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1、数字信号处理第三版高西全数字信号处理第三版高西全 西安电子(高西全丁美玉第三版)数字信号处理课后答案1.2教材第一章习题解答1.用单位脉冲序列及其加权和表示题1图所示的序列。 解： 2.给定信号： （1）画出序列的波形，标上各序列的值； （2）试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示序列； （3）令，试画出波形； （4）令，试画出波形； （5）令，试画出波形。 解： （1）x(n)的波形如题2解图（一）所示。 （2）（3）的波形是x(n)的波形右移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（二）所示。 （4）的波形是x(n)的波形左移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。 （5）画时，先画x(-n)

2、的波形，然后再右移2位，波形如题2解图（四）所示。 3.判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。 （1），A是常数； （2）。 解： （1），这是有理数，因此是周期序列，周期是T=14； （2），这是无理数，因此是非周期序列。 5.设系统分别用下面的差分方程描述，与分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。 （1）； （3），为整常数； （5）； （7）。 解： （1）令：输入为，输出为故该系统是时不变系统。 故该系统是线性系统。 （3）这是一个延时器，延时器是一个线性时不变系统，下面予以证明。 令输入为，输出为，因为故延时器是一个时不变系统。又因为故延时器是线性系统。

3、（5）令：输入为，输出为，因为故系统是时不变系统。又因为因此系统是非线性系统。 （7）令：输入为，输出为，因为故该系统是时变系统。又因为故系统是线性系统。 6.给定下述系统的差分方程，试判断系统是否是因果稳定系统，并说明理由。 （1）； （3）； （5）。 解： （1）只要，该系统就是因果系统，因为输出只与n时刻的和n时刻以前的输入有关。如果，则，因此系统是稳定系统。 （3）如果，因此系统是稳定的。系统是非因果的，因为输出还和x(n)的将来值有关.（5）系统是因果系统，因为系统的输出不取决于x(n)的未来值。如果，则，因此系统是稳定的。 7.设线性时不变系统的单位脉冲响应和输入序列如题7图所示

4、，要求画出输出输出的波形。 解： 解法（1）:采用图解法图解法的过程如题7解图所示。 解法（2）:采用解析法。按照题7图写出x(n)和h(n)的表达式:因为所以将x(n)的表达式代入上式，得到8.设线性时不变系统的单位取样响应和输入分别有以下三种情况，分别求出输出。 （1）； （2）； （3）。 解： （1）先确定求和域，由和确定对于m的非零区间如下： 根据非零区间，将n分成四种情况求解： 最后结果为y(n)的波形如题8解图（一）所示。 （2）y(n)的波形如题8解图（二）所示.（3）y(n)对于m的非零区间为。 最后写成统一表达式： 11.设系统由下面差分方程描述： ； 设系统是因果的，利用

5、递推法求系统的单位取样响应。 解： 令： 归纳起来，结果为12.有一连续信号式中，（1）求出的周期。 （2）用采样间隔对进行采样，试写出采样信号的表达式。 （3）画出对应的时域离散信号(序列)的波形，并求出的周期。 第二章教材第二章习题解答1.设和分别是和的傅里叶变换，试求下面序列的傅里叶变换： （1）； （2）； （3）； （4）。 解： （1）令，则（2）（3）令，则（4）证明： 令k=n-m，则2.已知求的傅里叶反变换。 解： 3.线性时不变系统的频率响应(传输函数)如果单位脉冲响应为实序列，试证明输入的稳态响应为。 解： 假设输入信号，系统单位脉冲相应为h(n)，系统输出为上式说明，当

6、输入信号为复指数序列时，输出序列仍是复指数序列，且频率相同，但幅度和相位决定于网络传输函数，利用该性质解此题。 上式中是w的偶函数，相位函数是w的奇函数，4.设将以4为周期进行周期延拓，形成周期序列，画出和的波形，求出的离散傅里叶级数和傅里叶变换。 解： 画出x(n)和的波形如题4解图所示。 ,以4为周期，或者,以4为周期5.设如图所示的序列的FT用表示，不直接求出，完成下列运算： （1）； （2）； （5）解： （1）（2）（5）6.试求如下序列的傅里叶变换:（2）； （3）解： （2）（3）7.设:（1）是实偶函数，（2）是实奇函数，分别分析推导以上两种假设下，的傅里叶变换性质。 解： 令

7、（1）x(n)是实、偶函数，两边取共轭，得到因此上式说明x(n)是实序列，具有共轭对称性质。 由于x(n)是偶函数，x(n)sinwn是奇函数，那么因此该式说明是实函数，且是w的偶函数。 总结以上x(n)是实、偶函数时，对应的傅里叶变换是实、偶函数。 （2）x(n)是实、奇函数。 上面已推出，由于x(n)是实序列，具有共轭对称性质，即由于x(n)是奇函数，上式中是奇函数，那么因此这说明是纯虚数，且是w的奇函数。 10.若序列是实因果序列，其傅里叶变换的实部如下式:求序列及其傅里叶变换。 解： 12.设系统的单位取样响应，输入序列为，完成下面各题： （1）求出系统输出序列； （2）分别求出、和的

8、傅里叶变换。 解： （1）（2）13.已知，式中，以采样频率对进行采样，得到采样信号和时域离散信号，试完成下面各题： （1）写出的傅里叶变换表示式； （2）写出和的表达式； （3）分别求出的傅里叶变换和序列的傅里叶变换。 解： （1）上式中指数函数的傅里叶变换不存在，引入奇异函数函数，它的傅里叶变换可以表示成： （2）（3）式中式中上式推导过程中，指数序列的傅里叶变换仍然不存在，只有引入奇异函数函数，才能写出它的傅里叶变换表达式。 14.求以下序列的Z变换及收敛域： （2）； （3）； （6）解： （2）（3）（6）16.已知:求出对应的各种可能的序列的表达式。 解： 有两个极点，因为收敛域总

9、是以极点为界，因此收敛域有以下三种情况： 三种收敛域对应三种不同的原序列。 （1）当收敛域时，令，因为c内无极点，x(n)=0； ，C内有极点0，但z=0是一个n阶极点，改为求圆外极点留数，圆外极点有，那么（2）当收敛域时，C内有极点0.5； ，C内有极点0.5，0，但0是一个n阶极点，改成求c外极点留数，c外极点只有一个，即2，最后得到（3）当收敛域时，C内有极点0.5，2； n 或者这样分析，C内有极点0.5，2，0，但0是一个n阶极点，改成求c外极点留数，c外无极点，所以x(n)=0。 最后得到17.已知，分别求： （1）的Z变换； （2）的Z变换； （3）的z变换。 解： （1）（2）

10、（3）18.已知，分别求： （1）收敛域对应的原序列； （2）收敛域对应的原序列。 解： （1）当收敛域时，内有极点0.5，,c内有极点0.5,0,但0是一个n阶极点,改求c外极点留数,c外极点只有2,最后得到（2（当收敛域时，c内有极点0.5,2,c内有极点0.5,2,0,但极点0是一个n阶极点,改成求c外极点留数,可是c外没有极点,因此,最后得到25.已知网络的输入和单位脉冲响应分别为，试： （1）用卷积法求网络输出； （2）用ZT法求网络输出。 解： （1）用卷积法求，,，最后得到（2）用ZT法求令,c内有极点因为系统是因果系统，,，最后得到28.若序列是因果序列，其傅里叶变换的实部如下

11、式： 求序列及其傅里叶变换。 解： 求上式IZT，得到序列的共轭对称序列。 因为是因果序列，必定是双边序列，收敛域取：。 时，c内有极点,n=0时，c内有极点,0，所以又因为所以3.2教材第三章习题解答1.计算以下诸序列的N点DFT,在变换区间内,序列定义为（2）； （4）； （6）； （8）； （10）。 解： （2）（4）（6）（8）解法1直接计算解法2由DFT的共轭对称性求解因为所以即结果与解法1所得结果相同。此题验证了共轭对称性。 （10）解法1上式直接计算较难，可根据循环移位性质来求解X(k)。 因为所以等式两边进行DFT得到故当时，可直接计算得出X（0）这样，X（k）可写成如下形式

12、： 解法2时，时，所以，即2.已知下列，求（1）;（2）解： （1）（2）3.长度为N=10的两个有限长序列作图表示、和。 解： 、和分别如题3解图（a）、（b）、（c）所示。 14.两个有限长序列和的零值区间为:对每个序列作20点DFT,即如果试问在哪些点上，为什么？解： 如前所示，记，而。 长度为27，长度为20。已推出二者的关系为只有在如上周期延拓序列中无混叠的点上，才满足所以15.用微处理机对实数序列作谱分析,要求谱分辨率，信号最高频率为1kHZ，试确定以下各参数： （1）最小记录时间； （2）最大取样间隔； （3）最少采样点数； （4）在频带宽度不变的情况下，将频率分辨率提高一倍的N

13、值。 解： （1）已知（2）（3）（4）频带宽度不变就意味着采样间隔T不变，应该使记录时间扩大一倍为0.04s实现频率分辨率提高一倍（F变为原来的1/2）18.我们希望利用长度为N=50的FIR滤波器对一段很长的数据序列进行滤波处理，要求采用重叠保留法通过DFT来实现。所谓重叠保留法，就是对输入序列进行分段（本题设每段长度为M=100个采样点），但相邻两段必须重叠V个点，然后计算各段与的L点（本题取L=128）循环卷积，得到输出序列，m表示第m段计算输出。最后，从中取出个，使每段取出的个采样点连接得到滤波输出。 （1）求V； （2）求B； （3）确定取出的B个采样应为中的哪些采样点。 解： 为

14、了便于叙述，规定循环卷积的输出序列的序列标号为0，1，2，,127。 先以与各段输入的线性卷积考虑，中，第0点到48点（共49个点）不正确，不能作为滤波输出，第49点到第99点（共51个点）为正确的滤波输出序列的一段，即B=51。所以，为了去除前面49个不正确点，取出51个正确的点连续得到不间断又无多余点的，必须重叠100-51=49个点，即V=49。 下面说明，对128点的循环卷积，上述结果也是正确的。我们知道因为长度为N+M-1=50+100-1=149所以从n=20到127区域，当然，第49点到第99点二者亦相等，所以，所取出的第51点为从第49到99点的。 综上所述，总结所得结论V=4

15、9,B=51选取中第4999点作为滤波输出。 5.2教材第五章习题解答1.设系统用下面的差分方程描述： ，试画出系统的直接型、级联型和并联型结构。 解： 将上式进行Z变换（1）按照系统函数，根据Masson公式，画出直接型结构如题1解图（一）所示。 （2）将的分母进行因式分解按照上式可以有两种级联型结构： (a)画出级联型结构如题1解图（二）（a）所示(b)画出级联型结构如题1解图（二）（b）所示（3）将进行部分分式展开根据上式画出并联型结构如题1解图（三）所示。 2.设数字滤波器的差分方程为，试画出该滤波器的直接型、级联型和并联型结构。 解： 将差分方程进行Z变换，得到（1）按照Massio

16、n公式直接画出直接型结构如题2解图（一）所示。 （2）将的分子和分母进行因式分解： 按照上式可以有两种级联型结构： (a)画出级联型结构如题2解图（二）（a）所示。 (b)画出级联型结构如题2解图（二）（b）所示。 3.设系统的系统函数为，试画出各种可能的级联型结构。 解： 由于系统函数的分子和分母各有两个因式，可以有两种级联型结构。 （1），画出级联型结构如题3解图（a）所示。 （2）,画出级联型结构如题3解图（b）所示。 4.图中画出了四个系统，试用各子系统的单位脉冲响应分别表示各总系统的单位脉冲响应，并求其总系统函数。图d解： (d)5.写出图中流图的系统函数及差分方程。图d解： (d)

17、6.写出图中流图的系统函数。图f解： (f)8已知FIR滤波器的单位脉冲响应为，试用频率采样结构实现该滤波器。设采样点数N=5，要求画出频率采样网络结构，写出滤波器参数的计算公式。 解： 已知频率采样结构的公式为式中，N=5它的频率采样结构如题8解图所示。 6.2教材第六章习题解答1.设计一个巴特沃斯低通滤波器，要求通带截止频率，通带最大衰减，阻带截止频率，阻带最小衰减。求出滤波器归一化传输函数以及实际的。 解： （1）求阶数N。 将和值代入N的计算公式得所以取N=5（实际应用中，根据具体要求，也可能取N=4，指标稍微差一点，但阶数低一阶，使系统实现电路得到简化。）（2）求归一化系统函数，由阶

18、数N=5直接查表得到5阶巴特沃斯归一化低通滤波器系统函数为或当然，也可以按（6.12）式计算出极点:按（6.11）式写出表达式代入值并进行分母展开得到与查表相同的结果。 （3）去归一化（即LP-LP频率变换），由归一化系统函数得到实际滤波器系统函数。 由于本题中，即，因此对分母因式形式，则有如上结果中，的值未代入相乘，这样使读者能清楚地看到去归一化后，3dB截止频率对归一化系统函数的改变作用。 2.设计一个切比雪夫低通滤波器，要求通带截止频率，通带最在衰减速，阻带截止频率，阻带最小衰减。求出归一化传输函数和实际的。 解： （1）确定滤波器技术指标： ，（2）求阶数N和： 为了满足指标要求，取N

19、=4。 （2）求归一化系统函数其中，极点由(6.2.38)式求出如下： （3）将去归一化，求得实际滤波器系统函数其中，因为，所以。将两对共轭极点对应的因子相乘，得到分母为二阶因子的形式，其系数全为实数。 4.已知模拟滤波器的传输函数为： (1)； (2)。式中，a,b为常数，设因果稳定，试采用脉冲响应不变法，分别将其转换成数字滤波器。 解： 该题所给正是模拟滤波器二阶基本节的两种典型形式。所以，求解该题具有代表性，解该题的过程，就是导出这两种典型形式的的脉冲响应不变法转换公式，设采样周期为T。 （1）的极点为： ，将部分分式展开（用待定系数法）： 比较分子各项系数可知： A、B应满足方程： 解

20、之得所以按照题目要求，上面的表达式就可作为该题的答案。但在工程实际中，一般用无复数乘法器的二阶基本结构实现。由于两个极点共轭对称，所以将的两项通分并化简整理，可得用脉冲响应不变法转换成数字滤波器时，直接套用上面的公式即可，且对应结构图中无复数乘法器，便于工程实际中实现。 （2）的极点为： ，将部分分式展开： 通分并化简整理得5.已知模拟滤波器的传输函数为： （1）； （2）试用脉冲响应不变法和双线性变换法分别将其转换为数字滤波器，设T=2s。 解： （1）用脉冲响应不变法方法1直接按脉冲响应不变法设计公式，的极点为： ，代入T=2s方法2直接套用4题(2)所得公式，为了套用公式，先对的分母配方

21、，将化成4题中的标准形式： 为一常数，由于所以对比可知，套用公式得或通分合并两项得（2）用双线性变换法7.假设某模拟滤波器是一个低通滤波器，又知，数字滤波器的通带中心位于下面的哪种情况？并说明原因。 （1）(低通)； （2）（高通）； （3）除0或外的某一频率（带通）。 解： 按题意可写出故即原模拟低通滤波器以为通带中心，由上式可知，时，对应于，故答案为（2）。 9.设计低通数字滤波器，要求通带内频率低于时，容许幅度误差在1dB之内； 频率在0.3到之间的阻带衰减大于10dB； 试采用巴特沃斯型模拟滤波器进行设计，用脉冲响应不变法进行转换，采样间隔T=1ms。 解： 本题要求用巴特沃斯型模拟滤

22、波器设计，所以，由巴特沃斯滤波器的单调下降特性，数字滤波器指标描述如下： 采用脉冲响应不变法转换，所以，相应模拟低通巴特沃斯滤波器指标为： （1）求滤波器阶数N及归一化系统函数： 取N=5，查表6.1的模拟滤波器系统函数的归一化低通原型为： 将部分分式展开： 其中，系数为： （2）去归一化求得相应的模拟滤波器系统函数。 我们希望阻带指标刚好，让通带指标留有富裕量，所以按(6.2.18)式求3dB截止频率。 其中。 （3）用脉冲响应不变法将转换成数字滤波器系统函数： 我们知道，脉冲响应不变法的主要缺点是存在频率混叠失真，设计的滤波器阻带指标变差。另外，由该题的设计过程可见，当N较大时，部分分式展

23、开求解系数或相当困难，所以实际工作中用得很少，主要采用双线性变换法设计。 第7章习题与上机题解答 1已知FIR滤波器的单位脉冲响应为： （1）h(n)长度N=6 h(0)=h(5)=1.5 h(1)=h(4)=2 h(2)=h(3)=3（2）h(n)长度N=7 h(0)=h(6)=3 h(1)=h(5)=2 h(2)=h(4)=1 h(3)=0试分别说明它们的幅度特性和相位特性各有什么特点。 解： （1）由所给h(n)的取值可知，h(n)满足h(n)=h(N1n)，所以FIR滤波器具有A类线性相位特性： 由于N=6为偶数(情况2)，所以幅度特性关于=点奇对称。 （2）由题中h(n)值可知，h(

24、n)满足h(n)=h(N1n)，所以FIR滤波器具有B类线性相位特性： 由于7为奇数(情况3)，所以幅度特性关于=0,2三点奇对称。 2已知第一类线性相位FIR滤波器的单位脉冲响应长度为16，其16个频域幅度采样值中的前9个为： Hg(0)=12，Hg(1)=8.34，Hg(2)=3.79，Hg(3)Hg(8)=0 根据第一类线性相位FIR滤波器幅度特性Hg()的特点，求其余7个频域幅度采样值。 解： 因为N=16是偶数（情况2），所以FIR滤波器幅度特性Hg()关于=点奇对称，即Hg(2)=Hg()。 其N点采样关于k=N/2点奇对称，即Hg(Nk)=Hg(k)k=1,2,15综上所述,可知

25、其余7个频域幅度采样值： Hg(15)=Hg(1)=8.34，Hg(14)=Hg(2)=3.79，Hg(13)Hg(9)=03设FIR滤波器的系统函数为求出该滤波器的单位脉冲响应h(n)，判断是否具有线性相位，求出其幅度特性函数和相位特性函数。 解:对FIR数字滤波器，其系统函数为所以其单位脉冲响应为由h(n)的取值可知h(n)满足： h(n)=h(N1n)N=5所以，该FIR滤波器具有第一类线性相位特性。 频率响应函数H(ej)为幅度特性函数为相位特性函数为4用矩形窗设计线性相位低通FIR滤波器，要求过渡带宽度不超过/8rad。 希望逼近的理想低通滤波器频率响应函数Hd(ej)为（1）求出理想低通滤波器的单位脉冲响应hd(n)； （2）求出加矩形窗设计的低通FIR滤波器的单位脉冲响应h(n)表达式，确定与N之间的关系； （3）简述N取奇数或偶数对滤波特性的影响。 解:（1）（2）为了满足线性相位条件，要求，N为矩形窗函数长度。 因为要求过渡带宽度rad,所以要求 加矩形窗函数,得到h(n)： （3）N取奇数时，幅度特性函数Hg()关于=0,2三点偶对称，可实现各类幅频特性； N取偶数时，Hg()关于=奇对称，即Hg()=0，所以不能实现高通、带阻和点阻滤波特性。