中考数学二轮复习重难题型突破类型二新运算型.docx

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中考数学二轮复习重难题型突破类型二新运算型

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中考数学二轮复习重难题型突破类型二新运算型

类型二新运算型

1．定义一种运算

例1规定一种新的运算：

，则     ．

[解答]解：

把代入式子计算即可：

 ．

2．定义一个规则

例2为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密）；接收方由密文→明文（解密）.已知加密规则为：

明文对应密文， .例如：

明文1，2，3，4对应的密文5，7，18，16.当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为（   ）

A．4，6，1，7  B．4，1，6，7  C．6，4，1，7  D．1，6，4，7

[解答]解：

根据对应关系，可以求得；代入得；在代入得；代入得．故选C．

3．定义一种变换

例3把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换．在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换（如图甲）．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图乙）的对应点所具有的性质是（   ）

A．对应点连线与对称轴垂直        

B．对应点连线被对称轴平分

C．对应点连线被对称轴垂直平分    

D．对应点连线互相平行

[解答]：

D

4．定义一类数

例4定义为一次函数的特征数．

（1）若特征数是的一次函数为正比例函数，求的值；

（2）设点分别为抛物线与轴的交点，其中，且的面积为4，为原点，求图象过两点的一次函数的特征数．

[解答]解：

（1）特征数为的一次函数为，

 ，．

（2）抛物线与轴的交点为，

与轴的交点为．

若，则；

若，则．

 当时，满足题设条件．

 此时抛物线为．

它与轴的交点为，与轴的交点为，

 一次函数为或，

 特征数为或．

5．定义一个函数

例5设关于的一次函数与，则称函数（其中）为此两个函数的生成函数．

（1）当时，求函数与的生成函数的值；

（2）若函数与的图象的交点为，判断点P是否在此两个函数的生成函数的图象上，并说明理由．

[解答]解：

（1）当时， 

（2）点在此两个函数的生成函数的图象上，

    设点的坐标为，

    ∵，

    ∴当时，，

     ，

    即点在此两个函数的生成图象上．

6．定义一个公式

例6阅读材料：

如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高（h）”.我们可得出

一种计算三角形面积的新方法：

，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．

解答下列问题：

如图2，抛物线顶点坐标为点C（1,4）,交x轴于点A（3,0），交y轴于点B.

（1）求抛物线和直线AB的解析式；

（2）点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及；

（3）是否存在一点P，使S△PAB=S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.

[解答]解：

（1）设抛物线的解析式为：

把A（3,0）代入解析式求得

所以

设直线AB的解析式为：

由求得B点的坐标为 

把，代入中

解得：

，所以

（2）因为C点坐标为（１,4）

所以当x＝１时，y1＝4，y2＝2，所以CD＝4-2＝2

 （平方单位）

（3）假设存在符合条件的点P，设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h，

则

由S△PAB=S△CAB，得：

化简得：

，解得，

将代入中，解得P点坐标为

7．定义一个图形

7.1定义“点”

例7联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念．

定义：

到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．

举例：

如图1，若PA=PB，则点P为△ABC的准外心．

应用：

如图2，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD=AB，求∠APB的度数．

探究：

已知△ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P在AC边上，试探究PA的长．

[解答]解：

①若PB=PC，连接PB，则∠PCB=∠PBC，

∵CD为等边三角形的高，∴AD=BD，∠PCB=30°，

∴∠PBD=∠PBC=30°，∴PD=DB=AB，

与已知PD=AB矛盾，∴PB≠PC，

②若PA=PC，连接PA，同理可得PA≠PC，

③若PA=PB，由PD=AB，得PD=BD，

∴∠APD=45°，故∠APB=90°；

探究：

解：

∵BC=5，AB=3，∴AC=，

①若PB=PC，设PA=x，则，∴，即PA=，

②若PA=PC，则PA=2，

③若PA=PB，由图知，在Rt△PAB中，不可能．

故PA=2或．

7.2定义“线”

例8如图，定义：

若双曲线y＝kx（k＞0）与它的其中一条对称轴y＝x相交于A、B两点，则线段AB的长度为双曲线y＝kx（k＞0）的对径．

（1）求双曲线y＝1x的对径；

（2）若双曲线y＝kx（k＞0）的对径是102，求k的值；

（3）仿照上述定义，定义双曲线y＝kx（k＜0）的对径．

[解答]解：

过A点作AC⊥x轴于C，如图，

（1）解方程组，得，

∴A点坐标为（1，1），B点坐标为（－1，－1），

∴OC＝AC＝1，∴OA＝OC＝，

∴AB＝2OA＝，∴双曲线y＝的对径是；

（2）∵双曲线的对径为，即AB＝，OA＝，

∴OA＝OC＝AC，∴OC＝AC＝5，∴点A坐标为（5，5），

把A（5，5）代入双曲线y＝ （k＞0）得k＝5×5＝25，

即k的值为25；

（3）若双曲线y＝（k＜0）与它的其中一条对称轴y＝－x相交于A、B两点，

则线段AB的长称为双曲线y＝（k＞0）的对径．

7.3定义“角”

例9如图，A、B是⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点（P不与A，B重合），我们称∠APB是⊙O上关于A、B的滑动角．

（1）已知∠APB是⊙O上关于A、B的滑动角．

①若AB是⊙O的直径，则∠APB=     ；

②若⊙O的半径是1，AB=，求∠APB的度数.

（2）已知O2是⊙O1外一点，以O2为圆心做一个圆与⊙O1相交于A、B两点，∠APB是⊙O1上关于A、B的滑动角，直线PA、PB分别交⊙O2于点M、N（点M与点A、点N与点B均不重合），连接AN，试探索∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系．

[解答]解：

（1）①∵AB是⊙O的直径，∴∠APB=90°.

        ②∵OA=OB=1,AB=，∴OA2+OB2=1+1=2=AB2

∴△AOB是直角三角形

∴∠AOB=90°.

∴∠APB=∠AOB=45°

               图1                             图2

（2）当P在优弧AB上时，如图1，这时∠MAN是△PAN的外角，

因而∠APB=∠MAN-∠ANB；

当P在劣弧AB上时，如图2，这时∠APB是△PAN的外角，

因而∠APB=∠MAN+∠ANB；

7.4定义“三角形”

例10（2010浙江绍兴）在平面直角坐标系中,一次函数的图象与坐标轴围成的三角形,叫做此一次函数的坐标三角形.例如，图中的一次函数的

图象与x,y轴分别交于点A,B,则△OAB为此函数的坐标三角形．

（1）求函数y＝x＋3的坐标三角形的三条边长；    

（2）若函数y＝x＋b（b为常数）的坐标三角形周长为16,求此三角形面积．

[解答]解：

（1）∵直线y＝x＋3与x轴的交点坐标为（4,0），与y轴交点坐标为（0,3），                     

∴函数y＝x＋3的坐标三角形的三条边长分别为3,4,5.      

（2）直线y＝x＋b与x轴的交点坐标为（,0），与y轴交点坐标为（0,b），                            

当b>0时,，得b=4，此时，坐标三角形面积为；                    

综上，当函数y＝x＋b的坐标三角形周长为16时，面积为．  

7.5定义“四边形”

例11我们给出如下定义：

若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．

（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称        ，       ；

（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点），，，请你画出以格点为顶点，为勾股边且对角线相等的勾股四边形；

（3）如图2，将绕顶点按顺时针方向旋转，得到，连结，．

求证：

，即四边形是勾股四边形．

[解答]解：

（1）正方形、长方形、直角梯形．（任选两个均可）

（2）答案如图所示．或．

（3）证明：

连结

 ，

  ，

 ，即四边形是勾股四边形