概率论与数理统计刘建亚习题解答第章终审稿.docx
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概率论与数理统计刘建亚习题解答第章终审稿
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概率论与数理统计刘建亚习题解答第章
概率论与数理统计（第二版.刘建亚）习题解答——第四章
4－1
解：
E（X）=1′+2′+3′+4′+5′=
4－2
解：
由D（X）=E（X2）-[E（X）]2得
4－3
解：
E（X）=，E（X2）=，D（X）=，[D（X）]1/2=。
4－4解：
E（X*）=EX-E（X）=1E[X-E（X）]=1[E（X）-E（X）]=0
D（X）D（X）D（X）
2
D（X*）=E（X*）2-[E（X*）]2=E（X*）2=EX-E（X）=1E[X-E（X）]2=1D（X）=1
D（X）D（X）D（X）
4－5解：
+￥1x
E（X）=-￥xf（x）dx=-1p1-x2dx=0
E（X2）=-+￥￥x2f（x）dx=-11p1x-2x2dx=01p21x-2x2dx
x=sint10p22sintdx=10p2（1-cost）dx=1pp2
D（X）=E（X2）-[E（X）]2=
4－6解：
+￥+￥1-xdx=0
E（X）=-￥xf（x）dx=-￥x×2e
D（X）=E{[X-E（X）]2}=-+￥￥（x-0）2×
e-xdx=0+￥x2e-xdx；
=-x2e-x+0￥+20+￥xe-xdx=-2xe-x+0￥+20+￥e-xdx=2
4－7解：
令p=a，则1=1-p，a=p；
1+a1+a1-p
k
E（X）=k0kP（X=k）=k0k×11+aa÷÷÷=k=0k×（1-p）pk=p（1-p）k=1kpk-1
==1+a
=p（1-p）k=1d（pk）=p（1-p）dk=1pk÷÷÷÷=p（1-p）dpd1-pp÷÷÷÷dpdp
=p（1-p）dpd1-1p-1÷=÷÷p（1-p）dpd1-1p÷÷÷=p（1-p）×（1-1p）2=1-pp=a
k
E（X2）=k0k2P（X=k）=k0k2×+11+aa÷÷÷=p（1-p）k=1[k（k-1）+k]pk-1
==1a
=p（1-p）k（k-1）pk-1+kpk-1=p（1-p）pd22（pk）+kpk-1
k=1k=1k=2dpk=1
=p2（1-p）dpd22k￥=2pk÷÷÷÷+a=a+p2（1-p）dpd221-p2p÷÷÷÷
2
=p2（1-p）×
+a=21-pp÷÷÷÷+a=2a2+a（1-p）
D（X）=E（X2）-[E（X）]2=2a2+a-a2=a2+a
4－8证明：
设X为连续型随机变量，其概率密度函数为f（x）。
+￥+￥+￥
（1）E（aX+b）=-￥（ax+b）f（x）dx=a-￥xf（x）dx+b-￥f（x）dx=aE（X）+b
（2）D（cX）=E（c2X2）-[E（cX）]2=c2E（X2）-c2[E（X）]2=c2D（X）。
4－9证明：
D（X）=E[（X-E（X）]2=E{（X-C）-[E（X）-C]}2
=E{（X-C）2}-2E{（X-C）[E（X）-C]}+E{[E（X）-C]2}
=E（X-C）2-2[E（X）-C]2+[E（X）-C]2
=E（X-C）2-[E（X）-C]2￡E（X-C）2
4－10解：
X~N（m,s2），已知：
m=,s2=，则U=X-m~N（0,1），由双侧分位点知：
[-u,u]内的概率为
s
1-a=,a=,1-ua2=，查表得u=，
∴m∴95％正常范围为[，]。
4－11证明：
E（X）-c=E（X-c）=-+￥￥（x-c）f（x）dxt=x-c-+￥￥tf（c+t）dt
0+￥
=-￥tf（c+t）dt+0tf（c+t）dt
而0tf（c+t）dtu=-t+0￥uf（c-u）du=-0+￥uf（c-u）du=-0+￥uf（c+u）du
-￥
+￥+￥
代入上式得E（X）-c=-0uf（c+u）du+0tf（c+t）dt=0∴E（X）=c
4－12解：
+￥0+￥-xdx=2；
（1）E（Y）=E（2X）=2E（X）=2-￥xf（x）dx=2xe
（2）E（Y）=E（e-2X）=-+￥￥e-2xf（x）dx=0+￥e-3xdx=13。
4－13略
4－14解：
+￥+￥11117
E（X）=-￥-￥xf（x,y）dxdy=0x0（x+y）dydx=0x（x+2）dx=12；
由对称性，得E（Y）=
；
+￥+￥1111211
E（XY）=-￥-￥xyf（x,y）dxdy=0x0y（x+y）dydx=0（2x+3x）dx=3。
4－15解：
∵X,Y相互独立，
+￥+￥
E（XY）=E（X）E（Y）=-￥xfX（x）dx×-￥yfY（y）dy
∴
=012x2dx×5+￥ye-（
-5）dy=2′5+5+￥e-（-5）dy=4
4－16解：
记q=1-p，则
E（X）=k=1kP（X=k）=k=1k×pqk-1=pk=1kqk-1=pk=1d（qk）=pdk=1pk÷÷÷÷
dqdq
=pdq÷=pd1-1÷=pd1÷=p12=1dq1-qdq1-qdq1-q（1-q）p
E（X2）=k2P（X=k）=k2×pqk-1=p[k（k-1）+k]qk-1
k=1k=1k=1
=pqk（k-1）qk-2+kqk-1=pqd22（qk）+kqk-1=pqd22pk÷÷÷+1
dqdq
p
k=2k=1k=2k=1
=pqd221-1q÷÷÷÷+1p=pq（1-2q）3+1p=2-p2p=1+p2qdq
∴D（X）=E（X2）-[E（X）]2=1+2q-12=q2=1-2p。
pppp
4－17设随机变量X服从瑞利分布，其概率密度为ì?
x2
k=1
f（x）=ísx2e-2s2x>00x￡0
其中s>0为常数，求E（X）,D（X）。
+￥x-+￥-分部积分+￥-x/s=t
解:
E（X）=022e2xs22dx=-0xdex20e2xs22dxs2ps2
E（X2）=0+￥x32e-2xs22dx分部积分2s2\D（X）=E（X2）-[E（X）]2=4-ps2s2
4－18解：
E（X）=E1nk=n1Xk÷÷÷÷=1nk=n1E（Xk）=1n×nm=m
E（X）=D1nXk=12DnXk=12nD（Xk）=12×ns2=s2nk=1nk=1nk=1nn
∴X~N（m,s2）。
n
4－19解：
设进货量为a，则利润为
ìí500500aX+-300（100（Xa--Xa））,,10aY（X）=
=
ìí300600XX-+100200aa,）,10a期望利润为
E（Y（X））=10301Y（x）dx=1[10a（600x-100a）dx+a30（300x+200a）dx]
2020
=+350a+5250
依题意有+350a+52509280+350a4030020
a26故得利润期望不少于9280元的最少进货量为21单位。
4－20略。
4－21略
4－22解：
（1）cov（X,Y）=E{[X-E（X）][Y-E（Y）]}=E{XY-XE（Y）-YE（X）+E（X）E（Y）}
=E（XY）-E[XE（Y）]-E[YE（X）]+E[E（X）E（Y）]=E（XY）-E（X）E（Y）
（2）D（X±Y）=E{[（X±Y）-E（X±Y）]2}=E{[X-E（X）]±[Y-E（Y）]}2
=E{[X-E（X）]2±2[X-E（X）][Y-E（Y）]+[Y-E（Y）]2}
=D（X）+D（Y）±2cov（X,Y）
4－23解：
由题意知
ìí020x其它1,0y1-x
f（x,y）=
+￥+￥11-x1
E（X）=-￥-￥xf（x,y）dxdy=002xdxdy=02x（1-x）dx=
2+￥+￥211x212211
E（X）=-￥-￥xf（x,y）dxdy=002xdxdy=02x（1-x）dx=3-2=6
同理，E（Y）=1,E（Y2）=1
36
+￥+￥11-x12
E（XY）=-￥-￥xyf（x,y）dxdy=002xydxdy=0x（1-x）dx=
cov（X,Y）=E（XY）-E（X）E（Y）=
D（X）=D（Y）=1-1=1，rXY=cov（X,Y）=2
6918D（X）D（Y）11
4－24解：
+￥+￥1221227
E（X）=-￥-￥xf（x,y）dxdy=800x（x+y）dxdy=40（x+x）dx=6
2+￥+￥222212325
E（X）=-￥-￥xf（x,y）dxdy=00x（x+y）dxdy=40（x+x）dx=3D（X）=E（X2）-[E（X）]2=
同理E（Y）=1,D（Y）=11
336
+￥+￥12212244
E（XY）=-￥-￥xyf（x,y）dxdy=800xy（x+y）dxdy=40（x+3x）dx=3
cov（X,Y）=E（XY）-E（X）E（Y）=-1，rXY=cov（X,Y）=1
36D（X）D（Y）11
4－25
略。
4－26
略。
4－27
证明：
E（Y）=E（aX+b）=aE（X）+b
D（Y）=D（aX+b）=E[（aX+b）-E（aX+b）]2=a2E[X-E（X）]2=a2D（X）cov（X,Y）=E{[X-E（X）][Y-E（Y）]}=E{[X-E（X）]×a[X-E（X）]}
=aE[X-E（X）]2=aD（X）
∴rXY=cov（X,Y）=aD（X）=1D（X）D（Y）aD（X）
4－28解：
由已知得：
E（X1）=E（X2）=m,D（X1）=D（X2）=s2，则
E（Y1）=E（aX1+bX2）=aE（X1）+bE（X2）=（a+b）m，E（Y2）=（a-b）m
D（Y1）=D（aX1+bX2）=a2D（X1）+b2D（X2）=（a2+b2）s2，E（Y2）=（a2+b2）s2
E（YY12）=E[（aX1+bX2）（aX1-bX2）]=E（a2X12-b2X22）=a2E（X12）-b2E（X22）
=a2（m2+s2）-b2（m2+s2）=（a2-b2）（m2+s2）cov（Y1,Y2）=E（YY12）-E（Y1）E（Y2）=（a2-b2）（m2+s2）-（a2-b2）m2=（a2-b2）s2
rYY12=cov（Y1,Y2）=a22-b22D（Y1）D（Y2）a+b
4－29解：
由题意知E（X）=7300,D（X）=7002x=9400TX-E（X）=2100,x=5200TX-E（X）=-2100
∴5200由切比雪夫不等式（）得P（X-E（X）e210099
4－30解：
设某一寻呼台在每分钟收到的电话呼叫次数为Xk,（k=1,2,,50），可知，
X1,X2,,X50相互独立且同分布，Xk~P（l）,（k=1,2,,50）。
m=E（Xk）=l=,s2=D（Xk）=l=（k=1,2,,50）
令X=501Xk，∵n=50足够大，由中心极限定理知X-nm~N（0,1）。
k=sn
P（X>3）=PX-50′>3-50′=PX>=PX>
5050
=1-PX￡÷÷÷÷=
4－31解：
设某投保人出现意外为Xk,（k=1,2,,10000）,Xk~B（1,，m=E（Xk）=,s2=D（Xk）=′=，
设遇到意外总人数为X=10000Xk，
k=1
保险公司亏损的条件为：
2500x>180000，解得x>72，
∵n=10000足够大，由中心极限定理知X-nm~N（0,1），sn
P（X>72）=1-P（X￡72）=1-F
÷÷÷÷
=1-F?
-60÷÷÷÷=1-F=
4－32
略。
4－33
略。
4－34
略。
4－35
略。
4－36
略。
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