师讲勾股定理时是这样设计的：
师：
下面是三个直角三角形三边的长3，4，5；5，12，13；7，24，25。
请同学们找出各个三角形三边之间的关系。
生：
（很高兴地）老师，我找出来了，3²=4+5，5²=12+13；7²=24+25。
…
师：
哑然！
例2某教师在“角平分线性质”一节的教学中，要求学生：
〔1〕在纸上画＜AOB并折出＜AOB的平分线；
〔2〕在角平分线上任取一点P；
〔3〕过P分别作两边的垂线，垂足为C、D，探讨PC与PD的关系。
这是典型的情境创设未达到设计效果的两个实例。
什么样的情境创设才算是有效的呢？
激趣性——兴趣是最好的老师，能吸引学生；
直观性——源于生活，学生易于接受；
可及性——学生跳一跳，够得到，能力所及；
开放性——能逐步深入，有层次感，或多解型；
有挑战性——使学生享受过程中的快乐，体验困难与成功。
2.2有效数学教学的关键在于教师要当好“三者”
新课标的基本理念中第4条“数学教学活动”是这样说的：
学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。
我个人认为这“三者”指的是课堂的数学教学活动这一段的“现场教学”的时间段，实际上教师在课堂教学之前，要认真备课，不管是个人备课，还是集体备课，实际上都是一个课堂教学的设计者，要设计教案，教案设计不当就会产生无效的教学甚至错误的教学结果。
例3中学数学教学参考2006，1-2P9课例：
圆的面积（上海作者）的探究的教学设计。
如图，半径为r的圆内切于正方形，显然有S⊙<4r²。
教师要求学生将1/4个圆剪碎，然后填充满另三个曲边三角形，结果还多一点，于是得S⊙>3r²。
这个设计，一是不可操作（实验无法完成），二是与无限细分方能以直代曲的理论是不符的。
对学生产生误导。
是典型的设计错误。
如何当好设计者、组织者、引导者与合作者。
以上面例1“勾股定理”为例：
人类总想弄清楚其他星球上是否存在“人”类，并试图与他们取得联系，由于文字和语言都不通，怎样进行第一次接触呢？
数学家曾建议用“勾股定理”的图形作为与外星人交流的试探符号。
可见勾股定理的重要性与通俗性。
勾股定理是我国劳动人民最早（公元前100多年）发现的，在《周髀算经》中记载的有“勾三股四弦五”一说。
勾股定理反映的是直角三角形的三边之间的关系，三边之间存在什么关系呢？
我们一起来探讨：
（1）（特殊化）将四个等腰（长为1）直角三角板，拼成正方形，其面积为2。
（设斜边 x , x²=1²+1²）
（2）在方格纸上作两直角边为10cm、15cm的Rt△，量斜边长（18+cm）（325=10²+15²，18²=324）
（3）联系勾三股四弦五,猜想a²+b²=c²。
（4）证明：
（辅助线的引导，证明略）
我认为这种方式既体现了新课标的理念：
情境、探究、体验、过程），实质上是在教师“控”“引”下的“半开放”的探究。
课堂如战场，也是瞬息即变的，常常会发生许多你意想不到，始料未及的事件。
这时，教师的临堂发挥及时应变的能力很重要。
如前面例1所说明勾股定理的探究时，学生得出3²=4+5，5²=12+13；7²=24+25。
…
老师不能“慌堂”，更不能否定学生的结论。
这一是扼杀了学生的思维的积极性，甚至学习数学的热情；二是暴露了教师的功底和应变能力。
这时老师应该说，“很不错，你发现了‘小数的平方等于两个大数之和’，能进一步观察两个大数之间的关系吗？
它们的差为多少？
这样必然不难得到：
设三角形的三边之长分别为a,b,c,且a＜b＜c,c-b=1。
a²=（b+c）·1=（b+c）（c-b）=c²-b²，这不就是我们所需要的结果吗！
这就是“引导者”与“合作者”的作用，既鼓励了学生，又成功地挽救“课堂”，一举多得。
这当然需要教师在教学上的聪明才智和平常的丰厚的积淀。
说到合作者，除课堂之中外，更多的是体现在教师与学生平常的一问一答之中
例4有个学生问，老师“两个无理数的和会为有理数吗？
”老师不屑一顾地回答：
“会，作代数和，把无理数部分消去就行，如
（1+√2）+（1-√2）不就得了！
”学生“啊！
”的一声走了，看得出他并不解渴，…
其实，
令a=1.12112111211112…,
b=0.21221222122221…,均为无理数
a+b=1.33333333333333…=4/3为有理数。
老师的巧妙构数，不是简单的消去无理数部分，虽然蕴含有他暂还不懂的极限思想，但会让学生觉得数学美妙无穷。
2．3有效的数学学习必须完成课程目标（四个方面）
新课标在指出“动手实践、自主探索与合作交流”是有效数学学习的重要方式的同时，在课程的总体目标中提出了知识与技能，数学思考，解决问题，情感与态度四个方面的具体目标。
著名的数学教育家波利亚曾精辟地指出：
“数学有两个侧面，一方面它是欧几里得式的严谨的科学，从这个方面看，数学像是一门系统的演绎科学；
但另一方面，创造过程中的数学，看上去却像一门实验性的归纳科学。
”过去数学教学的一个很大问题就是教师只传授抽象的数学概念、数学法则，而学生没有自己的活动和创造经验作支撑。
新课程强调通过观察、模仿、尝试、实验、猜想等手段来获得对数学知识、数学方法的感性认识。
这是对传统教学的有效矫正。
但在实际教学中，又出现了情境简单化、活动形式化以及为活动而活动、为探究而探究的现象。
例如
①学习了三角形全等以后，对矩形的对角线相等这一性质，本来是不费力的事，但有的老师还是为了“体现新课标理念”，全班叠纸，量长度；
②韦达定理，由已知的几个方程的根，可以发现规律，真正可靠还是求根公式来证；
③P（A）=0，A是不可能事件吗？
实验是难以回答的，关键是理性思考。
例5一次示范探究课中一例：
将一张长方形的纸，让学生对折，对折a次，有多少条折痕。
学生探究，互动交流，多数学生能想到正确答案，少数学生有困难。
最后老师边示范，边操作，边填表：
次数
1
2
3
…
n
折痕数
1
3
7
…
2n_1
整个过程，热热闹闹，有操作，有探究，有互动，结果也正确无误，但在关键的位置忽略了数学思考，没能教会学生为什么折痕增加数是2，4，8，…，其实表中只需增加折后的“块数”，教学效果就不一样了。
次数
１
２
３
４
…
n
块数
２
４
８
16
…
2n
折痕数
１
３
７
15
…
2n_1
这样学生就知道2n是怎么来的，还知道遇到问题如何思考，如何抓问题的本质。
说到探究性问题，近几年来一直是中考高考中的热门话题。
光就表格中正整数的探究题就不少，而且往往是由高考辐射及中考。
例6（2006年常德）下图是一个有规律排列的数表，请用含n的代数式表示第n行第n列的数：
_____________。
解法1
（高中方法）对角线上的数为1，3，7，13，21，…为一阶等差数列，
ak+1-ak=2k，
Sk=ak+1-1
=2（1+2+…+k）=k（k+1），
ak+1=k（k+1）+1.
数表中an=ak+1,即k+1=n，
故an=（n-1）n+1=n²-n+1.
解法2
（初中方法）第n行的第一个数为n²，然后逐列递减。
即n²-（n-1）=n²-n+1。
又如在历届高考中，以杨辉三角形式的数表形式出现的探究性试题屡见不鲜，常出常新。
例7（2007年湖南卷）将杨辉三角形中奇数换为1，偶数换为0，得数表
第1行11
第2行101
第3行1111
第4行10001
第5行110011
……………
第1次全行都是1的为第1行；
第2次全行都是1的第3行；…
第n次全行都是1的是第______行
第61行中1的个数是________
简解续写两行
第6行1010101
第7行11111111
规律：
第1，3，7行全为1，猜想第2n-1行全为1，63=64-1，即第63行全为1（64个1）逆推第62行32个1，第61行中也为32个1。
2.4有效的数学学习必须掌握基本的数学知识与技能，并做到学以致用。
新课标的基本理念中指出：
“教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中，真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法”。
在“知识技能目标”表格中（灵活运用）栏中要求“能综合运用知识，灵活、合理地选择与运用有关的方法完成特定的数学任务。
”
在应用意识方面提出“面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识方法寻求解决问题的策略。
”
（人教版八（上）P150第11题）如图1，△ABD与△ACE都是等边三角形，求证：
BE=CD。
这是传统的经典的一道平几题，学习了三角形全等，学生都会做（只需用“边角边”定理），而且其变式题特多。
七下第六章学习了“平面直角坐标系。
可以布置这样的题目。
例8如图2，在直角坐标系xOy中，B（1，0），点A在第四象限，且△AOB为正三角形，点C为x轴上一点，连AC，以AC为边作正△ACE，连EB，交y轴于点F，试探究当点C在x轴上移动时，点F的位置是如何变化的。
简解易证
△ABE≌△AOC，
∠ABE=∠AOC=60°，
∠EBC=∠OBF=60，
OF=√3，F（0，√3）。
学会用所学的知识来解释社会现实，“探索其应用价值”，也是课标的要求之一。
例9一个赌徒做了3颗骰子：
红色骰子上2，4，9点各两面；
兰色骰子上3，5，7点各两面；
黄色骰子上1，6，8点各两面。
虽然每颗骰子上的总点数都相等，但赌徒总让对手先选骰子，他就能另选一颗骰子，使自己获胜的概率更大。
试说明其中的理由及获胜概率大的对策
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