习题1112参考答案.docx
《习题1112参考答案.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《习题1112参考答案.docx(11页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
![习题1112参考答案.docx](https://file1.bdocx.com/fileroot1/2023-1/26/93dd460f-c267-4c9f-9c23-d42d91be3ed4/93dd460f-c267-4c9f-9c23-d42d91be3ed41.gif)
习题1112参考答案
习题参考答案
第1章数理逻辑
1.1命题
1.解(a)(ⅰ)┐P∧R→Q(ⅱ)Q→R
(ⅲ)┐P(ⅳ)P∧┐Q
(b)(ⅰ)我去镇上当且仅当我有时间且天不下雪。
(ⅱ)我有时间并且去镇上。
(ⅲ)如果我去镇上,那么我有时间;如果我有时间,那么我去镇上(或:
我去镇上当且仅当我有时间)。
(ⅳ)说我有时间或我去镇上是不对的。
2.解(a)上海并非处处清洁。
(b)并非每一个自然数都是偶数。
3.解(a)逆命题:
如果我不去,那么天下雨。
逆反命题:
如果我去,那么天不下雨。
(b)逆命题:
如果你去,我将逗留。
逆反命题:
如果你不去,我将不逗留。
(c)逆命题:
如果方程
无正整数解,那么n是大于2的正整数。
逆反命题:
如果方程
有正整数解,那么n不是大于2的正整数。
(d)逆命题:
如果我不能完成这个任务,那么我没有获得更多帮助。
逆反命题:
如果我能完成这个任务,那么我获得了更多帮助。
4.给P和Q指派真值T,给R和S指派真值F,求出下列命题的真值:
(a)P∨Q∧R
(b)P∨Q∧R∨┐((P∨Q)∧(R∨S))
(c)(┐(P∧Q)∨┐R)∨(P┐∧Q∨┐R)∧S
(d)┐(P∧Q)∨┐R∨((Q↔┐P)→R∨┐S)
(e)(P↔R)∧(┐Q→S)
(f)P∨(Q→R∧┐P)↔Q∨┐S
解:
做出各个命题的真值表,求出真值。
(a)T
P
Q
R
Q∧R
P∨Q∧R
T
T
F
F
T
(b)T(c)T(d)T(e)F(f)T
(b)(c)(d)(e)(f)(表略)
5.解:
(a)
PQ
P→Q
Q∧(P→Q)
Q∧(P→Q)→P
00
1
0
1
01
1
1
0
10
0
0
1
11
1
1
1
(b)
PQR
Q∧R
┐(P∨Q∧R)
(P∨Q)∧(P∨R)
┐(P∨Q∧R)(P∨Q)∧(P∨R)
000
0
1
0
0
001
0
1
0
0
010
0
1
0
0
011
1
0
1
0
100
0
0
1
0
101
0
0
1
0
110
0
0
1
0
111
1
0
1
0
(c)(略);(d)(略)。
6.证明下列公式的真值与他们的变元值无关:
(a)P∧(P→Q)→Q
(b)(P→Q)→(┐P∨Q)
(c)(P→Q)∧(Q→R)→(P→R)
(d)(P↔Q)↔(P∧Q∨┐P∧┐Q)
证明:
做出各个命题的真值表,证明公式的真值与他们的变元值无关
(a)
P
Q
P→Q
P∧(P→Q)
P∧(P→Q)→Q
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
(b)(c)(d)(表略)
7.证明作真值表:
PQ
PQ
P→Q
Q→P
(P→Q)∧(Q→P)
00
1
1
1
1
01
0
1
0
0
10
0
0
1
0
11
1
1
1
1
由表可知,PQ在第一,四行上取真值,这时,P→Q,Q→P也为真;另一方面,在第一,四行上P→Q和Q→P同时为真,这时PQ也为真。
于是本题得证。
8.对P和Q的所有值,证明P→Q与┐P∨Q有同样真值。
证明(P→Q)↔(┐P∨Q)总是真的。
证明:
做出(P→Q)↔(┐P∨Q)的真值表
P
Q
┐P
P→Q
┐P∨Q
(P→Q)↔(┐P∨Q)
0
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
9.解(a)∧、∨、是可交换的。
(b)作出P∧Q、Q∧P;P∨Q、Q∨P;PQ、QP和P→Q、Q→P的真值表,由表得出前三对公式等价,后一对公式不等价(表略)。
10.设*是具有两个运算对象的逻辑运算符,如果(x*y)*z和x*(y*z)逻辑等价,那么运算符*是可结合的。
(a)确定逻辑运算符∧、∨、→、↔那些事可结合的。
(b)用真值表确定你的断言。
解:
(a)∧、∨、↔是可结合的。
(b)做出(P∧Q)∧R、P∧(Q∧R);(P∨Q)∨R、P∨(Q∨R);(P↔Q)↔R、P↔(Q↔R);(P→Q)→R、P→(Q→R)的真值表,由表得出前三对公式等价,后一对公式不等价。
(表略)
11.解:
(b)、(c)不是命题公式,因为它们不能根据命题公式的形成规则而得到。
(a)和(d)是命题公式,它们的构造过程如下:
(a)①P是命题公式根据条款1
②Q是命题公式根据条款1
③(P∧Q)是命题公式根据①、②条款2
④(┐P)是命题公式根据①条款2
⑤((┐P)→(P∧Q))是命题公式根据③、④条款2
⑥R是命题公式根据条款1
⑦((┐P→(P∧Q))∨R)是命题公式根据⑤、⑥条款2
(d)①P是命题公式根据条款1
②Q是命题公式根据条款1
③(P→Q)是命题公式根据①、②条款2
④(Q∧(P→Q))是命题公式根据②、③条款2
⑤(Q∧(P→Q)→P)是命题公式根据①、④条款2
1.2重言式
1.指出下列命题哪些是重言式、偶然式和矛盾式:
重言式有:
acdefhikl
偶然式有:
gjmn
矛盾式有:
b
2.(a)=P∨Q∨┐R=┐(┐P∧┐Q∧R)
(b)=P∨┐(┐Q∧R)∨P
=P∨Q∨┐R
=┐(┐P∧┐Q∧R)
(c)=┐P∨(┐Q∨R)
=T
(d)=F
(e)=(┐P∨(Q∨┐R))∧┐P∧Q
=┐P∧Q
=┐(P∨┐Q)
(f)=┐P∧┐Q∧(R∨P)
=┐P∧┐Q∧R∨┐P∧┐Q∧P
=┐P∧┐Q∧R∨F
=┐(P∨Q∨┐R)
3.(a)=┐(P∧Q)∨P=┐P∨┐Q∨P=T
(b)=┐(┐(P∨Q)→┐P)
=┐(P∨Q∨┐P)
=F
(c)=(┐Q∨P)∧(P∨Q)∧T=P
(d)=┐P∧P=F
4.(a)=┐P∨┐Q∨P
=P∨(┐P∨┐Q)
=┐P→(P→┐Q)
(b)=(┐P∨Q)∧(┐R∨Q)
=(┐P∧┐R)∨Q
=┐(P∨Q)∨Q
=P∨R→Q
(c)=┐((P→Q)∧(Q→P)
=┐((┐P∨Q)∧(┐Q∨P))
=┐(┐P∨Q)∨┐(P∨┐Q)
=(P∧┐Q)∨(┐P∧Q)
=(P∨┐P)∧(P∨Q)∧(┐Q∨┐P)∧(┐Q∨Q)
=(P∨Q)∧┐(P∧Q)
(d)=┐(┐P∨Q)
=P∧┐Q
5.使用恒等式证明下列各式,并写出与他们对偶的公式。
(a)(┒(┒P∨┒Q)∨┒(┒P∨Q)P
(b)(P∨┒Q)∧(P∨Q)∧(┐P∨┐Q)┐(┐P∨Q)
(c)Q∨┐((┐P∨Q)∧P)T
证明:
(a)(┒(┒P∨┒Q)∨┒(┒P∨Q)
((P∧Q)∨(P∧┐Q)
(P∧(Q∨┐Q))
P
对偶公式:
(┒(┒P∧┒Q)∧┒(┒P∧Q)
(b)(P∨┒Q)∧(P∨Q)∧(┐P∨┐Q)
(P∨(┒Q∧Q))∧(┐P∨┐Q)
P∧(┐P∨┐Q)
P∧┐P∨P∧┐Q
┐(┐P∨Q)
对偶公式:
(P∧┒Q)∨(P∧Q)∨(┐P∧┐Q)
(c)Q∨┐((┐P∨Q)∧P)
Q∨┐(Q∧P)
Q∨┐Q∨┐P
T∨┐P
T
对偶公式:
Q∧┐((┐P∧Q)∨P)
6.求出下列公式的最简等价式。
(a)((P→Q)↔(┐Q→┐P))∧R
(b)P∨┐P∨(Q∧┐Q)
(c)(P∧(Q∧S))∨(┐P∧(Q∧S))
解:
(a)((P→Q)↔(┐Q→┐P))∧R
((┐P∨Q)↔(Q∨┐P))∧R
T∧R
R
(b)P∨┐P∨(Q∧┐Q)
T∨F
T
(c)(P∧(Q∧S))∨(┐P∧(Q∧S))
(P∨┐P)∧(Q∧S)
Q∧S
7.证明下列蕴含式。
(a)P∧Q(P→Q)
(b)P(Q→P)
(c)(P→(Q→R))(P→Q)→(P→R)
证明:
(a)方法一:
只要证明P∧Q→(P→Q)是永真式
P∧Q→(P→Q)
┐(P∧Q)∨(┐P∨Q)
(┐P∨┐Q)∨(┐P∨Q)
┐P∨┐Q∨Q
T
既为永真式,故P∧Q(P→Q)
方法二:
设P∧Q为T,则P和Q为T,则P→Q为T,故P∧Q⇒(P→Q)
方法三:
设P→Q为F,则P为F且Q为F,则P∧Q为F,故P∧Q⇒(P→Q)
(b)因为
P→(Q→P)
┐P∨(┐Q∨P)
T
故P(Q→P)
(c)因为
(P→(Q→R))→(P→Q)→(P→R)
┐(┐P∨(┐Q∨R))∨(┐(┐P∨Q)∨(┐P∨R))
(P∧Q∧┐R)∨(P∧┐Q)∨┐P∨R
(P∧Q∧┐R)∨((P∨┐P)∧(┐Q∨┐P))∨R
(P∧Q∧┐R)∨┐(Q∧P∧┐R)
T
故(P→(Q→R))(P→Q)→(P→R)
8.不构成真值表而证明下列蕴含式。
(a)P→QP→P∧Q
(b)(P→Q)→QP∨Q
(c)((P∨┐P)→Q)→((P∨┐P)→R)(Q→R)
(d)(Q→(P∨┐P))→(R→(P∧┐P))(R→Q)
证明:
证法一:
(a)设P→Q为T,则P为F或Q为T。
若P为F,则P→P∧Q为T;
若Q为T,则P为T时为T,则P→P∧Q为T,P为F时P→P∧Q为T。
故P→QP→P∧Q。
(b)因为
(P→Q)→Q→P∨Q
┐(┐(┐P∨Q)∨Q)∨(P∨Q)
((┐P∨Q)∧┐Q)∨P∨Q
┐P∧┐Q∨P∨Q
T
故(P→Q)→QP∨Q
证法二:
(a)设P→P∧Q为F,则P为T,Q为F,则P→Q为F,
故P→QP→P∧Q。
(b)设P∨Q为F,则P为F,Q为F,则(P→Q)→Q为F,
故(P→Q)→Q⇒P∨Q。
9(a).与非运算符用下述真值表定义,可以看出:
P↑Q=>¬(P∧Q),试证明
1.)P↑P=>¬P
2.)(P↑P)↑(Q↑Q)=>P∨Q
3.)(P↑Q)↑(P↑Q)=>P∧Q
(b).或非运算符号用下述真值表定义,它与¬(P∨Q)逻辑等价。
对下述每一式,找出仅用↓表示的等价式。
PQ
P↓Q
00
01
10
11
1
0
0
0
1.)¬P
PQ
P↑Q
00
01
10
11
1
1
1
0
2.)P∨Q
3.)P∧Q
10.□和*是具有2个运算符对象的逻辑运算符,如果P□(R*R)和(P□Q)*(P□R)逻辑等价,那么说□在*上可分配。
(a)∧和V可以互相分配吗?
(b)∧和Vj及→ 可以对自己分配吗?
(c).数的加法和乘法可以对自己分配马?
11.对一个重言式使用代入规则后,仍然得重言式,对一个偶然式和矛盾式,使用代入规则后,结果如何?
对一个重言式,使用替换规则后是否仍然得到重言式?
对一个偶然式和矛盾式使用替换规则后,结果如何?
12求出下列各式的代入实例:
(a).(((P → Q )→ P)→P);用P→Q代P,用((P→Q)→R)代Q.
(b).((P→Q)→(Q→P));用Q代P,用P∧¬P代Q
解答:
1.2-9
(a)
1.)P↑P=>¬(P∧P)=>¬P
2.)(P↑P)↑(Q↑Q)=>¬P↑¬Q=>¬(¬P∧¬Q)=>P∨Q
3.)(P↑Q)↑(P↑Q)=>¬(P↑Q)=>¬(¬(P∧Q))
b.)
1.)¬P=>¬(P∨P)=>P↓P
2.)P∨Q=>¬(¬(PVQ))=>¬(P∨Q)=>(P↓Q)↓(P↓Q)
3.)P∧Q=>¬(¬(P∧Q))=>¬(¬PC¬Q)=>¬P↓¬Q=>(P↓P)↓(Q↓Q)
1.2-10
1.)证明如下:
PQR
P∧(Q∨R)
P∧Q∨P∧R
P∨(Q∧R)
(P∨Q)∧(P∨R)
000
0
0
0
0
001
0
0
0
0
010
0
0
0
0
011
0
0
1
1
100
0
0
1
1
101
1
1
1
1
110
1
1
1
1
111
1
1
1
1
由表可知,∨和∧可以互相分配
2.)∧和∨可以对自己分配,而→对自己不可分配
3.)数的加法和乘法对自己不可分配
1.2-11
偶然式使用代入规则后,不一定是偶然式,例如P∨Q是偶然式,当用¬P代Q时,得P重言式式使用代入规则后,一定是重言式
矛盾式使用代入规则后,一定是矛盾式
1.2-12
1.)((((P→Q)→((P→Q))→(P→Q)→(P→Q)
2.)(Q→P∧¬P)→(P∧¬P→Q)