数学高考真题北京卷文精校版.docx
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数学高考真题北京卷文精校版
2018年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
文科数学
一、选择题
1．已知集合A＝{x||x|＜2}，B＝{－2,0,1,2}，则A∩B等于（ ）
A．{0,1}B．{－1,0,1}
C．{－2,0,1,2}D．{－1,0,1,2}
答案 A
解析 ∵A＝{x||x|＜2}＝{x|－2＜x＜2}，
∴A∩B＝{0,1}．
故选A.
2．在复平面内，复数
的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
答案 D
解析
＝
＝
＋
，其共轭复数为
－
，对应的点位于第四象限．故选D.
3．执行如图所示的程序框图，输出的s值为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 第一步：
s＝1－
＝
，k＝2，k＜3；第二步：
s＝
＋
＝
，k＝3，输出s.故选B.
4．设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 a，b，c，d是非零实数，若a＜0，d＜0，b＞0，c＞0，且ad＝bc，则a，b，c，d不成等比数列（可以假设a＝－2，d＝－3，b＝2，c＝3）．若a，b，c，d成等比数列，则由等比数列的性质可知ad＝bc.所以“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要不充分条件．故选B.
5．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展作出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于12
.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（ ）
A．3
fB．3
fC．12
fD．12
f
答案 D
解析 由题意知，这十三个单音的频率构成首项为f、公比为12
的等比数列，则第八个单音的频率为（12
）7f＝12
f.
6．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
答案 C
解析 由三视图得到空间几何体，如图所示，
则PA⊥平面ABCD，平面ABCD为直角梯形，PA＝AB＝AD＝2，BC＝1，
所以PA⊥AD，PA⊥AB，PA⊥BC.
又BC⊥AB，AB∩PA＝A，
AB，PA⊂平面PAB，
所以BC⊥平面PAB.
又PB⊂平面PAB，
所以BC⊥PB.
在△PCD中，PD＝2
，PC＝3，CD＝
，
所以△PCD为锐角三角形．
所以侧面中的直角三角形为△PAB，△PAD，△PBC，共3个．故选C.
7．在平面直角坐标系中，
，
，
，
是圆x2＋y2＝1上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边，若tanα＜cosα＜sinα，则P所在的圆弧是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 由题意知，四段弧是单位圆上的第一、二、三象限的弧，在
上，tanα＞sinα，不满足；
在
上，tanα＞sinα，不满足；
在
上，sinα＞0，cosα＜0，tanα＜0，且cosα＞tanα，满足；
在
上，tanα＞0，sinα＜0，cosα＜0，不满足．
故选C.
8．设集合A＝{（x，y）|x－y≥1，ax＋y＞4，x－ay≤2}，则（ ）
A．对任意实数a，（2,1）∈A
B．对任意实数a，（2,1）∉A
C．当且仅当a＜0时，（2,1）∉A
D．当且仅当a≤
时，（2,1）∉A
答案 D
解析 若点（2,1）∈A，则不等式x－y≥1显然成立，且同时要满足
即
解得a＞
.
即点（2,1）∈A⇒a＞
，
其等价命题为a≤
⇒点（2,1）∉A.
故选D.
二、填空题
9．设向量a＝（1,0），b＝（－1，m）．若a⊥（ma－b），则m＝________.
答案 －1
解析 a＝（1,0），b＝（－1，m），则ma－b＝（m＋1，－m）．
由a⊥（ma－b），得a·（ma－b）＝0，
即m＋1＝0，得m＝－1.
10．已知直线l过点（1,0）且垂直于x轴，若l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．
答案 （1,0）
解析 由题意知，直线l的方程为x＝1，则直线与抛物线的交点为（1，±2
）（a＞0）．
又直线被抛物线截得的线段长为4，
所以4
＝4，即a＝1.
所以抛物线的焦点坐标为（1,0）．
11．能说明“若a＞b，则
＜
”为假命题的一组a，b的值依次为________．
答案 1，－1（答案不唯一）
解析 只要保证a为正b为负即可满足要求．
当a＞0＞b时，
＞0＞
.
12．若双曲线
－
＝1（a＞0）的离心率为
，则a＝________.
答案 4
解析 由e＝
＝
知，
＝
＝
，
∴a2＝16.
又∵a＞0，∴a＝4.
13．若x，y满足x＋1≤y≤2x，则2y－x的最小值是________．
答案 3
解析 由条件得
即
作出可行域，如图中阴影部分所示．
设z＝2y－x，即y＝
x＋
z，
作直线l0：
y＝
x并向上平移，显然当l0过点A（1,2）时，z取得最小值，zmin＝2×2－1＝3.
14．若△ABC的面积为
（a2＋c2－b2），且∠C为钝角，则∠B＝________；
的取值范围是________．
答案
（2，＋∞）
解析 由余弦定理得cosB＝
，
∴a2＋c2－b2＝2accosB.
又∵S＝
（a2＋c2－b2），
∴
acsinB＝
×2accosB，
∴tanB＝
，又∠B∈（0，π），
∴∠B＝
.
又∵∠C为钝角，∴∠C＝
－∠A＞
，
∴0＜∠A＜
.
由正弦定理得
＝
＝
＝
＋
·
.
∵0＜tanA＜
，∴
＞
，
∴
＞
＋
×
＝2，
即
＞2.
∴
的取值范围是（2，＋∞）．
三、解答题
15．设{an}是等差数列，且a1＝ln2，a2＋a3＝5ln2.
（1）求{an}的通项公式；
（2）求ea1＋ea2＋…＋ean.
解
（1）设{an}的公差为d.
因为a2＋a3＝5ln2，所以2a1＋3d＝5ln2.
又a1＝ln2，所以d＝ln2.
所以an＝a1＋（n－1）d＝nln2（n∈N*）．
（2）因为ea1＝eln2＝2，
＝ean－an－1＝eln2＝2，
所以数列{ean}是首项为2，公比为2的等比数列，
所以ea1＋ea2＋…＋ean＝
＝2（2n－1）＝2n＋1－2（n∈N*）．
16．已知函数f（x）＝sin2x＋
sinxcosx.
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若f（x）在区间
上的最大值为
，求m的最小值．
解
（1）f（x）＝sin2x＋
sinxcosx
＝
－
cos2x＋
sin2x
＝sin
＋
，
所以f（x）的最小正周期为T＝
＝π.
（2）由
（1）知，f（x）＝sin
＋
.
由题意知－
≤x≤m，
所以－
≤2x－
≤2m－
.
要使得f（x）在区间
上的最大值为
，
即sin
在区间
上的最大值为1，
所以2m－
≥
，即m≥
.
所以m的最小值为
.
17．电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
好评率是指：
一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
（1）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
（2）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；
（3）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？
（只需写出结论）
解
（1）由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2000，
获得好评的第四类电影的部数是200×0.25＝50.
故所求概率为
＝0.025.
（2）由题意知，样本中获得好评的电影部数是
140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1
＝56＋10＋45＋50＋160＋51
＝372.
故所求概率估计为1－
＝0.814.
（3）增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率．
18．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．
（1）求证：
PE⊥BC；
（2）求证：
平面PAB⊥平面PCD；
（3）求证：
EF∥平面PCD.
证明
（1）因为PA＝PD，E为AD的中点，
所以PE⊥AD.
因为底面ABCD为矩形，
所以BC∥AD，所以PE⊥BC.
（2）因为底面ABCD为矩形，
所以AB⊥AD.
又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，
所以AB⊥平面PAD，
又PD⊂平面PAD，
所以AB⊥PD.
又因为PA⊥PD，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，
所以PD⊥平面PAB.
又PD⊂平面PCD，
所以平面PAB⊥平面PCD.
（3）如图，取PC的中点G，连接FG，DG.
因为F，G分别为PB，PC的中点，
所以FG∥BC，FG＝
BC，
因为四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，
所以DE∥BC，DE＝
BC.
所以DE∥FG，DE＝FG.
所以四边形DEFG为平行四边形，
所以EF∥DG.
又因为EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，
所以EF∥平面PCD.
19．设函数f（x）＝[ax2－（3a＋1）x＋3a＋2]ex.
（1）若曲线y＝f（x）在点（2，f
（2））处的切线斜率为0，求a；
（2）若f（x）在x＝1处取得极小值，求a的取值范围．
解
（1）因为f（x）＝[ax2－（3a＋1）x＋3a＋2]ex，
所以f′（x）＝[ax2－（a＋1）x＋1]ex，
f′
（2）＝（2a－1）e2.
由题意知f′
（2）＝0，即（2a－1）e2＝0，解得a＝
.
（2）由
（1）得f′（x）＝[ax2－（a＋1）x＋1]ex
＝（ax－1）（x－1）ex.
若a＞1，则当x∈
时，f′（x）＜0；
当x∈（1，＋∞）时，f′（x）＞0.
所以f（x）在x＝1处取得极小值．
若a≤1，则当x∈（0,1）时，ax－1≤x－1＜0，
所以f′（x）＞0.
所以1不是f（x）的极小值点．
综上可知，a的取值
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