期末考试考点算法相关说明.docx
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期末考试考点算法相关说明
以下说明为考试要考到的考点（书上没有的内容）请大家一定要看并记住算法。
说明1clrscr
函数名:
clrscr
功能:
清除文本模式窗口清屏的意思就是把之前显示出的文字字符去掉跟cmd里面的清屏的功能是一样的实际上是clearscreen的简写
用法:
voidclrscr（void）;
程序例:
#include
intmain（void）
{
inti;
clrscr（）;
for（i=0;i<20;i++）
cprintf（"%d\r\n",i）;
cprintf（"\r\nPressanykeytoclearscreen"）;
getch（）;
clrscr（）;
cprintf（"Thescreenhasbeencleared!
"）;
getch（）;
return0;
}
说明2牛顿迭代法
编写程序，用牛顿迭代法求方程f（x）=3x3-4x2-5x+13=0的满足精度为10-6的一个近似实根。
分析：
这也是教材习题中要求掌握的一类算法题。
该题涉及到了牛顿迭代法的计算方法：
设一初值x0，然后用牛顿迭代公式x=x0-f（x0）/f'（x0）计算出下一个x，重复不断地用刚计算出的x取代上一个x值，接着再用迭代公式计算新的x,直至两次计算出的x的差额不超过10-6为止。
正确答案：
-1.548910
程序流程分析：
① 输入值x0,即迭代初值；
② 用初值x0代入方程中计算此时的f（x0）及f’（x0），程序中用变量f描述方程的值，用fd描述方程求导之后的值；
③ 计算增量d=f/fd；
④ 计算下一个x，x=x0-d;
⑤ 把新产生的x替换x0，为下一次迭代做好准备;
⑥ 若d的绝对值大于1e-5，则重复②③④⑤步。
源程序代码：
#include
main（）{
floatx,x0,d,f,fd;
scanf（"%f",&x0）;
do{
f=3*x0*x0*x0-4*x0*x0-5*x0+13;
fd=9*x0*x0-8*x0-5;
d=f/fd;
x=x0-d;
x0=x;
}
while（fabs（d）>1e-5）;
printf（"x=%f\n",x）;
}
例6.12用牛顿迭代法求方程2x3-4x2+3x-6=0在1.5附近的根
解：
牛顿迭代法又称牛顿切线法。
它采用以下的方法求根：
先任意设定一个与真实的根接近的值x0作为第一次近似根，由x0求出f（x0），过（x0,f（x0））点做f（x）的切线，交x轴于x1，把它作为第二次近似根，再由x1求出f（x1），过（x1,f（x1））点做f（x）的切线,交x轴于x2，求出f（x2）；再作切线……如此继续下去，直到足够接近真正的根x*为止。
f'（x0）=f（x0）/（x1-x0）
因此：
x1=x0-f（x0）/f'（x0）
这就是牛顿迭代公式。
可以利用它由x0求出x1，然后再由x2求出x3……
设 f（x）=2x3-4x2+3x-6
可以写成以下形式：
f（x）=[（2x-4）x+3]x-6
同样,f'（x）可写成：
f'（x）=6x2-8x+3=（6x-8）x+3
用这种方法表示的表达式，在运算时可节省时间。
例如求f（x）只需要进行3次乘法和3次加法，而原来的表达式要经过多次指数运算、对数运算和乘法、加法运算，花费时间较多。
现在由于计算机的运算速度愈来愈快，这点时间开销是微不足道的，这是以前计算机的运算速度较慢时所提出的问题。
由于过去编写的程序往往采用这种形式，所以我们在此也顺便介绍一下，以便在阅读别人所写的程序时知道其所以然。
程序如下：
（xt6-12.c）
#include
#include
main（）
{floatx,x0,f,f1;
x=1.5;
do
{x0=x;
f=（（2*x0-4）*x0+3）*x0-6;
f1=（6*x0-8）*x0+3;
x=x0-f/f1;
}while（fabs（x-x0）>=1e-5）;
printf（"Therootofequationis%5.2f\n",x）;
}
运行结果:
Therootofequationis2.OO
为了便于循环处理，程序中只设了x0和x，x0代表前一次的近似根，x代表后一次的近似根。
求出一个x后，把它的值赋给x0，然后用它求下一个x0由于第一次执行循环体时，需要对x0赋值，故在开始时应先对x赋一个初值（今为1.5，也可以是接近真实根的其他值）。
说明3二分法
6.13用二分法求下面方程在（-10,10）之间的根。
2x3-4x2+3x-6=0
解：
二分法的思路如下：
先指定一个区间[x1,x2），如果函数f（x）在此区间是单调变化的，则可以根据f（x1）和f（x2）是否同号来确定方程f（x）=0在区间[x1,x2]内是否有一个实根。
若f（x1）和f（x2）不同号，则f（x）=０在区间[x1,x2]内必有一个（且只有一个）实根；如果f（x1）和f（x2）同号，则f（x）在区间[x1,x2]内无实根，要重新改变x1和x2的值。
当确定f（x）在[x1,x2]内有一个实根后，可采取二分法将[x1,x2]一分为二，再判断在哪一个小区间中有实根。
如此不断进行下去，直到小区间足够小为止
具体算法如下：
（1）输入x1和x2的值。
（2）求f（x1）和f（x2）。
（3）如果f（x1）和f（x2）同号说明在[x1,x2]内无实根，返回步骤
（1），重新输入x1和x2的值；若f（x1）和f（x2）不同号，则在[x1,x2]必有一个实根，执行步骤（4）。
（4）求x1和x2的中点：
x0=（x1+x2）/2。
（5）求f（x0）。
（6）判断f（x0）与f（x1）是否同号。
①如果同号，则应在[x0,x2]中寻找根，此时x1已不起作用，用x0代替x1，用f（x0）代替f（x1）。
②如果f（x0）与f（x1）不同号，则说明应在[x1,x0]中寻找根，此时x2已不起作用，用x0代替x2，用f（x0）代替f（x2）。
（7）判断f（x0）的绝对值是否小于某一个指定的值（例如10-5）。
若不小于10-5，则返回步骤（4）重复执行步骤（4）、（5）、（6）；否则执行步骤（8）。
（8）输出x0的值，它就是所求出的近似根。
#include
#include
main（）
{floatx0,x1,x2,fx0,fx1,fx2;
do
{printf（"Enterx1&x2：
"）;
scanf（"%f,%f",&x1,&x2）;
fx1=x1*（（2*x1-4）*x1+3）-6;
fx2=x2*（（2*x2-4）*x2+3）-6;
}while（fx1*fx2>0）;
do
{x0=（x1+x2）/2;
fx0=x0*（（2*x0-4）*x0+3）-6;
if（（fx0*fx1）<0）
{x2=x0;
fx2=fx0;
}
else
{x1=x0;
fx1=fx0;
}
}while（fabs（fx0）>=1e-5）;
printf（"x=%6.2f\n",x0）;
}
说明4折半查找法
折半查找法是效率较高的一种查找方法。
假设有已经按照从小到大的顺序排列好的五个整数a[0]~a[4]，要查找的数是X，其基本思想是：
设查找数据的范围下限为l=1，上限为h=5，求中点m=（l+h）/2，用X与中点元素a[m]比较，若X等于a[m]，即找到，停止查找；否则，若X大于a[m]，替换下限l=m+1，到下半段继续查找；若X小于a[m]，换上限h=m-1，到上半段继续查找；如此重复前面的过程直到找到或者l>h为止。
如果l>h，说明没有此数，打印找不到信息，程序结束。
该方法是查找的范围不断缩小一半，所以查找效率较高。
比如{1,3,9,12,32,41,45,62,75,77,82,95,100要找82需要找几次
4次
第一次：
1,3,9,12,32,41,【45】,62,75,77,82,95,100
第二次：
1,3,9,12,32,41,【45】,62,75,【77】,82,95,100
第三次：
1,3,9,12,32,41,【45】,62,75,【77】,82,【95】,100
第四次：
1,3,9,12,32,41,【45】,62,75,【77】,【82】,【95】,100
运用举例
1.//折半查找
2.intBinSearch1（intr[],intn,intk）
3.{
4.intlow=0,high=n; //设置初始查找区间
5.while（low<=high）
6.{
7. intmid=（low+high）/2;//取中间点,比较k与r[mid]，
8. if（k9. high=mid-1;
10. else
11. if（k>r[mid]）
12. low=mid+1;
13. else
14. returnmid; //查找成功
15.}
16. return0; //查找失败
说明5选择排序（与书上p1347.3起泡的区别？
）
原理一次选定数组中的每一个数，记下当前位置并假设它是从当前位置开始后面数中的最小数min=i，从这个数的下一个数开始扫描
直到最后一个数，并记录下最小数的位置min，扫描结束后如果min不等于i，说明假设错误，则交换min与i位置上的数。
用选择法对10个整数排序（从小到大）。
1．程序分析：
所谓选择法就是先将10个数中最小的数与a［0］对换；再将a［1］到a［9］中最小的数与a［1］对换……每比较一轮，找出一个未经排序的数中最小的一个。
共比较9轮。
下面以5个数为例说明选择法的步骤。
a［0］a［1］a［2］a［3］a［4］
36194未排序时的情况
16394将5个数中最小的数1与a［0］对换
13694将余下的4个数中最小的数3与a［1］对换
13496将余下的3个数中最小的数4与a［2］对换
13469将余下的2个数中最小的数6与a［3］对换，至此完成排序
2．程序流程图：
3．程序N-S图：
4．程序源代码：
voidsort（intarray［］，intn）
｛
inti，j，k，t；
for（i＝0；i ｛k＝i；
for（j＝i+1；j if（array［j］ t＝array［k］；array［k］＝array［i］；array［i］＝t；
｝
｝
main（）
｛
inta［10］，i；
printf（"enterthearray：
\n"）；
for（i＝0；i<10；i++）
scanf（"%d"，&a［i］）；
sort（a，10）；
printf（"thesortedarray：
\n"）；
for（i＝0；i<10；i++）
printf（"%d"，a［i］）；
printf（"\n"）；
｝
5．程序运行结果：
enterthearray：
36194
thesortedarray：
13469
以下是一些历年来必考的重点内容，也请记住p1296.1,6.6,6.11三道题的解法及原理，具体原理例题如下
辗转相除法
辗转相除法,又名欧几里德算法（Euclideanalgorithm）乃求两个正整数之最大公因子的算法。
它是已知最古老的算法,其可追溯至3000年前。
它首次出现于欧几里德的《几何原本》（第VII卷，命题i和ii）中，而在中国则可以追溯至东汉出现的《九章算术》。
它并不需要把二数作质因子分解。
证明：
设两数为a、b（b＜a），求它们最大公约数（a、b）的步骤如下：
用b除a，得a＝bq......r1（0≤r）。
若r1=0，则（a，b）＝b；若r1≠0，则再用r1除b，得b＝r1q......r2（0≤r2）.若r2＝0，则（a，b）＝r1，若r2≠0，则继续用r2除r1,……如此下去，直到能整除为止。
其最后一个非零余数即为（a，b）。
[编辑]算法
辗转相除法是利用以下性质来确定两个正整数a和b的最大公因子的：
1.若r是a÷b的余数,则
gcd（a,b）=gcd（b,r）
2.a和其倍数之最大公因子为a。
另一种写法是：
1.a÷b，令r为所得余数（0≤r＜b）
若r=0，算法结束；b即为答案。
2.互换：
置a←b，b←r，并返回第一步。
P1296.1输入两个正整数m和n,求其最大公约数和最小公倍数.
<1>用辗转相除法求最大公约数
算法描述:
m对n求余为a,若a不等于0
则m<-n,n<-a,继续求余
否则n为最大公约数
<2>最小公倍数=两个数的积/最大公约数
#include
intmain（）
{
intm,n;
intm_cup,n_cup,res;/*被除数,除数,余数*/
printf（"Entertwointeger:
\n"）;
scanf（"%d%d",&m,&n）;
if（m>0&&n>0）
{
m_cup=m;
n_cup=n;
res=m_cup%n_cup;
while（res!
=0）
{
m_cup=n_cup;
n_cup=res;
res=m_cup%n_cup;
}
printf（"Greatestcommondivisor:
%d\n",n_cup）;
printf（"Leasecommonmultiple:
%d\n",m*n/n_cup）;
}
elseprintf（"Error!
\n"）;
return0;
}
水仙花数P1296.6 找出所有的水仙花数.水仙花数是一个3位数,其各位数字立方和等于该数本身
#include
voidmain（）
{
inti,j,k,n;
printf（"水仙花数是:
"）;
for（n=100;n<1000;n++）
{
i=n/100;
j=n/10-i*10;
k=n%10;
if（n==i*i*i+j*j*j+k*k*k）
printf（"%4d",n）;
}
printf（"\n"）;
}
迭代法的相关概念及典型例题
迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程,跟迭代法相对应的是直接法（或者称为一次解法），即一次性解决问题。
迭代法又分为精确迭代和近似迭代。
“二分法”和“牛顿迭代法”属于近似迭代法。
迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。
它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）进行重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值。
利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：
一、确定迭代变量。
在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。
二、建立迭代关系式。
所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。
迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。
三、对迭代过程进行控制。
在什么时候结束迭代过程？
这是编写迭代程序必须考虑的问题。
不能让迭代过程无休止地重复执行下去。
迭代过程的控制通常可分为两种情况：
一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。
对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件。
求平方根的迭代公式：
x1=1/2*（x0+a/x0）。
算法：
1.先自定一个初值x0，作为a的平方根值，在我们的程序中取a/2作为a的初值；利用迭代公式求出一个x1。
此值与真正的a的平方根值相比，误差很大。
2.把新求得的x1代入x0中，准备用此新的x0再去求出一个新的x1.
3.利用迭代公式再求出一个新的x1的值，也就是用新的x0又求出一个新的平方根值x1，此值将更趋近于真正的平方根值。
4.比较前后两次求得的平方根值x0和x1，如果它们的差值小于我们指定的值，即达到我们要求的精度，则认为x1就是a的平方根值，去执行步骤5；否则执行步骤2，即循环进行迭代。
迭代法是用于求方程或方程组近似根的一种常用的算法设计方法。
设方程为f（x）=0，用某种数学方法导出等价的形式x=g（x），然后按以下步骤执行：
（1）选一个方程的近似根，赋给变量x0；
（2）将x0的值保存于变量x1，然后计算g（x1），并将结果存于变量x0；
（3）当x0与x1的差的绝对值还小于指定的精度要求时，重复步骤
（2）的计算。
若方程有根，并且用上述方法计算出来的近似根序列收敛，则按上述方法求得的x0就认为是方程的根。
上述算法用C程序的形式表示为：
【算法】迭代法求方程的根
{x0=初始近似根；
do{
x1=x0；
x0=g（x1）；/*按特定的方程计算新的近似根*/
}while（fabs（x0-x1）>Epsilon）；
printf（“方程的近似根是%f\n”，x0）；
}
迭代算法也常用于求方程组的根，令
X=（x0，x1，…，xn-1）
设方程组为：
xi=gi（X）（I=0，1，…，n-1）
则求方程组根的迭代算法可描述如下：
【算法】迭代法求方程组的根
{for（i=0;i
x=初始近似根;
do{
for（i=0;i
y=x;
for（i=0;i
x=gi（X）;
for（delta=0.0,i=0;i
if（fabs（y-x）>delta）delta=fabs（y-x）；
}while（delta>Epsilon）；
for（i=0;i
printf（“变量x[%d]的近似根是%f”，I，x）；
printf（“\n”）；
}
具体使用迭代法求根时应注意以下两种可能发生的情况：
（1）如果方程无解，算法求出的近似根序列就不会收敛，迭代过程会变成死循环，因此在使用迭代算法前应先考察方程是否有解，并在程序中对迭代的次数给予限制；
（2）方程虽然有解，但迭代公式选择不当，或迭代的初始近似根选择不合理，也会导致迭代失败。
P1296.11用迭代法求某数a的平方根。
已知求平方根的迭代公式为：
xn+1=（xn+a/xn）/2
要求前后两次求出的差的绝对值小于10-5。
算法如下：
①设定一个x的初值x0;（在如下程序中取x0=a/2,通过迭代公式求出x1，可以肯定与真正的平方根相比，误差很大。
）
②用上述公式求出x的下一个值x1;
③如此继续下去,直到前后两次求出的x值（xn+1和xn）满足以下关系:
|xn+1-xn|<10-5.
#include
#include
int main（）
{
floata;
floatx0,x1;
printf（"Inputapositivenumber:
\n"）;
scanf（"%f",&a）;
x0=a/2;
x1=（x0+a/x0）/2;
while（fabs（x1-x0）>=1e-5）
{
x0=x1;
x1=（x0+a/x0）/2;
}
printf（"Thesquarerootof%5.2fis%8.5f\n",a,x1）;
return0;
}
运行结果:
=====================================
Inputapositivenumber:
2↙
Thesquarerootof 2.00is 1.41421
以上内容大家必须在理解的基础上记忆，如实在无法理解请将关键思想（算法步骤）强记，对考试定有帮助。
祝大家考出好成绩
谢谢大家一学期来的支持预祝新春快乐
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