精选试题历届高考数学真题汇编专题14复数理.docx
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精选试题历届高考数学真题汇编专题14复数理
【高考真题与模拟题汇编】
一、选择题（共11题）
2.（北京卷）在复平面内，复数
对应的点位于
（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限
解：
故选D
3.（福建卷）设a、b、c、d∈R，则复数（a+bi）（c+di）为实数的充要条件是
A.ad－bc=0B.ac－bd=0C?
ac+bd=0D.ad+bc=0
4.（广东卷）若复数
满足方程
，则
A.
B?
C?
D?
解析：
由
，故选D.
5.（江西卷）已知复数z满足（
＋3i）z＝3i，则z＝（）
A.
B?
C?
D.
解：
故选D。
6.（全国卷I）如果复数
是实数，则实数
A.
B.
C.
D.
解析：
复数
=（m2－m）+（1+m3）i是实数，∴1+m3=0，m=－1，选B.
8.（陕西卷）复数
等于（）
A.1－iB.1+iC.－1+iD.－1－i
解析:
复数
=
，选C.
11.（浙江卷）已知
（A）1+2i（B）1-2i（C）2+i（D）2-i
【考点分析】本题考查复数的运算及性质，基础题。
解析：
，由
、
是实数，得
∴
，故选择C。
二、填空题（共4题）
12.（湖北卷）设
为实数，且
，则
。
解：
，
而
所以
，解得x＝－1，y＝5，
所以x＋y＝4。
13.（上海卷）若复数
同时满足
－
＝2
，
＝
（
为虚数单位），则
＝.
解：
已知
；
14.（上海卷）若复数
满足
（
为虚数单位），其中
则
。
【2005高考试题】
1（广东卷）若
，其中
、
，
使虚数单位，则
（D）
（Ａ）０（Ｂ）２（Ｃ）
（Ｄ）５
2.（北京卷）若
，且
为纯虚数，则实数a的值为
.
3?
（福建卷）复数
的共轭复数是（B）
A.
B.
C.
D.
4?
（湖北卷）
（C）
A.
B.
C.
D.
5?
（湖南卷）复数z＝i＋i2＋i3＋i4的值是 （B）
A.－1 B.0 C.1 D.i
6?
（辽宁卷）复数
在复平面内，z所对应的点在（B）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
7?
（全国卷II）设
、
、
、
，若
为实数，则（A）
（A）
（B）
（C）
（D）
8?
（全国卷III）已知复数
.
9?
（山东卷）
（1）
（D）
（A）
（B）
（C）1（D）
10?
（天津卷）2.若复数
（a∈R，i为虚数单位位）是纯虚数，则实数a的值为（C）
A.－2B.4C.－6D.6
11?
（浙江卷）在复平面内，复数
＋（1＋
i）2对应的点位于（B）
（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限
12?
（重庆卷）
（A）
A.
B.－
C.
D.－
13?
（江西卷）设复数：
为实数，则x=（A）
A.－2B.－1C.1D.2
14.（上海）在复数范围内解方程
（i为虚数单位）
【2004高考试题】
1.（北京）当
时，复数
在复平面上对应的点位于（D）
A?
第一象限B?
第二象限C?
第三象限D?
第四象限
2.（上海）若复数
满足
，则
的实部是1。
3.（湖北）复数
的值是（A）
A.－16B.16C.
D.
4.（湖南）复数
的值是（D）
A.
B.－
C.4D.－4
【2003高考试题】
※3.（2002京皖春，4）如果θ∈（
，π），那么复数（1＋i）（cosθ＋isinθ）的辐角的主值是（）
A.θ＋
B.θ＋
C.θ
D.θ＋
4.（2002全国，2）复数（
i）3的值是（）
A?
－iB.iC.－1D.1
5.（2002上海，13）如图12—1，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合是（）
※6.（2001全国文，5）已知复数ｚ＝
，则arg
是（）
A.
B.
C.
D.
※9.（2000上海理，13）复数z＝
（i是虚数单位）的三角形式是（）
A.3［cos（
）＋isin（
）］B.3（cos
＋isin
）
C.3（cos
＋isin
）D.3（cos
＋isin
）
10.（2000京皖春，1）复数z1＝3＋i，z2＝1－i，则z＝z1·z2在复平面内的对应点位于（）
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
※12.（1998全国，8）复数－i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是（）
A.
B.
C.±
D.±
13.（1996全国，4）复数
等于（）
A.1+
iB.－1+
i
C.1－
iD.－1－
i
14.（1994上海，16）设复数z=－
i（i为虚数单位），则满足等式zn=z且大于1的正整数n中最小的是（）
A.3B.4C.6D.7
15.（1994全国，9）如果复数z满足|z+i|+|z－i|=2，那么|z+i+1|的最小值是（）
A.1B.
C.2D.
二、填空题
16.（2003上海春，6）已知z为复数，则z+
＞2的一个充要条件是z满足.
17.（2002京皖春，16）对于任意两个复数z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i（x1、y1、x2、y2为实数），定义运算“⊙”为：
z1⊙z2＝x1x2＋y1y2.设非零复数w1、w2在复平面内对应的点分别为P1、P2，点O为坐标原点.如果w1⊙w2＝0，那么在△P1OP2中，∠P1OP2的大小为.
18.（2002上海，1）若z∈C，且（3＋z）i＝1（i为虚数单位），则z＝.
19.（2001上海春，2）若复数z满足方程
i=i－1（i是虚数单位），则z=_____.
20.（1997上海理，9）已知a=
（i是虚数单位），那么a4=_____.
21.（1995上海，20）复数z满足（1+2i）
=4+3i，那么z=_____.
三、解答题
26.（2001上海理，20）对任意一个非零复数z，定义集合Mz＝｛w|w＝z2n－1，n∈N｝.
（Ⅰ）设α是方程x＋
的一个根，试用列举法表示集合Mα；
（Ⅱ）设复数ω∈Mz，求证：
Mω
Mz.
27.（2001上海文，20）对任意一个非零复数z，定义集合Mz＝｛w|w＝zn，n∈N｝.
（Ⅰ）设z是方程x+
=0的一个根，试用列举法表示集合Mz.若在Mz中任取两个数，求其和为零的概率P；
（Ⅱ）若集合Mz中只有3个元素，试写出满足条件的一个z值，并说明理由.
28.（2000上海春，18）设复数z满足|z|＝5，且（3＋4i）z在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，|
z－m|＝5
（m∈R），求z和m的值.
※30.（1999全国理，20）设复数z＝3cosθ＋i·2sinθ.求函数y＝θ－argz（0＜θ＜
）的最大值以及对应的θ值.
※31.（1999上海理，19）已知方程x2＋（4＋i）x＋4＋ai＝0（a∈R）有实数根b，且z=a+bi，求复数
（1－ci）（c＞0）的辐角主值的取值范围.
※32.（1999上海文，19）设复数z满足4z+2
=3
+i，ω=sinθ－icosθ（θ∈R）.求z的值和|z－ω|的取值范围.
※33.（1998上海文，18）已知复数z1满足（z1－2）i=1+i，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求复数z2的模.
※34.（1998上海理，18）已知向量
所表示的复数z满足（z－2）i=1+i，将
绕原点O按顺时针方向旋转
得
，设
所表示的复数为z′，求复数z′+
i的辐角主值.
※35.（1997全国文，20）已知复数z=
i，w=
i，求复数zw+zw3的模及辐角主值.
38.（1996上海理，22）设z是虚数，w=z+
是实数，且－1＜ω＜2.
（Ⅰ）求|z|的值及z的实部的取值范围；
（Ⅱ）设u=
，求证：
u为纯虚数；
（Ⅲ）求w－u2的最小值.
39.（1995上海，22）已知复数z1、z2满足|z1|=|z2|＝1，且z1+z2=
i.求z1、z2的值.
※40.（1995全国文，22）设复数z=cosθ+isinθ，θ∈（π，2π）.求复数z2+z的模和辐角.
※41.（1995全国理，21）在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z1，Z2，Z3，O（其中O是原点），已知Z2对应复数z2=1+
i，求Z1和Z3对应的复数.
※42.（1994全国理，21）已知z=1+i，
（Ⅰ）设w=z2+3
－4，求w的三角形式.
（Ⅱ）如果
=1－i，求实数a，b的值.
43.（1994上海，22）设w为复数，它的辐角主值为
π，且
为实数，求复数w.
●答案解析
2.答案：
A
解析：
由已知z=
［（m－4）－2（m+1）i］在复平面对应点如果在第一象限，则
而此不等式组无解.即在复平面上对应的点不可能位于第一象限.
3.答案：
B
解析：
（1＋i）（cosθ＋isinθ）＝
（cos
＋isin
）（cosθ＋isinθ）
＝
［cos（θ＋
）＋isin（θ＋
）］
∵θ∈（
，π）∴θ＋
∈（
，
）
∴该复数的辐角主值是θ＋
.
6.答案：
D
解法一：
解法二：
∴
∴
应在第四象限，tanθ＝
，θ＝arg
.
∴arg
是
π.
8.答案：
B
解析：
根据复数乘法的几何意义，所求复数是
.
9.答案：
C
解法一：
采用观察排除法.复数
对应点在第二象限，而选项A、B中复数对应点在第一象限，所以可排除.而选项D不是复数的三角形式，也可排除，所以选C.
解法二：
把复数
直接化为复数的三角形式，即
12.答案：
D
解法一：
∵－i=cos
+isin
∴－i的三个立方根是cos
（k=0，1，2）
当k=0时，
；
当k=1时，
；
当k=2时，
.
13.答案：
B
解法一：
，
故（2+2i）4=26（cosπ+isinπ）=－26，1－
，
故
.
于是
所以选B.
解法二：
原式=
∴应选B
14.答案：
B
解析：
z=－
i是z3=1的一个根，记z=ω，ω4=ω，故选B.
17.答案：
解析：
设
∵w1⊙w2＝0∴由定义x1x2＋y1y2＝0
∴OP1⊥OP2∴∠P1OP2＝
.
21.答案：
2+i
解析：
由已知
，
故z=2+i.
22.解法一：
设z＝a＋b
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