北京市朝阳区届高三二模数学理试题含答案.docx

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北京市朝阳区届高三二模数学理试题含答案

北京市朝阳区2016-2017学年度高三第二次统练

理科数学2017．5

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．已知

为虚数单位，复数

对应的点位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

2．执行如图所示的程序框图，则输出的S值是（）

A．

B．

C．

D．

3．“

”是“

”的（）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

4．已知函数

的最小正周期为

，则（）

A．函数

的图象关于原点对称

B．函数

的图象关于直线

对称

C．函数

图象上的所有点向右平移

个单位长度后，所得的图象关于原点对称

D．函数

在区间

上单调递增

5．现将

张连号的电影票分给甲、乙等

个人，每人一张，且甲、乙分得的电影票连号，则共有不同分法的种数为（）

A．

B．

C．

D．

6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为（）

A．

B．

C．

D．

7．已知函数

（

且

）．若函数

的图象上有且只有两个点关于

轴对称，则

的取值范围是（）

A．

B．

C．

D．

8．中国古代儒家要求学生掌握六种基本才艺：

礼、乐、射、御、书、数，简称“六艺”．某中学为弘扬“六艺”的传统文化，分别进行了主题为“礼、乐、射、御、书、数”六场传统文化知识的竞赛．现有甲、乙、丙三位选手进入了前三名的最后角逐．规定：

每场知识竞赛前三名的得分都分别为

（

，且

）；选手最后得分为各场得分之和．在六场比赛后，已知甲最后得分为

分，乙和丙最后得分都为

分，且乙在其中一场比赛中获得第一名，则下列说法正确的是（）

A．每场比赛第一名得分

为

B．甲可能有一场比赛获得第二名

C．乙有四场比赛获得第三名D．丙可能有一场比赛获得第一名

二、填空题：

本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9．双曲线

的渐近线方程是，离心率是．

10．若平面向量

，

，且

，则

的值是．

11．等比数列

的前

项和为

．已知

，则

的通项公式

，

．

12．在极坐标系中，圆

被直线

所截得的弦长为．

13．已知

满足

，若

有最大值

，则实数

的值为．

14．已知两个集合

，满足

．若对任意的

，存在

，使得

，

，则称

为

的一个基集．若

，则其基集

元素个数的最小值是．

三、解答题：

本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15．（本小题满分13分）

在

中，角

的对边分别为

，且

，

．

（Ⅰ）求

的值；

（Ⅱ）若

，求

的面积．

16．（本小题满分13分）

从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图．

（Ⅰ）求

的值；

（Ⅱ）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计该市中学生中的全体男生的平均身高；

（Ⅲ）从该市的中学生中随机抽取一名男生，根据直方图中的信息，估计其身高在

以上的概率．若从全市中学的男生（人数众多）中随机抽取

人，用

表示身高在

以上的男生人数，求随机变量

的分布列和数学期望

．

17．（本小题满分14分）

如图1，在

中，

分别为边

的中点，点

分别为线段

的中点．将

沿

折起到

的位置，使

．点

为线段

上的一点，如图2．

（Ⅰ）求证：

；

（Ⅱ）线段

上是否存在点

，使得

平面

？

若存在，求出

的长，若不存在，请说明理由；

（Ⅲ）当

时，求直线

与平面

所成角的大小．

18．（本小题满分13分）

已知椭圆

的上下顶点分别为

，且点

．

分别为椭圆

的左、右焦点，且

．

（Ⅰ）求椭圆

的标准方程；

（Ⅱ）点

是椭圆上异于

的任意一点，过点

作

轴于

为线段

的中点．直线

与直线

交于点

为线段

的中点，

为坐标原点．求

的大小．

19．（本小题满分14分）

已知函数

，

．

（Ⅰ）当

时，求函数

的单调区间；

（Ⅱ）若曲线

在点

处的切线

与曲线

切于点

，求

的值；

（Ⅲ）若

恒成立，求

的最大值．

20．（本小题满分13分）

各项均为非负整数的数列

同时满足下列条件：

1

；②

；③

是

的因数

．

（Ⅰ）当

时，写出数列

的前五项；

（Ⅱ）若数列

的前三项互不相等，且

时，

为常数，求

的值；

（Ⅲ）求证：

对任意正整数

，存在正整数

，使得

时，

为常数．

2017年北京市朝阳区高考数学二模试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：

本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．（5分）已知i为虚数单位，复数z=（1+2i）i对应的点位于（　　）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【解答】解：

∵z=（1+2i）i=2i2+i=﹣2+i，

∴复数z=（1+2i）i对应的点的坐标为（﹣2，1），位于第二象限．

故选：

B．

2．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S值是（　　）

A．23B．31C．32D．63

【解答】解：

分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：

该程序的作用是累加S=2°+21+22+23+24的值，

由于S=2°+21+22+23+24=31．

故选：

B．

3．（5分）“x＞0，y＞0”是“

”的（　　）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

【解答】解：

“x＞0，y＞0”⇔“

”，反之不成立，例如取x=y=﹣1．

∴x＞0，y＞0”是“

”的充分而不必要条件．

故选：

A．

4．（5分）已知函数

的最小正周期为4π，则（　　）

A．函数f（x）的图象关于原点对称

B．函数f（x）的图象关于直线

对称

C．函数f（x）图象上的所有点向右平移

个单位长度后，所得的图象关于原点对称

D．函数f（x）在区间（0，π）上单调递增

【解答】解：

函数

的最小正周期为4π，

∴

，

可得ω=

．

那么f（x）=sin（

）．

由对称中心横坐标方程：

，k∈Z，

可得：

x=2kπ

∴A不对；

由对称轴方程：

=

，k∈Z，

可得：

x=2k

，k∈Z，

∴B不对；

函数f（x）图象上的所有点向右平移

个单位，可得：

sin[

（x﹣

）

]=sin2x，图象关于原点对称．

∴C对．

令

≤

，k∈Z，

可得：

≤x≤

∴函数f（x）在区间（0，π）上不是单调递增．

∴D不对；

故选C

5．（5分）现将5张连号的电影票分给甲、乙等5个人，每人一张，且甲、乙分得的电影票连号，则共有不同分法的种数为（　　）

A．12B．24C．36D．48

【解答】解：

根据题意，分3步进行分析：

①、将电影票分成4组，其中1组是2张连在一起，有4种分组方法，

②、将连在一起的2张票分给甲乙，考虑其顺序有A22=2种情况，

③、将剩余的3张票全排列，分给其他三人，有A33=6种分法，

则共有4×2×6=48种不同分法，

故选：

D．

6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为（　　）

A．

B．

C．3D．

【解答】解：

如图所示，该几何体为三棱锥P﹣ABC．

过点P作PO⊥平面ABC，垂足为O点，连接OB，OC，则四边形ABOC为平行四边形．OA⊥OB．

则最长棱为PC=

=3．

故选：

C．

7．（5分）已知函数

（a＞0且a≠1）．若函数f（x）的图象上有且只有两个点关于y轴对称，则a的取值范围是（　　）

A．（0，1）B．（1，4）C．（0，1）∪（1，+∞）D．（0，1）∪（1，4）

【解答】解：

由题意，0＜a＜1时，显然成立；

a＞1时，f（x）=logax关于y轴的对称函数为f（x）=loga（﹣x），则loga4＞1，∴1＜a＜4，

综上所述，a的取值范围是（0，1）∪（1，4），

故选D．

8．（5分）中国古代儒家要求学生掌握六种基本才艺：

礼、乐、射、御、书、数，简称“六艺”．某中学为弘扬“六艺”的传统文化，分别进行了主题为“礼、乐、射、御、书、数”六场传统文化知识的竞赛．现有甲、乙、丙三位选手进入了前三名的最后角逐．规定：

每场知识竞赛前三名的得分都分别为a，b，c（a＞b＞c，且a，b，c∈N*）；选手最后得分为各场得分之和．在六场比赛后，已知甲最后得分为26分，乙和丙最后得分都为11分，且乙在其中一场比赛中获得第一名，则下列说法正确的是（　　）

A．每场比赛第一名得分a为4

B．甲可能有一场比赛获得第二名

C．乙有四场比赛获得第三名

D．丙可能有一场比赛获得第一名

【解答】解：

由题可知（a+b+c）×N=26+11+11=48，且a、b、c及N都是正整数，

所以a+b+c也是正整数，48能被N整除，

N的可能结果是1、2、3、4、6、8、12、16、24、48

经检验当N=5时a+b+c=8且a＞b＞c推断出a=5，b=2，c=1

最后得出结论甲4个项目得第一，1个项目得第二

乙4个项目得第三，1个项目得第一

丙4个项目得第二，1个项目得第三，

故选：

C．

二、填空题：

本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9．（5分）双曲线

的渐近线方程是　y=±

x　，离心率是　

　．

【解答】解：

根据题意，双曲线的方程为

，

其中a=

，b=

，则c=

=3，

又由其焦点在x轴上，则其渐近线方程为：

y=±

x，

其离心率e=

=

=

；

故答案为：

y=±

x，

．

10．（5分）若平面向量

=（cosθ，sinθ），

=（1，﹣1），且

⊥

，则sin2θ的值是　1　．

【解答】解：

因为

⊥

，

所以

•

=0，

即：

cosθ﹣sinθ=0，

两边平方可得：

cos2θ﹣2sinθcosθ+sin2θ=0，

可得：

1﹣sin2θ=0，解得：

sin2θ=1．

故答案为：

1．

11．（5分）等比数列{an}的前n项和为Sn．已知a1=2，a4=﹣2，则{an}的通项公式an=　2×（﹣1）n﹣1　，S9=　2　．

【解答】解：

∵a1=2，a4=﹣2，则a4=﹣2=a1q3，

∴q3=﹣1，q=﹣1，

即an=2×（﹣1）n﹣1．

∴a1=a3=a5=a7=a9=2，a2=a4=a6=a8=﹣2，

∴S9=2．

故答案是：

2×（﹣1）n﹣1；2．

12．（5分）在极坐标系中，圆ρ=2cosθ被直线ρcosθ=

所截得的弦长为　

　．

【解答】解：

由ρcosθ=

，得x=

；

由ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，即x2+y2﹣2x=0，圆心为（1，0），半径为1，

圆心到直线的距离为

，截得的弦长为2

=

，

故答案为：

．

13．（5分）已知x，y满足

若z=x+2y有最大值8，则实数k的值为　﹣4　．

【解答】解：

作出x，y满足

对应的平面区域如图：

由图象可知z=x+2y在点A处取得最大值，由

，

解得A