MATLAB在图形绘制与函数单调性和最极值中的应用.docx

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MATLAB在图形绘制与函数单调性和最极值中的应用

《MATLAB语言》课程论文

MATLAB在图形绘制与函数单调性和最极值中的应用

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MATLAB在图形绘制与函数单调性和最极值中的应用

摘要：

MATLAB是一套非常强大的数值计算软件，可靠的数值计算和符号计算功能、优越的绘图功能等突出的优点，使其风靡全球，运用MATLAB中强大的函数工具箱可以实现数值分析、优化、统计、偏微分方程数值解、自动控制、信号处理、图形、图像处理等若干个领域的计算和图形显示功能。

毫无疑问，对于图形绘制及数学中关于函数单调性和最极值中的问题，也可以通过MATLAB轻松的解决。

关键词:

MATLAB图形绘制函数单调性最值极值

在如今的科学研究和工程应用中，我们会遇到各种各样的问题，其中最基本的就是关于图形绘制和各种数学方面的问题，而MATLAB中强大的绘图功能以及可靠的数值计算和符号计算功能，将使这些问题可以得到更好的解决，下面我们就分别对MATLAB在此方面的应用进行分析：

一、MATLAB在图形绘制中的应用

1、MATLAB的二维曲线绘制

（1）基本绘图指令plot

MATLAB软件中指令plot是最简单且使用最广泛的一个线性绘图指令，利用该指令可以会出折线、曲线和参数方程曲线的图形。

Plot绘图命令有如下一些常用形式：

命令形式1：

plot（y）

问题1.绘出向量[3,8,6,4,1]的图形。

解MATLAB的命令为

y=[3,8,6,4,1];%数据

plot（y）%绘图

图1.问题1程序图形

命令形式2：

plot（x,y）

问题2.绘出函数

在区间-4≤x≤4的图形.

解MATLAB的命令为

x=-5:

1:

5;%设置x的取值

y=cos（x.^2）;%原函数

plot（x,y）;%绘图

gridon;%显示网格

图2.问题2程序图形

命令形式3：

plot（x1,y1,x2,y2,…）

问题3.在同一图像窗口绘出三个函数y=sin2x，

，

的图形，-3≤x≤2.

解MATLAB的命令为：

x=-2:

0.1:

3;%取值范围

plot（x,sin（2*x）,'.',x,x.^2,'k-',x,x,'k'）;%绘制图形

legend（'sin（2*x）','x^2','x'）;%生成图例

图3.问题3程序图形

（2）图形的标注

MATLAB可以在绘出的图形上加各种标注级文字说明。

他们的实现命令如下：

①图名标注title

命令形式：

title（‘string’）

②坐标轴标注xlabel,ylabel,zlabel

命令形式：

xlabel（‘string’）或ylabel（‘string’）或zlabel（‘string’）

③图形标注text，gtext

命令形式：

text（x,y,’string’）或text（x,y,z,’string’）

④图例标注legend

命令形式：

legend（‘string’，‘string’，…）

问题4、在同一坐标系中绘出两个函数

，

的图形，自变量范围为-2≤x≤2；函数

为红色实线，函数

为洋红色虚线，并加注标题、坐标轴和图例标注。

解建立命令文件exam5.m:

clf;%命令符

x=-2:

1:

2;%取值范围

y1=cos（2*x）;%原函数1

y2=x;%原函数2

plot（x,y1,'-r',x,y2,'-.m'）;%绘制图形

gridon;%显示网格

title（'曲线y=cos（2x）与y=x'）;%标注标题

xlabel（'x轴'）;%x轴标注

ylabel（'y轴'）;%y轴标注

x00=-2:

2;%取值范围

y00=[1.5,1.0,0,0.56,-1.5];%取值范围

holdon;%图形保持

plot（x00,y00,'bp'）;%绘制5点图

legend（'y=cos（2x）','y=x','5点图'）;%图形标注

执行命令文件exam5.m，其程序运行结果如图。

图4.问题4程序图形

（3）一个图形中多个子图的绘制

可以在MATLAB图形窗口中显示多个图形，要实现该功能就要利用函数subplot.

命令形式：

subplot（m,n,p）

例5.把一个图形窗口分为两个子图，每个子图绘制不同的图形。

解MATLAB的命令如下：

clf;%命令符

x=-2:

0.2:

2;%取值范围

y1=x+sin（x）;%原函数1

y2=sin（x）./x;%原函数2

subplot（1,2,1）;%窗口分割

plot（x,y1,'-m.'）;%绘制图形

gridon;%显示网格

title（'y=x+sinx'）;%标注标题

subplot（1,2,2）;%窗口分割

plot（x,y2,'-rp'）;%绘制图形

gridon;%显示网格

title（'y=sinx/x'）;%标注标题

图5.问题5程序图形

（4）绘制数值函数二维曲线的命令fplot

命令形式：

fplot（fun,[xmin,xmax]）

（5）绘制符号函数二维曲线的命令ezplot

命令形式：

ezplot（fun,[xmin,xmax]）

问题6、绘出

在[0,

]间的图形.

解MATLAB命令为：

symst;%定义符号变量

ezplot（'2/3*exp（-t/2）*cos（3/2*t）',[0,4*pi]）%符号函数绘制图形

图6.问题6程序图形

2、MATLAB的空间曲线绘图

（1）三维空间曲线命令plot3

命令形式1：

plot3（x,y,z）

命令形式2：

plot3（x,y,z,’string’）

命令形式3：

plot3（x1,y1,z1,’string’,x2,y2,z2,’string’,…）

问题7、绘制螺旋线

的图像。

解在MATLAB中的命令如下：

t1=0:

pi/25:

10*pi;%设置取值范围

x1=sin（t1）;%参数方程1

y1=cos（t1）;%参数方程2

z1=t1;%参数方程3

plot3（x1,y1,z1,'r'）;%绘制曲线

title（'螺旋线'）;%标注标题

xlabel（'x轴'）;%x轴标注

ylabel（'y轴'）;%y轴标注

zlabel（'z轴'）;%z轴标注

图7.问题7程序图形

3、MATLAB的空间曲面绘制

二元函数

的图形是三维空间曲面，空间曲面图形在帮助人们了解二元函数特性上具有较大作用。

现介绍绘制空间曲面图形的命令。

（1）meshgrid命令

Meshgrid的调用形式是：

①[X,Y]=meshgrid（x,y）,绘制二维图形时生成小矩阵的格点；

②[X，Y]=meshgrid（x）,等价于[X,Y]=meshgrid（x,x）;

③[X,Y,Z]=meshgrid（x,y,z）,绘制三维图形时生成空间曲面的格点；

④[X,Y,Z]=meshgrid（x）,等价于[X,Y,Z]=meshgrid（x,x,x）.

（2）三维网格图命令mesh

函数mesh的命令形式如下：

①mesh（X,Y,Z）,X,Y,Z是同维的矩阵；

②mesh（x,y,Z）,x,y是向量，而Z是矩阵，等价于

③mesh（Z），若提供参数x,y,等价于mesh（x,y,Z）,否则默认x=1:

n,y=1:

m.

问题8、分别用指令mesh，meshc,meshz绘制函数

在-8≤x,y≤8上的图形。

解在MATLAB中的程序如下：

t=-8:

0.3:

8;%取值范围

[x,y]=meshgrid（t）;%生成小矩形的格点

r=sqrt（x.^2+y.^2）+eps;%与程序下一行共同构成所求函数

z=sin（r）./r;%与程序上一行共同构成所求函数

subplot（1,3,1）;%图形分割

meshc（x,y,z）;%用meshc命令，生成图形的同时，生成曲面的等高线

title（'meshc'）,axis（[-88-88-0.50.8]）;%标题标注及坐标控制

subplot（1,3,2）;%图形分割

meshz（x,y,z）;%用meshz命令，生成图形的同时，生成曲面下方的长方形的台柱

title（'meshz'）,axis（[-88-88-0.50.8]）;

subplot（1,3,3）;%图形分割

mesh（x,y,z）;%用mesh命令，生成三维网格图形

title（'mesh'）,axis（[-88-88-0.50.8]）;%标题标注及坐标控制

图8.问题8程序图形

（3）三维表面图命令surf

Surf的调用方式与mesh相同，与mesh不同的是surf绘制的是曲面而不是网格。

问题9、绘出函数

，-1≤x,y≤1的三维网格图和三维表面图。

解MATLAB的命令为：

t=-1:

0.1:

1;%取值范围

[x,y]=meshgrid（t）;%生成网格

z=3-x.^2-y.^2;%原函数

subplot（1,2,1）,mesh（x,y,z）;%分区域绘图

title（'网格图'）;%标注标题

subplot（1,2,2）,surf（x,y,z）;%分区域绘图

title（'表面图'）;%标注标题

图9.问题9程序图形

（4）球面的绘制

在MATLAB中用命令sphere来绘制球面，其使用形式为：

命令形式1：

sphere（n）

命令形式2：

[x,y,z]=sphere（n）

问题10、试绘制函数

与

的图形。

解MATLAB中的命令如下：

%绘制半径为1的球面

v=[-22-22-22];%设置参数

subplot（1,2,1）;%图形分割

sphere（30）,title（'半径为1的球面'）;%绘制图形及标注标题

axis（v）;%对图形坐标进行设置

%绘制半径为2的球面

[x,y,z]=sphere（30）;%设置参数

subplot（1,2,2）;%图形分割

surf（2*x,2*y,2*z）;%绘制图形

title（'半径为2的球面'）;%标注标题

axis（v）;%对图形坐标进行设置

图10.问题10程序图形

（5）色彩控制

①colormap

命令形式：

colormap（m）

问题11、着色性能的例子

解在MATLAB中的命令如下：

z=peaks（20）;colormap（copper）;

subplot（1,3,1）;surf（z）;

subplot（1,3,2）;surf（z）;shadingflat;

subplot（1,3,3）;surf（z）;shadinginterp;

图11.问题11程序图形

二、MATLAB在函数单调性和最极值中的应用

MATLAB中提供的特殊函数diff可以很快的求出函数的导数。

diff函数用于对符号表达式求导数，其调用格式为：

①diff（f）:

没有指定变量和导数阶数，则系统按findsym函数指示的默认变量对符号表达式s求一阶导数；

②diff（f,v）:

以v为自变量，对符号表达式f求一阶导数;

③diff（f,n）:

按findsym函数指示的默认变量对符号表达式f求n阶导数；

④diff（f,v,n）:

以v为自变量对符号表达式f求n阶导数。

另外，求一元函数的极值问题：

命令形式：

fminbnd（fun,x1,x2）

求多元函数极值问题

命令形式1：

fminsearch（fun,x0）

命令形式2：

fminunc（fun,x0）

下面就以上问题分别举例说明

问题12、由导函数的图象确定函数

的单调区间。

解函数的定义域为（−∞,+∞）．下面用Matlab求解

symsx%定义符号变量

f=2*x^3-9*x^2+12*x-6;%设定函数．

f1=diff（f）;%求f的导数．

x=solve（f1）%解方程求驻点以确定绘图区间．

f1%显示f1

求得驻点x=[1][2]

函数的导数f1=6*x^2-18*x+12

fplot（'6*x^2-18*x+12',[0,3]）%绘制f1的图形

图12.问题12程序图形

由图可见，当x<1或x>2时,

;当1

；所以

的单调增加区间为：

和

，单调减少区间为：

。

问题13、求函数

的单调区间与极值。

解:

求可导函数的单调区间与极值,就是求导函数的正负区间与正负区间的分界点,利用matlab解决该问题,我们可以先求出导函数的零点,再画出函数图象,根据图象可以直观看出函数的单调区间与极值.输入命令:

symsx;%定义符号变量

f=x.^3-6.*x.^2+9.*x+3;%原函数

df=diff（f）;%利用diff函数求导

s=solve（df）%求解导函数

gridon%显示网格

得结果:

s=[1][3]

画出函数图象：

ezplot（f,[0,4]）;gridon%绘制图形且显示网格

图13.1问题13程序图形

从图上看,f（x）的单调增区间为（-∞,1）,（3,+∞）,单调减区间是（1,3）,极大值f

（1）=7,极小值f（3）=3.

求函数的单调区间，可用以下程序：

symsx%定义符号变量

f=x-log（1+x）%原函数

df=diff（f）;%利用diff函数求导

s=solve（df）%求解导函数

ezplot（f）%绘制图形

gridon%显示网格

可得结果s=0.其程序运行结果如图。

图13.2问题13程序图形

从图上看,f（x）的单调增区间为（0,+∞）,单调减区间是（-∞,0）,极小值f（0）=0.

问题14、用Matlab求函数

的极值。

解函数的定义域为

，函数为奇函数．

先用fplot语句绘出函数的图形

fplot（'x/（1+x^2）',[-4,4]）%绘制图形

图14.问题14程序图形

易见函数既有极小值点（在-1附近），又有极大值点（在1附近）．先求极小值，输入程序:

Clear%清除变量

x=fminbnd（'x/（1+x^2）',-3,0）%用fminbnd函数求解极小值点

得出极小值点x=-1.0000，又由

subs（'x/（1+x^2）',-1）%求极小值

求出极小值

，再求极大值，输入程序

[x,f]=fminbnd（'-x/（1+x^2）',0,3）%求极大值点及极大值

得出极大值点x=1,极大值

。

问题15．区间

内的最小值。

解ATLAB命令如下：

ff='x+3*（x^2+cos（x））'%原函数

xmin=fmin（ff,-1,1）%求最小值

其运行结果为xmin=-0.3275

问题16．数

在区间

和

的最小值点。

解MATLAB命令为：

f=inline（'x-1/x+5'）;%定义一个语句函数

fminbnd（f,-10,-1）%求函数在（-10，1）内的最小值点

fminbnd（f,1,10）%求函数在（1，10）内的最小值点

其运行结果如下：

ans=-9.9999ans=1.0001

问题17．函数

在区间

内的极小值点和极小值。

解MATLAB命令为：

f='（x-3）^2-1';%原函数

fminbnd（f,0,5）%运用函数求解极小值点

其结果为：

ans=3

即极小值点为x=3

[x,y]=fminbnd（f,0,5）%求解极小值

其结果为：

x=3y=-1

即函数在x=3处取得极小值-1

三、总结

通过以上对“matlab在图形绘制及函数单调性和极值的应用”的分析。

我们可以认识到MATLAB中强大的绘图功能以及可靠的数值计算和符号计算功能，，它的应用几乎涉及各个领域。

因为它的存在很多的问题也变得十分简单了。

在绘制图形时我们可以用它的各种绘图函数，其中最常用的有绘制二维曲线函数plot，在三维图形中用到了mesh函数和surf函数，当然也有其他的函数。

对于函数的单调性，我们主要用到的就是MATLAB中的求导函数diff（f）,而关于函数最极值的问题中主要用到的就是函数fminbnd（fun,x1,x2）。

四、课程体会

终于我完成了本次课程论文，通过这次完成论文的过程我学到了许多东西。

第一次写课程论文，所以起初我真的不知道该从何写起，连老师那句要有自己的思想也无法体会。

慢慢的经过资料的查阅，自己思考，以及同学的帮助，我开始有了自己的想法。

经过一周的努力，我的论文也慢慢成形。

起初我以为matlab和我们所学的C语言应该没多大的差距，可是通过这一学期的学习和这次论文的完成，我认识到了MATLAB的功能强大性，以及运用的广泛性，而且我相信本次论文经历会在我以后的学习中会有很大的帮助。

最后，向老师的辛勤指导及教学表示深深地谢意！

参考文献

1.刘卫国.MATLAB程序设计与应用[M].北京：

高等教育出版社.2006.7

2.王文波.数学建模及其基础知识详解[M].武汉：

武汉大学出版社.2006.5

3.赵静,但琦.数学建模与数学实验[M].北京：

高等教育出版社.2008.1

4.曾庆柏.应用高等数学[M].北京：

高等教育出版社.2008.6

5.MATLAB平台上函数单调性与凹凸性判定的数学实验[M].洛阳工业高等专科学校学报.2003.6