湘教版八年级数学下册第2章四边形专题训练二特殊平行四边形中的折叠问题课时练习含答案.docx
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湘教版八年级数学下册第2章四边形专题训练二特殊平行四边形中的折叠问题课时练习含答案
专题训练
(二)特殊平行四边形中的折叠问题
► 类型之一 把一个顶点折叠到一条边上
1.2017·天水如图2-ZT-1,在矩形ABCD中,∠DAC=65°,E是CD上一点,BE交AC于点F,将△BCE沿BE折叠,点C恰好落在AB边上的点C′处,则∠AFC′=________°.
图2-ZT-1
2.如图2-ZT-2,将矩形纸片ABCD沿AE向上折叠,使点B落在DC边上的点F处.若△AFD的周长为9,△ECF的周长为3,则矩形ABCD的周长为________.
图2-ZT-2
3.如图2-ZT-3,在矩形ABCD中,点E在边AB上,将矩形ABCD沿直线DE折叠,点A恰好落在边BC上的点F处.若AE=5,BF=3,求CD的长.
图2-ZT-3
4.某校八年级(3)班开展了手工制作竞赛,每个同学都在规定时间内完成一件手工作品.陈莉同学制作手工作品的第一、二个步骤是:
①先裁下了一张长BC=20cm,宽AB=16cm的矩形纸片ABCD,②将纸片沿着直线AE折叠,点D恰好落在BC边上的点F处.请你根据①②步骤计算EC的长.
5.如图2-ZT-4,已知矩形纸片ABCD,将纸片折叠,使顶点A与边CD上的点E重合,折痕FG分别与AB,CD交于点G,F,AE与FG交于点O.求证:
A,G,E,F四点构成的四边形是菱形.
图2-ZT-4
► 类型之二 把一条边折叠到对角线上
6.如图2-ZT-5,在矩形纸片ABCD中,已知AD=8,折叠纸片使AB边与对角线AC重合,点B落在点F处,折痕为AE,且EF=3,则AB的长为( )
图2-ZT-5
A.3B.4C.5D.6
7.准备一张矩形纸片ABCD,按如图2-ZT-6所示操作:
将△ABE沿BE翻折,使点A落在对角线BD上的点M处,将△CDF沿DF翻折,使点C落在对角线BD上的点N处.
(1)求证:
四边形BFDE是平行四边形;
(2)若四边形BFDE是菱形,AB=2,求菱形BFDE的面积.
图2-ZT-6
► 类型之三 把一个顶点折叠到另一个顶点上
8.如图2-ZT-7,将矩形纸片ABCD折叠,使点D与点B重合,点C落在点C′处,折痕为EF,若AB=1,BC=2,则△ABE和△BC′F的周长之和为( )
图2-ZT-7
A.3B.4C.6D.8
9.把一张矩形纸片ABCD按图2-ZT-8的所示方式折叠,使顶点B和点D重合,折痕为EF.若AB=3cm,BC=5cm,则重叠部分△DEF的面积为________cm2.
图2-ZT-8
10.如图2-ZT-9,在矩形ABCD中,AB=8,BC=16,将矩形ABCD沿EF折叠,使点C与点A重合,求折痕EF的长.
图2-ZT-9
► 类型之四 沿一条直线折叠
11.如图2-ZT-10,已知正方形ABCD的对角线长为2,将正方形ABCD沿直线EF折叠,则图中阴影部分的周长为( )
图2-ZT-10
A.8B.4C.8D.6
12.如图2-ZT-11,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,E是AB边的中点,F是线段BC上的动点,将△EBF沿EF所在的直线折叠得到△EB′F,连接B′D,则B′D的最小值是( )
图2-ZT-11
A.2-2B.6
C.2-2D.4
13.2017·宁夏如图2-ZT-12,将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠,使点A落在点A′处.若∠1=∠2=50°,则∠A′的度数为________.
图2-ZT-12
14.2017·西宁如图2-ZT-13,将平行四边形ABCD沿EF对折,使点A落在点C处.若∠A=60°,AD=4,AB=6,则AE的长为________.
图2-ZT-13
15.如图2-ZT-14,在矩形ABCD中,E是AB边的中点,沿EC对折矩形ABCD,使点B落在点P处,折痕为EC,连接AP并延长交CD于点F,连接BP.
(1)求证:
四边形AECF为平行四边形;
(2)若△AEP是等边三角形,求证:
△APB≌△EPC;
(3)若矩形ABCD的边AB=6,BC=4,求△CPF的面积.
图2-ZT-14
详解详析
1.[答案]40
2.[答案]12
[解析]由折叠的性质知,AF=AB,EF=BE.所以矩形的周长等于△AFD和△CFE的周长的和.故矩形ABCD的周长为12.
3.解:
根据折叠的性质,得EF=AE=5.根据矩形的性质,得∠B=90°.在Rt△BEF中,∠B=90°,EF=5,BF=3,根据勾股定理,得BE===4,∴CD=AB=AE+BE=5+4=9.
4.解:
设EC=xcm,则EF=DE=(16-x)cm.由题意得AF=AD=20cm.
在Rt△ABF中,BF==12cm,FC=BC-BF=20-12=8(cm).
在Rt△EFC中,EF2=FC2+EC2,
即(16-x)2=82+x2,
解得x=6,
∴EC的长为6cm.
5.证明:
连接AF.由折叠的性质,得AG=EG,∠AGF=∠EGF.
∵DC∥AB,
∴∠EFG=∠AGF,
∴∠EFG=∠EGF,
∴EF=EG.
又∵AG=EG,
∴EF=AG,
∴四边形AGEF是平行四边形.
又∵AG=EG,
∴平行四边形AGEF是菱形,
即A,G,E,F四点构成的四边形是菱形.
6.D
7.解:
(1)证明:
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB∥CD,
∴∠ABD=∠CDB.
又由折叠的性质,知∠ABE=∠EBD,∠CDF=
∠FDB,
∴∠EBD=∠FDB,
∴EB∥DF.
又∵ED∥BF,
∴四边形BFDE是平行四边形.
(2)∵四边形BFDE是菱形,
∴BE=ED=BF,∠EBD=∠FBD=∠ABE.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC,∠ABC=90°,
∴∠ABE=30°.
∵∠A=90°,AB=2,
∴AE=,BF=BE=2AE=,
∴菱形BFDE的面积为×2=.
8.C
9.[答案]
[解析]设ED=xcm,则根据折叠和矩形的性质,得A′E=AE=(5-x)cm,A′D=AB=3cm.
根据勾股定理,得ED2=A′E2+A′D2,即x2=(5-x)2+32,解得x=,∴S△DEF=××3=(cm2).
10.解:
设BE=x,则CE=BC-BE=16-x.
∵沿EF翻折后点C与点A重合,
∴AE=CE=16-x.
在Rt△ABE中,AB2+BE2=AE2,
即82+x2=(16-x)2,
解得x=6,
∴AE=16-6=10.
由翻折的性质,得∠AEF=∠CEF.
∵矩形ABCD的对边AD∥BC,
∴∠AFE=∠CEF,
∴∠AEF=∠AFE,
∴AE=AF=10.
过点E作EH⊥AD于点H,则四边形ABEH是矩形,
∴EH=AB=8,AH=BE=6,
∴FH=AF-AH=10-6=4.
在Rt△EFH中,EF===4.
11.C
12.A
13.[答案]105°
[解析]在平行四边形ABCD中,AD∥BC,得∠DBC=∠ADB.
又由折叠,得∠A=∠A′,∠BDA′=∠BDA,所以∠DBC=∠BDA′.
根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和,以及∠1=50°,可得∠DBC=25°,则∠ABC=∠2+∠DBC=75°.
因为AD∥BC,
所以∠A+∠ABC=180°,
所以∠A=105°,∴∠A′=105°.
14.[答案]
[解析]作CH⊥AB于点H,则BH=2,CH=2,则AH=8.在Rt△ACH中,设AE=CE=a,则EH=8-a,由CH2+EH2=CE2,得(8-a)2+
(2)2=a2,解得a=,即AE=.
15.解:
(1)证明:
在矩形ABCD中,AB∥DC.
∵E为AB的中点,
∴AE=BE.
又由翻折,知EC⊥BP,EP=EB=AE,
∴∠EAP=∠EPA,∠EPB=∠EBP.
在△ABP中,∠EAP+∠EPA+∠EPB+∠EBP=180°,
∴∠EPA+∠EPB=∠APB=90°,
∴EC∥AF,
∴四边形AECF为平行四边形.
(2)证明:
∵△AEP是等边三角形,
∴AP=EP=AE,∠PAB=∠AEP=∠APE=60°,
∴∠PEC=∠BEC=60°,
∴∠PAB=∠PEC=60°.
由
(1)与题可知APB=∠EPC=90°,
∴△APB≌△EPC.
(3)∵AB=6,BC=4,E是AB边的中点,
∴AE=BE=AB=3.
在Rt△BEC中,EC==5,
∵四边形AECF为平行四边形,
∴AF=EC=5.
如图,设CE与BP交于点H.
∵BE·BC=EC·BH,
∴BH=,
∴PH=BH=,
∴BP=.
在Rt△BPA中,AP==,
∴PF=.
过点C作CG⊥AF交AF的延长线于点G,
∴CG=PH=,
∴△CPF的面积S=PF·CG=××=.