届高三数学一轮复习导学案教师讲义第4章第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数.docx

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第四章三角函数与解三角形

知识点

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任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数

了解任意角的概念．

了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化．

理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.

同角三角函数的基本关系式与诱导公式

理解同角三角函数的基本关系式：

sin2x＋cos2x＝1，＝tanx.

能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.

和与差的三角函数公式

会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．

能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．

能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.

简单的三角恒等变换

能运用公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）.

三角函数的图象与性质

能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性．

理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质（如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等），理解正切函数在区间内的单调性.

函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及三角函数模型的简单应用

了解函数y＝Asin（ωx＋φ）的物理意义；能画出函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响．

了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.

正弦定理和余弦定理

掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.

解三角形应用举例

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.

第1讲　任意角和弧度制及任意角的三角函数

1．角的有关概念

（1）角的形成：

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．

（2）角的分类

①

②

③所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：

S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}

2．弧度制

（1）定义：

把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是零．

（2）角度制和弧度制的互化：

180°＝πrad，1°＝rad，1rad＝°．

（3）扇形的弧长公式：

l＝|α|·r，扇形的面积公式：

S＝lr＝|α|·r2．

3．任意角的三角函数

三角函数

正弦

余弦

正切

定义

设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么

y叫做α的正弦，记作sinα

x叫做α的余弦，记作cosα

叫做α的正切，记作tanα

三角

函数线

有向线段MP为正弦线

有向线段OM为余弦线

有向线段AT为正切线

判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．（　　）

（2）角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．（　　）

（3）不相等的角终边一定不相同．（　　）

（4）终边相同的角的同一三角函数值相等．（　　）

（5）若α∈，则tanα＞sinα.（　　）

（6）若α为第一象限角，则sinα＋cosα＞1.（　　）

答案：

（1）×　

（2）√　（3）×　（4）√　（5）√　（6）√

（教材习题改编）角－870°的终边所在的象限是（　　）

A．第一象限　　　　　　B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

答案：

C

（教材习题改编）若角θ满足tanθ>0，sinθ<0，则角θ所在的象限是（　　）

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

答案：

C

（教材习题改编）单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为（　　）

A．10πB．9π

C．πD．π

答案：

D

（教材习题改编）已知角θ的终边过点P（12，－5），则cosθ的值为________．

解析：

因为x＝12，y＝－5，所以r＝＝13，

所以cosθ＝＝.

答案：

（教材习题改编）扇形弧长为20cm，中心角为100°，则该扇形的面积为________cm2.

解析：

由弧长公式l＝|α|r，得r＝＝（cm），

所以S扇形＝lr＝×20×＝（cm2）．

答案：

象限角及终边相同的角

[典例引领]

（1）若α＝k·180°＋45°（k∈Z），则α在（　　）

A．第一或第三象限　　　　B．第一或第二象限

C．第二或第四象限D．第三或第四象限

（2）设集合M＝{x|x＝·180°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝·180°＋45°，k∈Z}，那么（　　）

A．M＝NB．M⊆N

C．N⊆MD．M∩N＝∅

（3）已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内（不包括边界），则角α用集合可表示为________．

【解析】　

（1）当k＝2n（n∈Z）时，α＝2n·180°＋45°＝n·360°＋45°，α为第一象限角；

当k＝2n＋1（n∈Z）时，α＝（2n＋1）·180°＋45°＝n·360°＋225°，α为第三象限角，所以α为第一或第三象限角．故选A．

（2）法一：

由于M＝{x|x＝·180°＋45°，k∈Z}＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，

N＝{x|x＝·180°＋45°，k∈Z}＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M⊆N.

法二：

由于M中，x＝·180°＋45°＝k·90°＋45°＝45°·（2k＋1），2k＋1是奇数；而N中，x＝·180°＋45°＝k·45°＋45°＝（k＋1）·45°，k＋1是整数，因此必有M⊆N.

（3）在[0，2π）内，终边落在阴影部分角的集合为（，π），　

所以所求角的集合为（2kπ＋，2kπ＋π）（k∈Z）．

【答案】　

（1）A　

（2）B　（3）（2kπ＋，2kπ＋π）（k∈Z）

（1）终边相同角的应用

利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角．

（2）象限角的两种判断方法

①图象法：

在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．

②转化法：

先将已知角化为k·360°＋α（0°≤α＜360°，k∈Z）的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．

（3）求或nθ（n∈N*）所在象限的方法

①将θ的范围用不等式（含有k）表示．

②两边同除以n或乘以n.

③对k进行讨论，得到或nθ（n∈N*）所在的象限．

[注意]　注意“顺转减，逆转加”的应用，如角α的终边逆（顺）时针旋转180°可得角α＋（－）180°的终边，类推可知α＋（－）k·180°（k∈Z）表示终边落在角α的终边所在直线上的角．　

[通关练习]

1．终边在直线x－y＝0上的角的集合为（　　）

A．{α|α＝＋kπ，k∈Z}

B．{α|α＝＋kπ，k∈Z}

C．{α|α＝＋2kπ，k∈Z}

D．{α|α＝＋2kπ，k∈Z}

解析：

选B．由题意知，所求角α的终边在直线y＝x上，则α的集合为{α|α＝2kπ＋，k∈Z}∪{α|α＝2kπ＋π＋，k∈Z}＝{α|α＝kπ＋，k∈Z}．

2．若α是第二象限的角，则下列结论一定成立的是（　　）

A．sin＞0　　　　　　　B．cos＞0

C．tan＞0D．sincos＜0

解析：

选C．因为＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，

所以＋kπ＜＜＋kπ，k∈Z.

当k为偶数时，是第一象限角；

当k为奇数时，是第三象限角．故选C．

扇形的弧长、面积公式

[典例引领]

已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.

（1）若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长l；

（2）若扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？

【解】　

（1）α＝60°＝，

l＝10×＝（cm）．

（2）由已知得，l＋2R＝20，

所以S＝lR＝（20－2R）R＝10R－R2＝－（R－5）2＋25，

所以当R＝5时，S取得最大值25，

此时l＝10cm，α＝2rad.

弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略

（1）明确弧度制下弧长公式l＝|α|r，扇形的面积公式是S＝lr＝|α|r2（其中l是扇形的弧长，α是扇形的圆心角）．

（2）求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量．

[注意]　运用弧度制下有关弧长、扇形面积公式的前提是角的度量单位为弧度制．　

[通关练习]

1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是（　　）

A．　　　　　　　　　B．

C．－D．－

解析：

选C．将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角，故A、B不正确；又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的.

即为－×2π＝－.

2．若某圆弧长度等于该圆内接正三角形的边长，则该弧所对的圆心角的弧度数为（　　）

A．B．

C．3D．

解析：

选D.如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，则线段AB所对的圆心角∠AOB＝，作OM⊥AB，垂足为M，

在Rt△AOM中，AO＝r，∠AOM＝，

所以AM＝r，AB＝r，

所以l＝r，

由弧长公式得α＝＝＝.

三角函数的定义（高频考点）

任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义属于理解内容．在高考中多以选择题、填空题的形式出现．主要命题角度有：

（1）利用三角函数定义求值；

（2）三角函数值的符号判定；

（3）利用三角函数线比较大小、解不等式．

[典例引领]

角度一　利用三角函数定义求值

已知角α的终边经过点P（－x，－6），且cosα＝－，则＋＝________．

【解析】　因为角α的终边经过点P（－x，－6），且cosα＝－，所以cosα＝＝－，

即x＝或x＝－（舍去），

所以P（－，－6），

所以sinα＝－，所以tanα＝＝，

则＋＝－＋＝－.

【答案】　－

角度二　三角函数值的符号判定

若sinαtanα＜0，且＜0，则角α是（　　）

A．第一象限角　　　　　B．第二象限角

C．第三象限角D．第四象限角

【解析】　由sinαtanα＜0可知sinα，tanα异号，则角α为第二或第三象限角．

由＜0可知cosα，tanα异号，

则角α为第三或第四象限角．

综上可知，角α为第三象限角．

【答案】　C

角度三　利用三角函数线比较大小、解不等式

函数y＝lg（2sinx－1）＋的定义域为________．

【解析】　要使原函数有意义，必须有即，

如图，在单位圆中作出相应的三角函数线，

由图可知，原函数的定义域为（k∈Z）．

【答案】　（k∈Z）

（1）利用三角函数定义求值的方法

①已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值．先求P到原点的距离，再用三角函数的定义求解．

②已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．

③已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．

（2）三角函数值的符号判断方法

已知一角的三角函数值（sinα，cosα，tanα）中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况．

（3）利用单位圆解三角不等式的步骤

①确定区域的边界（注意边界的虚实）；

②确定区域；

③写出解集．　

[通关练习]

1．点P从（1，0）出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为（　　）

A．B．

C．D．

解析：

选A．由三角函数定义可知Q点的坐标（x，y）满足x＝cos＝－，y＝sin＝.

所以Q点的坐标为.

2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝－2x上，则cos2θ＝（　　）

A．－B．－

C．D．

解析：

选B．取终边上一点（a，－2a），a≠0，根据任意角的三角函数定义，由tanθ＝－2，可得cosθ＝±，故cos2θ＝2cos2θ－1＝－.

三角函数定义下的创新问题

[典例引领]

如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M.将点M到直线OP的距离表示成x的函数f（x），则y＝f（x）在[0，π]的图象大致为（　　）

【解析】　如图所示，当x∈时，

则P（cosx，sinx），M（cosx，0），作MM′⊥OP，M′为垂足，

则＝sinx，

所以＝sinx，

所以f（x）＝sinxcosx＝sin2x，

则当x＝时，f（x）max＝；

当x∈时，有＝sin（π－x），

f（x）＝－sinxcosx＝－sin2x，

当x＝时，f（x）max＝.

只有B选项的图象符合．

【答案】　B

在坐标系中研究角就是一种数形结合思想，借助图象及三角函数的定义将其转化为函数，然后求解．　

[通关练习]

如图所示，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，－），角速度为1，那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为（　　）

解析：

选C．因为P0（，－），所以∠P0Ox＝－.

因为角速度为1，所以按逆时针旋转时间t后，得∠POP0＝t，所以∠POx＝t－.

由三角函数定义，知点P的纵坐标为2sin，

因此d＝2.

令t＝0，则d＝2＝.

当t＝时，d＝0，故选C．

利用三角函数定义解题的常用技巧

（1）在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点．|OP|＝r一定是正值．

（2）已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．

（3）三角函数符号是重点，也是难点，在理解的基础上可借助口诀：

一全正，二正弦，三正切，四余弦．

（4）在解决简单的三角函数不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．

对角的有关概念的再理解

（1）相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等．

（2）注意易混概念的区别：

象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、三类是区间角．

（3）角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．　　　

1．已知点P（tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在（　　）

A．第一象限　　　　　　　　　B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

解析：

选B．因为点P（tanα，cosα）在第三象限，所以，所以α为第二象限角．

2．已知α是第二象限角，P（x，）为其终边上一点，且cosα＝x，则x等于（　　）

A．B．±

C．－D．－

解析：

选D.依题意得cosα＝＝x＜0，由此解得x＝－，故选D.

3．集合{α|kπ＋≤α≤kπ＋，k∈Z}中的角的终边所在的范围（阴影部分）是（　　）

解析：

选C．当k＝2n（n∈Z）时，2nπ＋≤α≤2nπ＋；当k＝2n＋1（n∈Z）时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋.故选C．

4．若角α的终边在直线y＝－x上，则角α的取值集合为（　　）

A．{α|α＝k·360°－45°，k∈Z}

B．{α|α＝k·2π＋π，k∈Z}

C．{α|α＝k·π＋π，k∈Z}

D．{α|α＝k·π－，k∈Z}

解析：

选D.由图知，角α的取值集合为{α|α＝2nπ＋π，n∈Z}∪{α|α＝2nπ－，n∈Z}

＝{α|α＝（2n＋1）π－，n∈Z}∪{α|α＝2nπ－，n∈Z}＝{α|α＝kπ－，k∈Z}．

5．已知角α＝2kπ－（k∈Z），若角θ与角α的终边相同，则y＝＋＋的值为（　　）

A．1B．－1

C．3D．－3

解析：

选B．由α＝2kπ－（k∈Z）及终边相同的角的概念知，角α的终边在第四象限，

又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，

所以sinθ<0，cosθ>0，tanθ<0.

所以y＝－1＋1－1＝－1.

6．在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与以原点为圆心的单位圆交于点A，点A的纵坐标为，且点A在第二象限，则cosα＝________．

解析：

因为A点纵坐标yA＝，且A点在第二象限，又因为圆O为单位圆，所以A点横坐标xA＝－，

由三角函数的定义可得cosα＝－.

答案：

－

7．与角2017°的终边相同，且在0°～360°内的角是________．

解析：

因为2017°＝217°＋5×360°，所以在0°～360°内终边与2017°的终边相同的角是217°.

答案：

217°

8．一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的，面积等于圆面积的，则扇形的弧长与圆周长之比为________．

解析：

设圆的半径为r，则扇形的半径为，记扇形的圆心角为α，则＝，

所以α＝.所以扇形的弧长与圆周长之比为＝＝.

答案：

9．已知角θ的终边上有一点P（x，－1）（x≠0），且tanθ＝－x，求sinθ＋cosθ的值．

解：

因为角θ的终边过点（x，－1）（x≠0），

所以tanθ＝－，又tanθ＝－x，

所以x2＝1，所以x＝±1.

当x＝1时，sinθ＝－，cosθ＝，

因此sinθ＋cosθ＝0；

当x＝－1时，sinθ＝－，cosθ＝－，

因此sinθ＋cosθ＝－.

10．已知扇形AOB的周长为8.

（1）若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；

（2）求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB．

解：

设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α，

（1）由题意可得

解得或

所以α＝＝或α＝＝6.

（2）法一：

因为2r＋l＝8，

所以S扇＝lr＝l·2r

≤（）2＝×（）2＝4，

当且仅当2r＝l，即α＝＝2时，扇形面积取得最大值4.

所以圆心角α＝2，弦长AB＝2sin1×2＝4sin1.

法二：

因为2r＋l＝8，

所以S扇＝lr＝r（8－2r）＝r（4－r）

＝－（r－2）2＋4≤4，

当且仅当r＝2，即α＝＝2时，扇形面积取得最大值4.

所以弦长AB＝2sin1×2＝4sin1.

1．（2018·安徽省江淮十校协作体联考）已知锐角α，且5α的终边上有一点P（sin（－50°），cos130°），则α的值为（　　）

A．8°B．44°

C．26°D．40°

解析：

选B．因为sin（－50°）<0，cos130°＝－cos50°<0，所以点P（sin（－50°），cos130°）在第三象限．

又因为0°<α<90°，所以0°<5α<450°.

又因为点P的坐标可化为（cos220°，sin220°），

所以5α＝220°，所以α＝44°，故选B．

2．已知点P（sinα－cosα，tanα）在第一象限，则在[0，2π]内α的取值范围是（　　）

A．∪

B．∪

C．∪

D.∪

解析：

选B．因为点P（sinα－cosα，tanα）在第一象限，

所以sinα－cosα＞0，tanα＞0，

又因为α∈[0，2π]，

所以α∈∪.

3．一扇形的圆心角为120°，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为________．

解析：

设扇形半径为R，内切圆半径为r.

则（R－r）sin60°＝r，

即R＝（1＋）r.

又S扇＝|α|R2＝××R2＝R2＝πr2，

所以＝.

答案：

（7＋4）∶9

4．（2017·高考北京卷）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sinα＝，则sinβ＝________．

解析：

法一：

当角α的终边在第一象限时，取角α终边上一点P1（2，1），其关于y轴的对称点（－2，1）在角β的终边上，此时sinβ＝；当角α的终边在第二象限时，取角α终边上一点P2（－2，1），其关于y轴的对称点（2，1）在角β的终边上，此时sinβ＝.综合可得sinβ＝.

法二：

令角α与角β均在区间（0，π）内，故角α与角β互补，得sinβ＝sinα＝.

法三：

由已知可得，sinβ＝sin（2kπ＋π－α）＝sin（π－α）＝sinα＝（k∈Z）．

答案：

5．已知角θ的终边经过点P（－，m）（m≠0）且sinθ＝m，试判断角θ所在的象限，并求cosθ和tanθ的值．

解：

由题意，得r＝，

所以sinθ＝＝m.

因为m≠0，所以m＝±.

故角θ是第二或第三象限角．

当m＝时，r＝2，

点P的坐标为（－，），

所以角θ是第二象限角，

cosθ＝＝＝－，

tanθ＝＝＝－；

当m＝－时，r＝2，

点P的坐标为（－，－），

所以角θ是第三象限角，

cosθ＝＝＝－，

tanθ＝＝＝.

6．如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．

（1）若点B的横坐标为－，求tanα的值；

（2）若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合；

（3）若α∈（0，π]，请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式．

解：

（1）由题意可得B，

根据三角函数的定义得tanα＝＝－.

（2）若△AOB为等边三角形，

则B（，），可得tan∠AOB＝＝，故∠AOB＝；

故与角α终边相同的角β的集合为.

（3）若α∈（0，π]，

则S扇形OAB＝αr2＝α，

而S△AOB＝×1×1×sinα＝sinα，

故弓形AB的面积

S＝S扇形OAB－S△AOB＝α－sinα，α∈（0，π]．