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习题1112参考答案
习题参考答案
第1章数理逻辑
1.1命题
1．解（a）（ⅰ）┐P∧R→Q（ⅱ）Q→R
（ⅲ）┐P（ⅳ）P∧┐Q
（b）（ⅰ）我去镇上当且仅当我有时间且天不下雪。
（ⅱ）我有时间并且去镇上。
（ⅲ）如果我去镇上，那么我有时间；如果我有时间，那么我去镇上（或：
我去镇上当且仅当我有时间）。
（ⅳ）说我有时间或我去镇上是不对的。
2．解（a）上海并非处处清洁。
（b）并非每一个自然数都是偶数。
3．解（a）逆命题：
如果我不去，那么天下雨。
逆反命题：
如果我去，那么天不下雨。
（b）逆命题：
如果你去，我将逗留。
逆反命题：
如果你不去，我将不逗留。
（c）逆命题：
如果方程
无正整数解，那么n是大于2的正整数。
逆反命题：
如果方程
有正整数解，那么n不是大于2的正整数。
（d）逆命题：
如果我不能完成这个任务，那么我没有获得更多帮助。
逆反命题：
如果我能完成这个任务，那么我获得了更多帮助。
4．给P和Q指派真值T，给R和S指派真值F，求出下列命题的真值：
（a）P∨Q∧R
（b）P∨Q∧R∨┐（（P∨Q）∧（R∨S））
（c）（┐（P∧Q）∨┐R）∨（P┐∧Q∨┐R）∧S
（d）┐（P∧Q）∨┐R∨（（Q↔┐P）→R∨┐S）
（e）（P↔R）∧（┐Q→S）
（f）P∨（Q→R∧┐P）↔Q∨┐S
解：
做出各个命题的真值表，求出真值。
（a）T
P
Q
R
Q∧R
P∨Q∧R
T
T
F
F
T
（b）T（c）T（d）T（e）F（f）T
（b）（c）（d）（e）（f）（表略）
5．解：
（a）
PQ
P→Q
Q∧（P→Q）
Q∧（P→Q）→P
00
1
0
1
01
1
1
0
10
0
0
1
11
1
1
1
（b）
PQR
Q∧R
┐（P∨Q∧R）
（P∨Q）∧（P∨R）
┐（P∨Q∧R）（P∨Q）∧（P∨R）
000
0
1
0
0
001
0
1
0
0
010
0
1
0
0
011
1
0
1
0
100
0
0
1
0
101
0
0
1
0
110
0
0
1
0
111
1
0
1
0
（c）（略）；（d）（略）。
6.证明下列公式的真值与他们的变元值无关：
（a）P∧（P→Q）→Q
（b）（P→Q）→（┐P∨Q）
（c）（P→Q）∧（Q→R）→（P→R）
（d）（P↔Q）↔（P∧Q∨┐P∧┐Q）
证明：
做出各个命题的真值表，证明公式的真值与他们的变元值无关
（a）
P
Q
P→Q
P∧（P→Q）
P∧（P→Q）→Q
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
（b）（c）（d）（表略）
7．证明作真值表：
PQ
PQ
P→Q
Q→P
（P→Q）∧（Q→P）
00
1
1
1
1
01
0
1
0
0
10
0
0
1
0
11
1
1
1
1
由表可知，PQ在第一，四行上取真值，这时，P→Q，Q→P也为真；另一方面，在第一，四行上P→Q和Q→P同时为真，这时PQ也为真。
于是本题得证。
8．对P和Q的所有值，证明P→Q与┐P∨Q有同样真值。
证明（P→Q）↔（┐P∨Q）总是真的。
证明：
做出（P→Q）↔（┐P∨Q）的真值表
P
Q
┐P
P→Q
┐P∨Q
（P→Q）↔（┐P∨Q）
0
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
9．解（a）∧、∨、是可交换的。
（b）作出P∧Q、Q∧P；P∨Q、Q∨P；PQ、QP和P→Q、Q→P的真值表，由表得出前三对公式等价，后一对公式不等价（表略）。
10．设*是具有两个运算对象的逻辑运算符，如果（x*y）*z和x*（y*z）逻辑等价，那么运算符*是可结合的。
（a）确定逻辑运算符∧、∨、→、↔那些事可结合的。
（b）用真值表确定你的断言。
解：
（a）∧、∨、↔是可结合的。
（b）做出（P∧Q）∧R、P∧（Q∧R）；（P∨Q）∨R、P∨（Q∨R）；（P↔Q）↔R、P↔（Q↔R）；（P→Q）→R、P→（Q→R）的真值表，由表得出前三对公式等价，后一对公式不等价。
（表略）
11.解：
（b）、（c）不是命题公式，因为它们不能根据命题公式的形成规则而得到。
（a）和（d）是命题公式，它们的构造过程如下：
（a）①P是命题公式根据条款1
②Q是命题公式根据条款1
③（P∧Q）是命题公式根据①、②条款2
④（┐P）是命题公式根据①条款2
⑤（（┐P）→（P∧Q））是命题公式根据③、④条款2
⑥R是命题公式根据条款1
⑦（（┐P→（P∧Q））∨R）是命题公式根据⑤、⑥条款2
（d）①P是命题公式根据条款1
②Q是命题公式根据条款1
③（P→Q）是命题公式根据①、②条款2
④（Q∧（P→Q））是命题公式根据②、③条款2
⑤（Q∧（P→Q）→P）是命题公式根据①、④条款2
1.2重言式
1.指出下列命题哪些是重言式、偶然式和矛盾式：
重言式有：
acdefhikl
偶然式有：
gjmn
矛盾式有：
b
2.（a）=P∨Q∨┐R=┐（┐P∧┐Q∧R）
（b）=P∨┐（┐Q∧R）∨P
=P∨Q∨┐R
=┐（┐P∧┐Q∧R）
（c）=┐P∨（┐Q∨R）
=T
（d）=F
（e）=（┐P∨（Q∨┐R））∧┐P∧Q
=┐P∧Q
=┐（P∨┐Q）
（f）=┐P∧┐Q∧（R∨P）
=┐P∧┐Q∧R∨┐P∧┐Q∧P
=┐P∧┐Q∧R∨F
=┐（P∨Q∨┐R）
3.（a）=┐（P∧Q）∨P=┐P∨┐Q∨P=T
（b）=┐（┐（P∨Q）→┐P）
=┐（P∨Q∨┐P）
=F
（c）=（┐Q∨P）∧（P∨Q）∧T=P
（d）=┐P∧P=F
4.（a）=┐P∨┐Q∨P
=P∨（┐P∨┐Q）
=┐P→（P→┐Q）
（b）=（┐P∨Q）∧（┐R∨Q）
=（┐P∧┐R）∨Q
=┐（P∨Q）∨Q
=P∨R→Q
（c）=┐（（P→Q）∧（Q→P）
=┐（（┐P∨Q）∧（┐Q∨P））
=┐（┐P∨Q）∨┐（P∨┐Q）
=（P∧┐Q）∨（┐P∧Q）
=（P∨┐P）∧（P∨Q）∧（┐Q∨┐P）∧（┐Q∨Q）
=（P∨Q）∧┐（P∧Q）
（d）=┐（┐P∨Q）
=P∧┐Q
5．使用恒等式证明下列各式，并写出与他们对偶的公式。
（a）（┒（┒P∨┒Q）∨┒（┒P∨Q）P
（b）（P∨┒Q）∧（P∨Q）∧（┐P∨┐Q）┐（┐P∨Q）
（c）Q∨┐（（┐P∨Q）∧P）T
证明：
（a）（┒（┒P∨┒Q）∨┒（┒P∨Q）
（（P∧Q）∨（P∧┐Q）
（P∧（Q∨┐Q））
P
对偶公式:
（┒（┒P∧┒Q）∧┒（┒P∧Q）
（b）（P∨┒Q）∧（P∨Q）∧（┐P∨┐Q）
（P∨（┒Q∧Q））∧（┐P∨┐Q）
P∧（┐P∨┐Q）
P∧┐P∨P∧┐Q
┐（┐P∨Q）
对偶公式:
（P∧┒Q）∨（P∧Q）∨（┐P∧┐Q）
（c）Q∨┐（（┐P∨Q）∧P）
Q∨┐（Q∧P）
Q∨┐Q∨┐P
T∨┐P
T
对偶公式:
Q∧┐（（┐P∧Q）∨P）
6.求出下列公式的最简等价式。
（a）（（P→Q）↔（┐Q→┐P））∧R
（b）P∨┐P∨（Q∧┐Q）
（c）（P∧（Q∧S））∨（┐P∧（Q∧S））
解：
（a）（（P→Q）↔（┐Q→┐P））∧R
（（┐P∨Q）↔（Q∨┐P））∧R
T∧R
R
（b）P∨┐P∨（Q∧┐Q）
T∨F
T
（c）（P∧（Q∧S））∨（┐P∧（Q∧S））
（P∨┐P）∧（Q∧S）
Q∧S
7.证明下列蕴含式。
（a）P∧Q（P→Q）
（b）P（Q→P）
（c）（P→（Q→R））（P→Q）→（P→R）
证明：
（a）方法一：
只要证明P∧Q→（P→Q）是永真式
P∧Q→（P→Q）
┐（P∧Q）∨（┐P∨Q）
（┐P∨┐Q）∨（┐P∨Q）
┐P∨┐Q∨Q
T
既为永真式，故P∧Q（P→Q）
方法二：
设P∧Q为T，则P和Q为T，则P→Q为T，故P∧Q⇒（P→Q）
方法三：
设P→Q为F，则P为F且Q为F，则P∧Q为F，故P∧Q⇒（P→Q）
（b）因为
P→（Q→P）
┐P∨（┐Q∨P）
T
故P（Q→P）
（c）因为
（P→（Q→R））→（P→Q）→（P→R）
┐（┐P∨（┐Q∨R））∨（┐（┐P∨Q）∨（┐P∨R））
（P∧Q∧┐R）∨（P∧┐Q）∨┐P∨R
（P∧Q∧┐R）∨（（P∨┐P）∧（┐Q∨┐P））∨R
（P∧Q∧┐R）∨┐（Q∧P∧┐R）
T
故（P→（Q→R））（P→Q）→（P→R）
8.不构成真值表而证明下列蕴含式。
（a）P→QP→P∧Q
（b）（P→Q）→QP∨Q
（c）（（P∨┐P）→Q）→（（P∨┐P）→R）（Q→R）
（d）（Q→（P∨┐P））→（R→（P∧┐P））（R→Q）
证明：
证法一：
（a）设P→Q为T，则P为F或Q为T。
若P为F，则P→P∧Q为T；
若Q为T，则P为T时为T，则P→P∧Q为T，P为F时P→P∧Q为T。
故P→QP→P∧Q。
（b）因为
（P→Q）→Q→P∨Q
┐（┐（┐P∨Q）∨Q）∨（P∨Q）
（（┐P∨Q）∧┐Q）∨P∨Q
┐P∧┐Q∨P∨Q
T
故（P→Q）→QP∨Q
证法二：
（a）设P→P∧Q为F，则P为T，Q为F，则P→Q为F，
故P→QP→P∧Q。
（b）设P∨Q为F，则P为F，Q为F，则（P→Q）→Q为F，
故（P→Q）→Q⇒P∨Q。
9（a）.与非运算符用下述真值表定义，可以看出:
P↑Q=>¬（P∧Q）,试证明
1.）P↑P=>¬P
2.）（P↑P）↑（Q↑Q）=>P∨Q
3.）（P↑Q）↑（P↑Q）=>P∧Q
（b）.或非运算符号用下述真值表定义，它与¬（P∨Q）逻辑等价。
对下述每一式，找出仅用↓表示的等价式。
PQ
P↓Q
00
01
10
11
1
0
0
0
1.）¬P
PQ
P↑Q
00
01
10
11
1
1
1
0
2.）P∨Q
3.）P∧Q
10．□和*是具有2个运算符对象的逻辑运算符,如果P□（Ｒ*R）和（P□Q）*（P□R）逻辑等价，那么说□在*上可分配。
（a）∧和V可以互相分配吗？
（b）∧和Vj及→ 可以对自己分配吗？
（c）.数的加法和乘法可以对自己分配马？
11．对一个重言式使用代入规则后，仍然得重言式，对一个偶然式和矛盾式，使用代入规则后，结果如何？
对一个重言式，使用替换规则后是否仍然得到重言式？
对一个偶然式和矛盾式使用替换规则后，结果如何？
12求出下列各式的代入实例：
（a）.（（（P → Q ）→ P）→P）;用P→Q代P,用（（P→Q）→R）代Q.
（b）.（（P→Q）→（Q→P））;用Q代P，用Ｐ∧¬Ｐ代Q
解答：
1.2-9
（a）
1.）P↑P=>¬（P∧P）=>¬Ｐ
2.）（P↑P）↑（Q↑Q）=>¬Ｐ↑¬Q=>¬（¬P∧¬Q）=>P∨Q
3.）（P↑Q）↑（P↑Q）=>¬（P↑Q）=>¬（¬（P∧Q））
b.）
1.）¬P=>¬（P∨P）=>P↓P
2.）P∨Q=>¬（¬（PVQ））=>¬（P∨Q）=>（P↓Q）↓（P↓Q）
3.）P∧Q=>¬（¬（P∧Q））=>¬（¬PC¬Q）=>¬P↓¬Q=>（P↓P）↓（Q↓Q）
1.2-10
1.）证明如下：
PQR
P∧（Q∨R）
P∧Q∨P∧R
P∨（Q∧R）
（P∨Q）∧（P∨R）
000
0
0
0
0
001
0
0
0
0
010
0
0
0
0
011
0
0
1
1
100
0
0
1
1
101
1
1
1
1
110
1
1
1
1
111
1
1
1
1
由表可知，∨和∧可以互相分配
2.）∧和∨可以对自己分配，而→对自己不可分配
3.）数的加法和乘法对自己不可分配
1．2-11
偶然式使用代入规则后，不一定是偶然式，例如P∨Q是偶然式，当用¬P代Q时，得P重言式式使用代入规则后，一定是重言式
矛盾式使用代入规则后，一定是矛盾式
1.2-12
1.）（（（（P→Q）→（（P→Q））→（P→Q）→（P→Q）
2.）（Q→P∧¬P）→（P∧¬P→Q）
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