向量及向量加减法.docx
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向量及向量加减法
学习目的：
1.理解向量、零向量、单位向量、向量的模的意义；
2.理解向量的几何表示，会用字母表示向量；
3.了解平行向量、共线向量和相等向量的意义，并会判断向量间平行（共线）、相等的关系；
4.通过对向量的学习，使学生对现实生活的向量和数量有一个清楚的认识，培养学生的唯物辩证思想和分析辨别能力.
5．掌握向量的加法的定义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量；
6．掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算；
7．明确相反向量的意义，掌握向量的减法，会作两个向量的差向量；
8．在正确掌握向量加法减法运算法则的基础上能结合图形进行向量的计算，将数和形有机结合，并能利用向量运算完成简单的几何证明；
9．通过阐述向量的减法运算可以转化为向量加法运算及多个向量的加法运算可以转化成两个向量的加法运算，可以渗透化归的数学思想，使学生理解事物之间相互转化，相互联系的辨证思想，同时由于向量的运算能反映出一些物理规律，从而加强了数学学科与物理学科之间的联系，提高学生的应用意识．
学习内容:
向量这部分知识是新内容，但我们已经接触过了.同学们在物理的课程学习过矢量的概念，它与我们要学的向量是一致的（知识是相通的），即使在数学中，前一段我们学习三角函数线时讲过有向线段，实际上向量就是用有向线段表示的.
学习难点:
向量的加法运算
一、向量的概念
向量:
既有大小又有方向的量.通常用有向线段
表示，其中A为起点，B为终点，显然
表示不同的向量；有向线段
的长度表示向量的大小，用|
|表示，显然
，既有向线段的起、终点决定向量的方向，有向线段的长度决定向量的大小.
注意:
向量
的长度|
|又称为向量的模；长度为0的向量叫做零向量，长度为1的向量叫做单位向量.
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，规定零向量与任一向量平行.平行向量可通过平移到同一条直线上，因此平行向量也叫共线向量.
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.零向量与零向量相等，任意两个相等的非零向量可经过平移的过程重合在一起，既可用一个有向线段表示，而与起点无关.
二、向量的加法
1．向量加法的平行四边形法则
平行四边形ABCD中，向量
的和为
.记作:
.
2．向量加法的三角形法则
根据向量相等的定义有:
，既在ΔADC中，
，首尾相连的两个向量的和是以第一个向量的起点指向第二个向量的终点.
规定:
零向量与向量
的和等于
.
三、向量的减法
向量
与向量
叫做相反向量.记作:
.则
，既用加法法则来解决减法问题.
例题选讲
第一阶梯
[例1]判断下列命题的真假：
①直角坐标系中坐标轴的非负轴都是向量；
②两个向量平行是两个向量相等的必要条件；
③向量
与
是共线向量，则
、
、
、
必在同一直线上；
④向量
与向量
平行，则
与
的方向相同或相反；
⑤四边形
是平行四边形的充要条件是
．
分析：
判断上述五个命题的真假性，需细心辨别才能识其真面目．
解：
①直角坐标系中坐标轴的非负半轴，虽有方向之别，但无大小之分，故命题是错误的．
②由于两个向量相等，必知这两个向量的方向与长度均一致，故这两个向量一定平行，所以，此命题正确；
③不正确．∵
与
共线，可以有
与
平行；
④不正确．如果其中有一个是零向量，则其方向就不确定；
⑤正确．此命题相当于平面几何中的命题：
四边形
是平行四边形的充要条件是有一组对边平行且相等．
[例2]下列各量中是向量的有_______________.
A、动能 B、重量 C、质量 D、长度 E、作用力与反作用力 F、温度
分析：
用向量的两个基本要素作为判断的依据注意对物理量实际意义的认识.
解:
A，C，D，F只有大小，没有方向，而B和F既有大小又有方向，故为向量.
[例3]命题“若
，
，则
．”（ ）
A．总成立 B．当
时成立 C．当
时成立 D．当
时成立
分析：
这里要作出正确选择，就是要探求题中命题成立的条件．∵零向量与其他任何非零向量都平行，∴当两非零向量
、
不平行而
时，有
，
，但这时命题不成立，故不能选择A，也不能选择B与D，故只能选择C．
答案：
C
第二阶梯
[例1]如图1所示，已知向量
，试求作和向量
．
分析：
求作三个向量的和的问题，首先求作其中任两个向量的和，因为这两个向量的和仍为一个向量，然后再求这个向量与另一个向量的和．即先作
，再作
．
解：
如图2所示，首先在平面内任取一点
，作向量
，再作向量
，则得向量
，然后作向量
，则向量
即为所求．
[例2]化简下列各式
（1）
；
（2）
．
分析：
化简含有向量的关系式一般有两种方法①是利用几何方法通过作图实现化简；②是利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序，有时也需将一个向量拆分成两个或多个向量．
解：
（1）原式=
（2）原式=
．
[例3]用向量方法证明：
对角线互相平分的四边形是平行四边形．
分析：
要证明四边形是平行四边形只要证明某一组对边平行且相等．由相等向量的意义可知，只需证明其一组对边对应的向量是相等向量．（需首先将命题改造为数学符号语言）
已知：
如图3，ABCD是四边形，对角线AC与BD交于O，且AO=OC，DO=OB．
求证：
四边形ABCD是平行四边形．
证明：
由已知得
，
，且A，D，B，C不在同一直线上，故四边形ABCD是平行四边形．
第三阶梯
例1．下列命题:
（1）单位向量都相等；
（2）若
，则
；
（3）若ABCD为平行四边形，则
；
（4）若
，则
.
其中真命题的个数是（）
A、0 B、1 C、2 D、3
解:
（1）不正确.单位向量的长度相等，但方向不一定相同；
（2）不正确.
可能在同一条直线上；（3）不正确.平行四边形ABCD中，
；（4）正确.满足等量的传递性.选B.
例2．若O为正三角形ABC的中心，则向量
是（）.
A、有相同起点的向量 B、平行向量 C、模相等的向量 D、相等的向量
解:
的起点不同，不平行也不相等.由正三角形的性质:
.选C.
例3．某人向东走3km，又向北走3km，求此人所走路程和位移.
解:
此人所走路程:
|AB|+|BC|=6km.此人的位移:
例4．求证对角线互相平分的平面四边形是平行四边形.
已知:
，求证:
ABCD为平行四边形.
证明:
由加法法则:
，
∵
，∴
，即线段AB与DC平行且相等，
∴ABCD为平行四边形.
例5．非零向量
中，试比较
的大小.
解:
（1）
共线时，
①
时，
②
时，
.
（2）
不共线时，
，
，
∵
即
，
综上：
∴
课外练习:
1．若两个向量不相等，则这两个向量（）.
A、不共线 B、长度不相等
C、不可能均为单位向量 D、不可能均为零向量
2．四边形RSPQ为菱形，则下列可用一条有向线段表示的两个向量是（）.
A、
B、
C、
D、
3．“两个向量共线”是“这两个向量相等”的（）.
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
4．O是四边形ABCD对角线的交点，若
，则四边形ABCD是（）.
A、等腰梯形 B、平行四边形 C、菱形 D、矩形
5．若O是ΔABC内一点，
，则O是ΔABC的（）.
A、内心 B、外心 C、垂心 D、重心
6．ΔABC中，
=（）.
A、
B、
C、
D、
7．平行四边形ABCD中，E、F为AB，CD中点，图中7个向量中，与
相等的向量是________；与
相等的向量是______；与
平行的向量是_______；与
平行的向量是_____.
8．已知:
首尾相接的四个向量
.
求证:
.S
参考答案:
1.D 2.B 3.B 4.B 5.D 6.B
7.
8.证明:
∵
，
，
∴
.
测试
选择题
1．已知向量a=（3,m）的长度是5，则m的值为（）.
A、4 B、-4 C、±4 D、16
2．下面有四个命题：
（1）向量
的长度与向量
的长度相等.
（2）任何一个非零向量都可以平行移动.（3）所有的单位向量都相等.（4）两个有共同起点的相等向量，其终点必相同.其中真命题的个数是（）.
A、4 B、3 C、2 D、1
3．在下列命题中，正确的是（）.
A、若|
|>|
|，则
>
B、|
|=|
|，则
=
C、若
=
，则
与
共线 D、若
≠
，则
一定不与
共线
4．下列说法中错误的是（）.
A、零向量是没有方向的 B、零向量的长度为0
C、零向量与任一向量平行 D、零向量的方向是任意的
5．
如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，则和
相等的向量的个数是（）.
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
答案与解析
答案：
1、C 2、B 3、C 4、A 5、B
解析：
1．答案：
C. 因为|a|
所以
2．答案：
B.
（1）对.因为
与
是指同一条线段，因此长度相等．
（2）对．这是由相等向量推导出的结论．（3）错.因为单位向量只要求模长等于1，方向不作要求，因此不一定相等．（4）对．因为相等向量可以经过平移至完全重合．解决本题的关键是熟练掌握有关基础知识.
3．答案：
C.A错．因为向量有大小和方向两个要素．无法比较大小．B错．相等向量不仅要模长相等，方向也要相同．C对．相等向量方向一定相同，因此共线．D错．因为向量不相等，可能仅由于模长不等，方向仍可能是相同的，所以
与
有共线的可能．
4．答案：
A.零向量是规定了模长为0的向量．零向量的方向没有规定，是任意的，可以看作和任一向量共线．零向量绝不是没有方向．
5．答案：
B.根据向量相等的条件.
向量
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