数字信号处理第三版高西全.docx
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数字信号处理第三版高西全
数字信号处理第三版高西全
西安电子（高西全丁美玉第三版）数字信号处理课后答案1.2教材第一章习题解答1.用单位脉冲序列及其加权和表示题1图所示的序列。
解：
2.给定信号：
（1）画出序列的波形，标上各序列的值；
（2）试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示序列；
（3）令，试画出波形；
（4）令，试画出波形；
（5）令，试画出波形。
解：
（1）x（n）的波形如题2解图
（一）所示。
（2）（3）的波形是x（n）的波形右移2位，在乘以2，画出图形如题2解图
（二）所示。
（4）的波形是x（n）的波形左移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。
（5）画时，先画x（-n）的波形，然后再右移2位，波形如题2解图（四）所示。
3.判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。
（1），A是常数；
（2）。
解：
（1），这是有理数，因此是周期序列，周期是T=14；
（2），这是无理数，因此是非周期序列。
5.设系统分别用下面的差分方程描述，与分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。
（1）；
（3），为整常数；
（5）；
（7）。
解：
（1）令：
输入为，输出为故该系统是时不变系统。
故该系统是线性系统。
（3）这是一个延时器，延时器是一个线性时不变系统，下面予以证明。
令输入为，输出为，因为故延时器是一个时不变系统。
又因为故延时器是线性系统。
（5）令：
输入为，输出为，因为故系统是时不变系统。
又因为因此系统是非线性系统。
（7）令：
输入为，输出为，因为故该系统是时变系统。
又因为故系统是线性系统。
6.给定下述系统的差分方程，试判断系统是否是因果稳定系统，并说明理由。
（1）；
（3）；
（5）。
解：
（1）只要，该系统就是因果系统，因为输出只与n时刻的和n时刻以前的输入有关。
如果，则，因此系统是稳定系统。
（3）如果，，因此系统是稳定的。
系统是非因果的，因为输出还和x（n）的将来值有关.（5）系统是因果系统，因为系统的输出不取决于x（n）的未来值。
如果，则，因此系统是稳定的。
7.设线性时不变系统的单位脉冲响应和输入序列如题7图所示，要求画出输出输出的波形。
解：
解法
（1）:
采用图解法图解法的过程如题7解图所示。
解法
（2）:
采用解析法。
按照题7图写出x（n）和h（n）的表达式:
因为所以将x（n）的表达式代入上式，得到8.设线性时不变系统的单位取样响应和输入分别有以下三种情况，分别求出输出。
（1）；
（2）；
（3）。
解：
（1）先确定求和域，由和确定对于m的非零区间如下：
根据非零区间，将n分成四种情况求解：
①②③④最后结果为y（n）的波形如题8解图
（一）所示。
（2）y（n）的波形如题8解图
（二）所示.（3）y（n）对于m的非零区间为。
①②③最后写成统一表达式：
11.设系统由下面差分方程描述：
；
设系统是因果的，利用递推法求系统的单位取样响应。
解：
令：
归纳起来，结果为12.有一连续信号式中，
（1）求出的周期。
（2）用采样间隔对进行采样，试写出采样信号的表达式。
（3）画出对应的时域离散信号（序列）的波形，并求出的周期。
————第二章————教材第二章习题解答1.设和分别是和的傅里叶变换，试求下面序列的傅里叶变换：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）。
解：
（1）令，则
（2）（3）令，则（4）证明：
令k=n-m，则2.已知求的傅里叶反变换。
解：
3.线性时不变系统的频率响应（传输函数）如果单位脉冲响应为实序列，试证明输入的稳态响应为。
解：
假设输入信号，系统单位脉冲相应为h（n），系统输出为上式说明，当输入信号为复指数序列时，输出序列仍是复指数序列，且频率相同，但幅度和相位决定于网络传输函数，利用该性质解此题。
上式中是w的偶函数，相位函数是w的奇函数，4.设将以4为周期进行周期延拓，形成周期序列，画出和的波形，求出的离散傅里叶级数和傅里叶变换。
解：
画出x（n）和的波形如题4解图所示。
以4为周期，或者,以4为周期5.设如图所示的序列的FT用表示，不直接求出，完成下列运算：
（1）；
（2）；
（5）解：
（1）
（2）（5）6.试求如下序列的傅里叶变换:
（2）；
（3）解：
（2）（3）7.设:
（1）是实偶函数，
（2）是实奇函数，分别分析推导以上两种假设下，的傅里叶变换性质。
解：
令
（1）x（n）是实、偶函数，两边取共轭，得到因此上式说明x（n）是实序列，具有共轭对称性质。
由于x（n）是偶函数，x（n）sinwn是奇函数，那么因此该式说明是实函数，且是w的偶函数。
总结以上x（n）是实、偶函数时，对应的傅里叶变换是实、偶函数。
（2）x（n）是实、奇函数。
上面已推出，由于x（n）是实序列，具有共轭对称性质，即由于x（n）是奇函数，上式中是奇函数，那么因此这说明是纯虚数，且是w的奇函数。
10.若序列是实因果序列，其傅里叶变换的实部如下式:
求序列及其傅里叶变换。
解：
12.设系统的单位取样响应，输入序列为，完成下面各题：
（1）求出系统输出序列；
（2）分别求出、和的傅里叶变换。
解：
（1）
（2）13.已知，式中，以采样频率对进行采样，得到采样信号和时域离散信号，试完成下面各题：
（1）写出的傅里叶变换表示式；
（2）写出和的表达式；
（3）分别求出的傅里叶变换和序列的傅里叶变换。
解：
（1）上式中指数函数的傅里叶变换不存在，引入奇异函数函数，它的傅里叶变换可以表示成：
（2）（3）式中式中上式推导过程中，指数序列的傅里叶变换仍然不存在，只有引入奇异函数函数，才能写出它的傅里叶变换表达式。
14.求以下序列的Z变换及收敛域：
（2）；
（3）；
（6）解：
（2）（3）（6）16.已知:
求出对应的各种可能的序列的表达式。
解：
有两个极点，因为收敛域总是以极点为界，因此收敛域有以下三种情况：
三种收敛域对应三种不同的原序列。
（1）当收敛域时，令，因为c内无极点，x（n）=0；
，C内有极点0，但z=0是一个n阶极点，改为求圆外极点留数，圆外极点有，那么
（2）当收敛域时，，C内有极点0.5；
，C内有极点0.5，0，但0是一个n阶极点，改成求c外极点留数，c外极点只有一个，即2，最后得到（3）当收敛域时，，C内有极点0.5，2；
n
或者这样分析，C内有极点0.5，2，0，但0是一个n阶极点，改成求c外极点留数，c外无极点，所以x（n）=0。
最后得到17.已知，分别求：
（1）的Z变换；
（2）的Z变换；
（3）的z变换。
解：
（1）
（2）（3）18.已知，分别求：
（1）收敛域对应的原序列；
（2）收敛域对应的原序列。
解：
（1）当收敛域时，，内有极点0.5，,c内有极点0.5,0,但0是一个n阶极点,改求c外极点留数,c外极点只有2,,最后得到（2（当收敛域时，c内有极点0.5,2,c内有极点0.5,2,0,但极点0是一个n阶极点,改成求c外极点留数,可是c外没有极点,因此,最后得到25.已知网络的输入和单位脉冲响应分别为，试：
（1）用卷积法求网络输出；
（2）用ZT法求网络输出。
解：
（1）用卷积法求，,，，最后得到
（2）用ZT法求令,c内有极点因为系统是因果系统，,，最后得到28.若序列是因果序列，其傅里叶变换的实部如下式：
求序列及其傅里叶变换。
解：
求上式IZT，得到序列的共轭对称序列。
因为是因果序列，必定是双边序列，收敛域取：
。
时，c内有极点,n=0时，c内有极点,0，所以又因为所以3.2教材第三章习题解答1.计算以下诸序列的N点DFT,在变换区间内,序列定义为
（2）；
（4）；
（6）；
（8）；
（10）。
解：
（2）（4）（6）（8）解法1直接计算解法2由DFT的共轭对称性求解因为所以即结果与解法1所得结果相同。
此题验证了共轭对称性。
（10）解法1上式直接计算较难，可根据循环移位性质来求解X（k）。
因为所以等式两边进行DFT得到故当时，可直接计算得出X（0）这样，X（k）可写成如下形式：
解法2时，时，所以，即2.已知下列，求
（1）;
（2）解：
（1）
（2）3.长度为N=10的两个有限长序列作图表示、和。
解：
、和分别如题3解图（a）、（b）、（c）所示。
14.两个有限长序列和的零值区间为:
对每个序列作20点DFT,即如果试问在哪些点上，为什么？
解：
如前所示，记，而。
长度为27，长度为20。
已推出二者的关系为只有在如上周期延拓序列中无混叠的点上，才满足所以15.用微处理机对实数序列作谱分析,要求谱分辨率，信号最高频率为1kHZ，试确定以下各参数：
（1）最小记录时间；
（2）最大取样间隔；
（3）最少采样点数；
（4）在频带宽度不变的情况下，将频率分辨率提高一倍的N值。
解：
（1）已知
（2）（3）（4）频带宽度不变就意味着采样间隔T不变，应该使记录时间扩大一倍为0.04s实现频率分辨率提高一倍（F变为原来的1/2）18.我们希望利用长度为N=50的FIR滤波器对一段很长的数据序列进行滤波处理，要求采用重叠保留法通过DFT来实现。
所谓重叠保留法，就是对输入序列进行分段（本题设每段长度为M=100个采样点），但相邻两段必须重叠V个点，然后计算各段与的L点（本题取L=128）循环卷积，得到输出序列，m表示第m段计算输出。
最后，从中取出Ｂ个，使每段取出的Ｂ个采样点连接得到滤波输出。
（1）求V；
（2）求B；
（3）确定取出的B个采样应为中的哪些采样点。
解：
为了便于叙述，规定循环卷积的输出序列的序列标号为0，1，2，…,127。
先以与各段输入的线性卷积考虑，中，第0点到48点（共49个点）不正确，不能作为滤波输出，第49点到第99点（共51个点）为正确的滤波输出序列的一段，即B=51。
所以，为了去除前面49个不正确点，取出51个正确的点连续得到不间断又无多余点的，必须重叠100-51=49个点，即V=49。
下面说明，对128点的循环卷积，上述结果也是正确的。
我们知道因为长度为N+M-1=50+100-1=149所以从n=20到127区域，，当然，第49点到第99点二者亦相等，所以，所取出的第51点为从第49到99点的。
综上所述，总结所得结论V=49,B=51选取中第49~99点作为滤波输出。
5.2教材第五章习题解答1.设系统用下面的差分方程描述：
，试画出系统的直接型、级联型和并联型结构。
解：
将上式进行Z变换
（1）按照系统函数，根据Masson公式，画出直接型结构如题1解图
（一）所示。
（2）将的分母进行因式分解按照上式可以有两种级联型结构：
（a）画出级联型结构如题1解图
（二）（a）所示（b）画出级联型结构如题1解图
（二）（b）所示（3）将进行部分分式展开根据上式画出并联型结构如题1解图（三）所示。
2.设数字滤波器的差分方程为，试画出该滤波器的直接型、级联型和并联型结构。
解：
将差分方程进行Z变换，得到
（1）按照Massion公式直接画出直接型结构如题2解图
（一）所示。
（2）将的分子和分母进行因式分解：
按照上式可以有两种级联型结构：
（a）画出级联型结构如题2解图
（二）（a）所示。
（b）画出级联型结构如题2解图
（二）（b）所示●。
3.设系统的系统函数为，试画出各种可能的级联型结构。
解：
由于系统函数的分子和分母各有两个因式，可以有两种级联型结构。
（1），画出级联型结构如题3解图（a）所示●。
（2）,画出级联型结构如题3解图（b）所示。
4.图中画出了四个系统，试用各子系统的单位脉冲响应分别表示各总系统的单位脉冲响应，并求其总系统函数。
图d解：
（d）5.写出图中流图的系统函数及差分方程。
图d解：
（d）6.写出图中流图的系统函数。
图f解：
（f）8．已知FIR滤波器的单位脉冲响应为，试用频率采样结构实现该滤波器。
设采样点数N=5，要求画出频率采样网络结构，写出滤波器参数的计算公式。
解：
已知频率采样结构的公式为式中，N=5它的频率采样结构如题8解图所示。
6.2教材第六章习题解答1.设计一个巴特沃斯低通滤波器，要求通带截止频率，通带最大衰减，阻带截止频率，阻带最小衰减。
求出滤波器归一化传输函数以及实际的。
解：
（1）求阶数N。
将和值代入N的计算公式得所以取N=5（实际应用中，根据具体要求，也可能取N=4，指标稍微差一点，但阶数低一阶，使系统实现电路得到简化。
）
（2）求归一化系统函数，由阶数N=5直接查表得到5阶巴特沃斯归一化低通滤波器系统函数为或当然，也可以按（6.12）式计算出极点:
按（6.11）式写出表达式代入值并进行分母展开得到与查表相同的结果。
（3）去归一化（即LP-LP频率变换），由归一化系统函数得到实际滤波器系统函数。
由于本题中，即，因此对分母因式形式，则有如上结果中，的值未代入相乘，这样使读者能清楚地看到去归一化后，3dB截止频率对归一化系统函数的改变作用。
2.设计一个切比雪夫低通滤波器，要求通带截止频率，通带最在衰减速，阻带截止频率，阻带最小衰减。
求出归一化传输函数和实际的。
解：
（1）确定滤波器技术指标：
，
（2）求阶数N和：
为了满足指标要求，取N=4。
（2）求归一化系统函数其中，极点由（6.2.38）式求出如下：
（3）将去归一化，求得实际滤波器系统函数其中，因为，所以。
将两对共轭极点对应的因子相乘，得到分母为二阶因子的形式，其系数全为实数。
4.已知模拟滤波器的传输函数为：
（1）；
（2）。
式中，a,b为常数，设因果稳定，试采用脉冲响应不变法，分别将其转换成数字滤波器。
解：
该题所给正是模拟滤波器二阶基本节的两种典型形式。
所以，求解该题具有代表性，解该题的过程，就是导出这两种典型形式的的脉冲响应不变法转换公式，设采样周期为T。
（1）的极点为：
，将部分分式展开（用待定系数法）：
比较分子各项系数可知：
A、B应满足方程：
解之得所以按照题目要求，上面的表达式就可作为该题的答案。
但在工程实际中，一般用无复数乘法器的二阶基本结构实现。
由于两个极点共轭对称，所以将的两项通分并化简整理，可得用脉冲响应不变法转换成数字滤波器时，直接套用上面的公式即可，且对应结构图中无复数乘法器，便于工程实际中实现。
（2）的极点为：
，将部分分式展开：
通分并化简整理得5.已知模拟滤波器的传输函数为：
（1）；
（2）试用脉冲响应不变法和双线性变换法分别将其转换为数字滤波器，设T=2s。
解：
（1）用脉冲响应不变法①方法1直接按脉冲响应不变法设计公式，的极点为：
，代入T=2s方法2直接套用4题
（2）所得公式，为了套用公式，先对的分母配方，将化成4题中的标准形式：
为一常数，由于所以对比可知，，套用公式得②或通分合并两项得
（2）用双线性变换法①②7.假设某模拟滤波器是一个低通滤波器，又知，数字滤波器的通带中心位于下面的哪种情况？
并说明原因。
（1）（低通）；
（2）（高通）；
（3）除0或外的某一频率（带通）。
解：
按题意可写出故即原模拟低通滤波器以为通带中心，由上式可知，时，对应于，故答案为
（2）。
9.设计低通数字滤波器，要求通带内频率低于时，容许幅度误差在1dB之内；
频率在0.3到之间的阻带衰减大于10dB；
试采用巴特沃斯型模拟滤波器进行设计，用脉冲响应不变法进行转换，采样间隔T=1ms。
解：
本题要求用巴特沃斯型模拟滤波器设计，所以，由巴特沃斯滤波器的单调下降特性，数字滤波器指标描述如下：
采用脉冲响应不变法转换，所以，相应模拟低通巴特沃斯滤波器指标为：
（1）求滤波器阶数N及归一化系统函数：
取N=5，查表6.1的模拟滤波器系统函数的归一化低通原型为：
将部分分式展开：
其中，系数为：
（2）去归一化求得相应的模拟滤波器系统函数。
我们希望阻带指标刚好，让通带指标留有富裕量，所以按（6.2.18）式求3dB截止频率。
其中。
（3）用脉冲响应不变法将转换成数字滤波器系统函数：
我们知道，脉冲响应不变法的主要缺点是存在频率混叠失真，设计的滤波器阻带指标变差。
另外，由该题的设计过程可见，当N较大时，部分分式展开求解系数或相当困难，所以实际工作中用得很少，主要采用双线性变换法设计。
第7章习题与上机题解答1．已知FIR滤波器的单位脉冲响应为：
（1）h（n）长度N=6h（0）=h（5）=1.5h
（1）=h（4）=2h
（2）=h（3）=3
（2）h（n）长度N=7h（0）=－h（6）=3h
（1）=－h（5）=－2h
（2）=－h（4）=1h（3）=0试分别说明它们的幅度特性和相位特性各有什么特点。
解：
（1）由所给h（n）的取值可知，h（n）满足h（n）=h（N－1－n），所以FIR滤波器具有A类线性相位特性：
由于N=6为偶数（情况2），所以幅度特性关于ω=π点奇对称。
（2）由题中h（n）值可知，h（n）满足h（n）=－h（N－1－n），所以FIR滤波器具有B类线性相位特性：
由于7为奇数（情况3），所以幅度特性关于ω=0,π,2π三点奇对称。
2．已知第一类线性相位FIR滤波器的单位脉冲响应长度为16，其16个频域幅度采样值中的前9个为：
Hg（0）=12，Hg
（1）=8.34，Hg
（2）=3.79，Hg（3）~Hg（8）=0根据第一类线性相位FIR滤波器幅度特性Hg（ω）的特点，求其余7个频域幅度采样值。
解：
因为N=16是偶数（情况2），所以FIR滤波器幅度特性Hg（ω）关于ω=π点奇对称，即Hg（2π－ω）=－Hg（ω）。
其N点采样关于k=N/2点奇对称，即Hg（N－k）=－Hg（k）k=1,2,…,15综上所述,可知其余7个频域幅度采样值：
Hg（15）=－Hg
（1）=－8.34，Hg（14）=－Hg
（2）=－3.79，Hg（13）~Hg（9）=03．设FIR滤波器的系统函数为求出该滤波器的单位脉冲响应h（n），判断是否具有线性相位，求出其幅度特性函数和相位特性函数。
解:
对FIR数字滤波器，其系统函数为所以其单位脉冲响应为由h（n）的取值可知h（n）满足：
h（n）=h（N－1－n）N=5所以，该FIR滤波器具有第一类线性相位特性。
频率响应函数H（ejω）为幅度特性函数为相位特性函数为4．用矩形窗设计线性相位低通FIR滤波器，要求过渡带宽度不超过π/8rad。
希望逼近的理想低通滤波器频率响应函数Hd（ejω）为
（1）求出理想低通滤波器的单位脉冲响应hd（n）；
（2）求出加矩形窗设计的低通FIR滤波器的单位脉冲响应h（n）表达式，确定α与N之间的关系；
（3）简述N取奇数或偶数对滤波特性的影响。
解:
（1）
（2）为了满足线性相位条件，要求，N为矩形窗函数长度。
因为要求过渡带宽度Δβ≤rad,所以要求
加矩形窗函数,得到h（n）：
（3）N取奇数时，幅度特性函数Hg（ω）关于ω=0,π,2π三点偶对称，可实现各类幅频特性；
N取偶数时，Hg（ω）关于ω=π奇对称，即Hg（π）=0，所以不能实现高通、带阻和点阻滤波特性。
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