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1、习题1112参考答案习题参考答案第1章 数理逻辑1.1命题1解（a）()PRQ ()QR()P ()PQ( b)()我去镇上当且仅当我有时间且天不下雪。()我有时间并且去镇上。()如果我去镇上，那么我有时间；如果我有时间，那么我去镇上（或：我去镇上当且仅当我有时间）。()说我有时间或我去镇上是不对的。2解（a）上海并非处处清洁。（b）并非每一个自然数都是偶数。3解（a）逆命题：如果我不去，那么天下雨。逆反命题：如果我去，那么天不下雨。（b）逆命题：如果你去，我将逗留。逆反命题：如果你不去，我将不逗留。（c）逆命题：如果方程无正整数解，那么n是大于2的正整数。逆反命题：如果方程有正整数解，那么n

2、不是大于2的正整数。（d）逆命题：如果我不能完成这个任务，那么我没有获得更多帮助。逆反命题：如果我能完成这个任务，那么我获得了更多帮助。4给P和Q指派真值T，给R和S指派真值F，求出下列命题的真值：（a）PQR(b) PQR(PQ)(RS)(c) (PQ)R)(PQR)S(d) (PQ)R(QP)RS)(e) (PR)(QS)(f) P(QRP)QS解：做出各个命题的真值表，求出真值。（a） TPQRQRPQRTTFFT(b) T(c) T(d) T(e)F (f)T(b) (c) (d) (e) (f) (表略)5解：（a）P QPQQ(PQ)Q(PQ)P 0 0101 0 1110 1 0

3、001 1 1111（b）P Q R QR (PQR) (PQ)(PR) (PQR) (PQ)(PR) 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 （c）(略)；（d）(略)。6.证明下列公式的真值与他们的变元值无关：(a)P(PQ)Q(b)(PQ)(PQ)(c)(PQ)(QR)(PR)(d)(PQ) (PQPQ)证明：做出各个命题的真值表，证明公式的真值与他们的变元值无关(a)PQPQP(PQ)P(PQ)Q0010

4、1011011000111111(b) (c) (d) (表略)7证明 作真值表：P Q P Q PQ QP （PQ）（QP） 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 由表可知，P Q 在第一，四行上取真值，这时，PQ ，QP也为真；另一方面，在第一，四行上PQ 和QP同时为真，这时P Q也为真。于是本题得证。8对P和Q的所有值，证明PQ与PQ有同样真值。证明(PQ)( PQ)总是真的。证明：做出(PQ)( PQ)的真值表PQPPQPQ(PQ)( PQ)0011110111111000011101119解（a）、 是可交换的。 （b）作出

5、PQ、QP；PQ、QP；P Q、Q P和PQ、QP的真值表，由表得出前三对公式等价，后一对公式不等价（表略）。10设*是具有两个运算对象的逻辑运算符，如果（x*y）*z和x*(y*z)逻辑等价，那么运算符*是可结合的。 (a)确定逻辑运算符、那些事可结合的。 (b)用真值表确定你的断言。解：(a) 、是可结合的。(b) 做出（PQ）R、P(QR)；(PQ) R、P(QR)；(PQ) R、P (QR)；(PQ) R、P(QR)的真值表，由表得出前三对公式等价，后一对公式不等价。(表略)11. 解：（b）、（c）不是命题公式，因为它们不能根据命题公式的形成规则而得到。（a）和（d）是命题公式，它们

6、的构造过程如下：（a）P是命题公式 根据条款1Q是命题公式 根据条款1（PQ）是命题公式 根据、条款2（P）是命题公式 根据条款2（P）（PQ）是命题公式 根据、条款2R是命题公式 根据条款1（P（PQ）R）是命题公式 根据、条款2（d）P是命题公式 根据条款1Q是命题公式 根据条款1(PQ)是命题公式 根据、条款2(Q(PQ)是命题公式 根据、条款2(Q(PQ)P)是命题公式 根据、条款21.2 重言式1. 指出下列命题哪些是重言式、偶然式和矛盾式：重言式有：a c d e f h i k l 偶然式有：g j m n矛盾式有：b2. (a)= PQR= （PQR） (b)= P（QR）P

7、= PQR = （PQR） (c)= P（QR）= T (d)= F (e)=（P（QR）PQ= PQ= （PQ） (f)= PQ（RP）= PQRPQP= PQRF= （PQR）3. (a)= （PQ）P=PQP=T (b)= (PQ)P)= (PQP)= F (c)= (QP)(PQ)T =P (d)= PP=F4.(a)= PQP= P(PQ)= P(PQ) (b)= (PQ)(RQ)= (PR)Q= (PQ)Q= PRQ (c)= (PQ)(QP)= (PQ)(QP)= (PQ)(PQ)= (PQ)(PQ)= (PP)(PQ)(QP)(QQ)= (PQ)(PQ)(d)= (PQ) =

8、PQ5使用恒等式证明下列各式，并写出与他们对偶的公式。(a)(PQ)(PQ) P(b)(PQ)(PQ)(PQ) (PQ)(c)Q(PQ)P) T证明：(a)(PQ)(PQ) (PQ)(PQ) (P(QQ) P对偶公式: (PQ)(PQ)(b) (PQ)(PQ)(PQ) (P(QQ) (PQ) P(PQ) PPPQ (PQ)对偶公式: (PQ)(PQ)(PQ) (c) Q(PQ)P) Q(QP) QQP TP T对偶公式: Q(PQ)P)6.求出下列公式的最简等价式。(a)(PQ)(QP)R(b)PP(QQ)(c)(P(QS)(P(QS)解：(a)(PQ)(QP)R (PQ) (QP) R TR

9、 R(b)PP(QQ) TF T (c)(P(QS)(P(QS) (PP) (QS) QS7.证明下列蕴含式。(a)PQ (PQ)(b)P (QP)(c)(P(QR) (PQ)(PR)证明：(a)方法一：只要证明PQ(PQ)是永真式 PQ(PQ) (PQ)(PQ) (PQ) (PQ) PQQ T既为永真式，故PQ (PQ)方法二：设PQ为T，则P和Q为T，则PQ为T，故PQ(PQ)方法三：设PQ为F，则P为F且Q为F，则PQ为F，故PQ(PQ)(b) 因为 P (QP) P(QP) T 故P (QP) (c) 因为 (P(QR) (PQ)(PR) (P(QR) (PQ) (PR) (PQR)

10、(PQ) PR (PQR) (PP) (QP) R (PQR) (QPR) T故(P(QR) (PQ)(PR)8.不构成真值表而证明下列蕴含式。(a)PQ PPQ(b)(PQ)Q PQ(c)(PP)Q)(PP)R) (QR)(d)(Q(PP)(R(PP) (RQ) 证明：证法一：(a)设PQ为T，则P为F或Q为T。若P为F，则PPQ为T；若Q为T，则P为T时为T，则PPQ为T，P为F时PPQ为T。故PQ PPQ。(b) 因为(PQ)QPQ ( PQ) Q)(PQ) ( PQ)Q) PQ PQPQ T故(PQ)Q PQ证法二：(a)设PPQ为F，则P为T，Q为F，则PQ为F， 故PQ PPQ。(

11、b) 设PQ为F，则P为F，Q为F，则(PQ)Q为F，故(PQ)QPQ。9 (a).与非运算符用下述真值表定义，可以看出:PQ = （PQ）,试证明1.)PP = P2.)(PP) (QQ) = PQ3.)(PQ) (PQ) = PQ(b).或非运算符号用下述真值表定义，它与（PQ）逻辑等价。对下述每一式，找出仅用表示的等价式。P Q P Q0 00 11 01 110001.) PP QP Q 0 0 0 11 01 1 1 1 1 0 2.)PQ3.)PQ 10 和*是具有2个运算符对象的逻辑运算符,如果P（*R）和(PQ)*(PR)逻辑等价，那么说在*上可分配。 （a）和V可以互相分配吗

12、？ （b）和Vj及可以对自己分配吗？(c).数的加法和乘法可以对自己分配马？11对一个重言式使用代入规则后，仍然得重言式，对一个偶然式和矛盾式，使用代入规则后，结果如何？ 对一个重言式，使用替换规则后是否仍然得到重言式？对一个偶然式和矛盾式使用替换规则后，结果如何？12求出下列各式的代入实例：（a）.(PQ) P) P);用PQ代P,用（PQ）R）代Q.(b) .(PQ) (QP);用Q代P，用代Q解答：1.2-9(a)1.)PP = (PP) = 2.)(PP) (QQ) = Q = (PQ) = PQ3.) (PQ) (PQ)=(PQ)=(PQ)b.)1.) P = (PP) = PP2.

13、)PQ = (PVQ) = (PQ) = (PQ) (PQ)3.)PQ = (PQ) = (PCQ) = PQ = (PP) (QQ)1.2-101.)证明如下：P Q RP(QR)PQPRP(QR)(PQ) (PR)0 0 000000 0 100000 1 000000 1 100111 0 000111 0 111111 1 011111 1 11111由表可知，和可以互相分配2.) 和可以对自己分配，而对自己不可分配3.) 数的加法和乘法对自己不可分配12-11 偶然式使用代入规则后，不一定是偶然式，例如PQ是偶然式，当用P代Q时，得P重言式式使用代入规则后，一定是重言式矛盾式使用代入规则后，一定是矛盾式1.2-121.) (P Q) (P Q) (P Q ) (P Q)2.) (Q PP) (PP Q)