届高考数学备考立体几何复习教案.docx
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届高考数学备考立体几何复习教案
2012届高考数学备考立体几何复习教案
专题四：
立体几何
阶段质量评估（四）
一、选择题（本大题共12小题，每小题分，总分60分）
1．如右图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为的正方形，俯视图是一个直径为的圆，那么这个几何体的全面积为（）
A．B．
．D．
2．下列四个几何体中，每个几何体的三视图
有且仅有两个视图相同的是（）
A．①②B．①③．①④D．②④
3．如图，设平面，垂足分别为，若增加一个条，就能推出现有①②与所成的角相等;
③与在内的射影在同一条直线上;④∥
那么上述几个条中能成为增加条的个数是（）
个个个个
4．已知直线和平面，则下列命题正确的是（）
AB
D
．空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标是（）
A．B．．D．
6．给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一条直线和两个平行平面中的一个平面垂直，那么这条直线也和另一个平面垂直；
③若一条直线和两个互相垂直的平面中的一个平面垂直，那么这条直线一定平行于另一个平面；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直
其中，为真命题的是（）
A．①和②B．②和③．③和④D．②和④
7．如图，正四棱柱中，，则异面直线所成角的余弦值为（）A．B．．D．
8．如图，已知六棱锥的底面是正六边形，则下列结论正确的是（）AB
直线∥D直线所成的角为4°
9．正六棱锥P－ABDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D－GA与三棱锥P－GA体积之比为（）
（A）1：
1（B）1：
2（）2：
1（D）3：
2
10．如图，在四面体中，截面是正方形，则在下列命题中，错误的为（）∥截面
异面直线与所成的角为
11．如图，在长方体ABD-A1B11D1中，AB=B=2,AA1=1,则B1与平面BB1D1D所成角的余弦值为（）AB
D
12．如图，为正方体，下面结论错误的是（ ）
（A）平面
（B）
（）平面
（D）异面直线与所成的角为
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，总分16分）
13．图2中实线围成的部分是长方体（图1）的平面展开图，其中四边形ABD是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是，则此长方体的体积是。
14．已知一圆锥的底面半径与一球的半径相等，且全面积也相等，则圆锥的母线与底面所成角的大小为．（结果用反三角函数值表示）1．如图，在长方形中，，，为的中点，为线段（端点除外）上一动点．现将沿折起，使平面平面．在平面内过点，作，为垂足．设，则的取值范围是．16．已知点在二面角α－AB－β的棱上，点P在α内，且∠PB＝4°．若对于β内异于的任意一点Q，都有∠PQ≥4°，则二面角α－AB－β的取值范围是_________．
三、解答题（本大题共6小题，总分74分）
17．如图，在长方体，点E在棱AB上移动，小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点1，所爬的最短路程为
（1）求证：
D1E⊥A1D；
（2）求AB的长度；
（3）在线段AB上是否存在点E，使得二面角
。
若存在，确定
点E的位置；若不存在，请说明理由
18．如图，四棱锥P—ABD的底面ABD是正方形，侧棱PD⊥底面ABD，PD=D，E是P的中点
（Ⅰ）证明PA//平面BDE；
（Ⅱ）求二面角B—DE—的平面角的余弦值；
（Ⅲ）在棱PB上是否存在点F，使PB⊥平面DEF？
证明你的结论
19．如图所示的长方体中，底面是边长为的正方形，为与的交点，，
是线段的中点。
（Ⅰ）求证：
平面；
（Ⅱ）求二面角的大小。
20．如图，已知三棱柱AB—A1B11的侧棱与底面垂直，AA1=AB=A=1，，是1的中点，N是B的中点，点P在A1B1上，且满足
（I）证明：
（II）当取何值时，直线PN与平面AB
所成的角最大？
并求该角最大值的正切值；
（II）若平面PN与平面AB所成的二面角
为4°，试确定点P的位置。
21．（本小题满分12分）
如图，四面体中，是的中点，和均为等边三角形，．（I）求证：
平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）求点到平面的距离．
22．如图，在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．动点在斜边上．
（I）求证：
平面平面；
（II）当为的中点时，求异面直线与所成角的大小；
（III）求与平面所成角的最大值．
参考答案
一、选择题
1【解析】选A。
2【解析】选D①三个都相同，②正视图和侧视图相同，③三个视图均不同，④正视图和侧视图相同。
3
4【解析】选B对A，，
对画出图形可知，对D，缺少条。
6D
7D
8D
9【解析】选由于G是PB的中点,故P－GA的体积等于B－GA的体积
在底面正六边形ABDER中
BH＝ABtan30°＝AB
而BD＝AB
故DH＝2BH
于是VD－GA＝2VB－GA＝2VP－GA
10【解析】选由∥，∥，⊥可得⊥，故正确；由∥可得∥截面，故正确；异面直线与所成的角等于与所成的角，故正确；综上是错误的
11【解析】选D连与交于点,再连B,则为B1与平面BB1D1D所成的角
，，
12【解析】选D．显然异面直线与所成的角为。
二、填空题
13【解析】向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是，设长方体的高为x，则，所以，所以长方体的体积为3。
答案：
3
14
1【解析】此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F位于D的中点时，，随着F点到点时，因平面，即有，对于，又，因此有，则有，因此的取值范围是
答案：
16【解析】若二面角α－AB－β的大小为锐角，则过点P向平面作垂线,设垂足为H
过H作AB的垂线交于,连P、H、H，则就是所求二面角的平面角根据题意得，由于对于β内异于的任意一点
Q，都有∠PQ≥4°，∴，设P=，则
又∵∠PB＝4°，∴=P=，∵P≤PH而在中应有
P>PH,∴显然矛盾，故二面角α－AB－β的大小不可能为锐角。
即二面角的范围是。
若二面角α－AB－β的大小为直角或钝角，则由于∠PB＝4°，结合图形容易判断对于β内异于的任意一点Q，都有∠PQ≥4°。
即二面角的范围是。
答案：
三、解答题
17【解析】
（1）证明：
连结AD1，由长方体的性质可知：
AE⊥平面AD1，∴AD1是ED1在
平面AD1内的射影。
又∵AD=AA1=1，
∴AD1⊥A1D
∴D1E⊥A1D1（三垂线定理）
（2）设AB=x，
点1可能有两种途径，如图甲的最短路程为如图乙的最短路程为
（3）假设存在，平面DE的法向量，
设平面D1E的法向量，则
由题意得：
解得（舍去）
18【解析】（Ⅰ）以D为坐标原点，分别以DA、D、DP所在直线为x轴、
轴、z轴建立空间直角坐标系，设PD=D=2，则A（2，0，0），
P（0，0，2），E（0，1，1），B（2，2，0），设是平面BDE的一个法向量，
则由
∵
（Ⅱ）由（Ⅰ）知是平面BDE的一个法向量，
又是平面DE的一个法向量
设二面角B—DE—的平面角为，由图可知
∴
故二面角B—DE—的余弦值为
（Ⅲ）∵∴
假设棱PB上存在点F，使PB⊥平面DEF，设，
则，
由
∴
即在棱PB上存在点F，PB，使得PB⊥平面DEF
19【解析】（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系．连接，则点、，
∴又点，，∴
∴，且与不共线，∴．
又平面，平面，∴平面．
（Ⅱ）∵，，∴平面，
∴为平面的法向量．
∵，，
∴为平面的法向量．
∴，
∴与的夹角为，即二面角的大小为．
20解：
（I）如图，以AB，A，AA1分别为轴，建立空间直角坐标系
则2分
从而
所以…………3分
（II）平面AB的一个法向量为
则
（※）…………分
而
由（※）式，当…………6分
（III）平面AB的一个法向量为
设平面PN的一个法向量为
由（I）得
由…………7分
解得…………9分
平面PN与平面AB所成的二面角为4°，
解得11分
故点P在B1A1的延长线上，且…………12分
21解法一：
（I）证明：
连结，为等边三角形，为的中点，，和为等边三角形，为的中点，，
。
在中，，
，即．
，面．
（Ⅱ）过作于连结，
平面，在平面上的射影为
为二面角的平角。
在中，
二面角的余弦值为
（Ⅲ）解：
设点到平面的距离为，
，
在中，，
而
点到平面的距离为．
解法二：
（I）同解法一．
（Ⅱ）解：
以为原点，如图建立空间直角坐标系，
则
平面，平面的法向量
设平面的法向量，
由
设与夹角为，则
∴二面角的余弦值为．
（Ⅲ）解：
设平面的法向量为又
设与夹角为，则
设到平面的距离为，
到平面的距离为．
22【解析】解法一：
（I）由题意，，，
是二面角的平面角，
又二面角是直二面角，
，又，
平面，
又平面．
平面平面．
（II）作，垂足为，连结（如图），则，
是异面直线与所成的角．
在中，，，
．
又．
在中，．
异面直线与所成角的大小为．
（III）由（I）知，平面，
是与平面所成的角，且．
当最小时，最大，
这时，，垂足为，，，
与平面所成角的最大值为．
解法二：
（I）同解法一．
（II）建立空间直角坐标系，如图，则，，，，
，，．
异面直线与所成角的大小为．
（III）同解法一
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