最新人教版高中数学《导数》全部教案1.docx
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最新人教版高中数学《导数》全部教案1
人教版高中数学《导数》全部教案[1]
导数的背景（5月4日）
教学目标 理解函数的增量与自变量的增量的比的极限的具体意义
教学重点 瞬时速度、切线的斜率、边际成本
教学难点 极限思想
教学过程
一、导入新课
1. 瞬时速度
问题1：
一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？
析：
大家知道，自由落体的运动公式是«SkipRecordIf...»（其中g是重力加速度）.
当时间增量«SkipRecordIf...»很小时，从3秒到（3＋«SkipRecordIf...»）秒这段时间内，小球下落的快慢变化不大. 因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度.
从3秒到（3＋«SkipRecordIf...»）秒这段时间内位移的增量：
«SkipRecordIf...»
从而，«SkipRecordIf...».
从上式可以看出，«SkipRecordIf...»越小，«SkipRecordIf...»越接近29.4米/秒；当«SkipRecordIf...»无限趋近于0时，«SkipRecordIf...»无限趋近于29.4米/秒. 此时我们说，当«SkipRecordIf...»趋向于0时，«SkipRecordIf...»的极限是29.4.
当«SkipRecordIf...»趋向于0时，平均速度«SkipRecordIf...»的极限就是小球下降3秒时的速度，也叫做瞬时速度.
一般地，设物体的运动规律是s＝s（t），则物体在t到（t＋«SkipRecordIf...»）这段时间内的平均速度为«SkipRecordIf...». 如果«SkipRecordIf...»无限趋近于0时，«SkipRecordIf...»无限趋近于某个常数a，就说当«SkipRecordIf...»趋向于0时，«SkipRecordIf...»的极限为a，这时a就是物体在时刻t的瞬时速度.
2. 切线的斜率
问题2：
P（1,1）是曲线«SkipRecordIf...»上的一点，Q是曲线上点P附近的一个点，当点Q沿曲线逐渐向点P趋近时割线PQ的斜率的变化情况.
析：
设点Q的横坐标为1＋«SkipRecordIf...»，则点Q的纵坐标为（1＋«SkipRecordIf...»）2，点Q对于点P的纵坐标的增量（即函数的增量）«SkipRecordIf...»，
所以，割线PQ的斜率«SkipRecordIf...».
由此可知，当点Q沿曲线逐渐向点P接近时，«SkipRecordIf...»变得越来越小，«SkipRecordIf...»越来越接近2；当点Q无限接近于点P时，即«SkipRecordIf...»无限趋近于0时，«SkipRecordIf...»无限趋近于2. 这表明，割线PQ无限趋近于过点P且斜率为2的直线. 我们把这条直线叫做曲线在点P处的切线. 由点斜式，这条切线的方程为：
«SkipRecordIf...».
一般地，已知函数«SkipRecordIf...»的图象是曲线C，P（«SkipRecordIf...»），Q（«SkipRecordIf...»）是曲线C上的两点，当点Q沿曲线逐渐向点P接近时，割线PQ绕着点P转动. 当点Q沿着曲线无限接近点P，即«SkipRecordIf...»趋向于0时，如果割线PQ无限趋近于一个极限位置PT，那么直线PT叫做曲线在点P处的切线. 此时，割线PQ的斜率«SkipRecordIf...»无限趋近于切线PT的斜率k，也就是说，当«SkipRecordIf...»趋向于0时，割线PQ的斜率«SkipRecordIf...»的极限为k.
3. 边际成本
问题3：
设成本为C，产量为q，成本与产量的函数关系式为«SkipRecordIf...»，我们来研究当q＝50时，产量变化«SkipRecordIf...»对成本的影响.在本问题中，成本的增量为：
«SkipRecordIf...».
产量变化«SkipRecordIf...»对成本的影响可用：
«SkipRecordIf...»来刻划，«SkipRecordIf...»越小，«SkipRecordIf...»越接近300；当«SkipRecordIf...»无限趋近于0时，«SkipRecordIf...»无限趋近于300，我们就说当«SkipRecordIf...»趋向于0时，«SkipRecordIf...»的极限是300.
我们把«SkipRecordIf...»的极限300叫做当q＝50时«SkipRecordIf...»的边际成本.
一般地，设C是成本，q是产量，成本与产量的函数关系式为C＝C（q），当产量为«SkipRecordIf...»时，产量变化«SkipRecordIf...»对成本的影响可用增量比«SkipRecordIf...»刻划. 如果«SkipRecordIf...»无限趋近于0时，«SkipRecordIf...»无限趋近于常数A，经济学上称A为边际成本. 它表明当产量为«SkipRecordIf...»时，增加单位产量需付出成本A（这是实际付出成本的一个近似值）.
二、小结
瞬时速度是平均速度«SkipRecordIf...»当«SkipRecordIf...»趋近于0时的极限；切线是割线的极限位置，切线的斜率是割线斜率«SkipRecordIf...»当«SkipRecordIf...»趋近于0时的极限；边际成本是平均成本«SkipRecordIf...»当«SkipRecordIf...»趋近于0时的极限.
三、练习与作业：
1. 某物体的运动方程为«SkipRecordIf...»（位移单位：
m，时间单位：
s）求它在t＝2s时的速度.
2. 判断曲线«SkipRecordIf...»在点P（1,2）处是否有切线，如果有，求出切线的方程.
3. 已知成本C与产量q的函数关系式为«SkipRecordIf...»，求当产量q＝80时的边际成本.
4. 一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h（单位：
m）与时间t（单位：
s）之间的函数关系为«SkipRecordIf...»，求t＝4s时此球在垂直方向的瞬时速度.
5. 判断曲线«SkipRecordIf...»在（1，«SkipRecordIf...»）处是否有切线，如果有，求出切线的方程.
6. 已知成本C与产量q的函数关系为«SkipRecordIf...»，求当产量q＝30时的边际成本.
导数的概念（5月4日）
教学目标与要求：
理解导数的概念并会运用概念求导数。
教学重点：
导数的概念以及求导数
教学难点：
导数的概念
教学过程：
一、导入新课：
上节我们讨论了瞬时速度、切线的斜率和边际成本。
虽然它们的实际意义不同，但从函数角度来看，却是相同的，都是研究函数的增量与自变量的增量的比的极限。
由此我们引出下面导数的概念。
二、新授课：
1.设函数«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»处附近有定义，当自变量在«SkipRecordIf...»处有增量«SkipRecordIf...»时，则函数«SkipRecordIf...»相应地有增量«SkipRecordIf...»，如果«SkipRecordIf...»时，«SkipRecordIf...»与«SkipRecordIf...»的比«SkipRecordIf...»（也叫函数的平均变化率）有极限即«SkipRecordIf...»无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»处的导数，记作«SkipRecordIf...»，即
«SkipRecordIf...»
注：
1.函数应在点«SkipRecordIf...»的附近有定义，否则导数不存在。
2.在定义导数的极限式中，«SkipRecordIf...»趋近于0可正、可负、但不为0，而«SkipRecordIf...»可能为0。
3.«SkipRecordIf...»是函数«SkipRecordIf...»对自变量«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线«SkipRecordIf...»上点（«SkipRecordIf...»）及点«SkipRecordIf...»）的割线斜率。
4.导数«SkipRecordIf...»是函数«SkipRecordIf...»在点«SkipRecordIf...»的处瞬时变化率，它反映的函数«SkipRecordIf...»在点«SkipRecordIf...»处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线«SkipRecordIf...»上点（«SkipRecordIf...»）处的切线的斜率。
因此，如果«SkipRecordIf...»在点«SkipRecordIf...»可导，则曲线«SkipRecordIf...»在点（«SkipRecordIf...»）处的切线方程为«SkipRecordIf...»。
5.导数是一个局部概念，它只与函数«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»及其附近的函数值有关，与«SkipRecordIf...»无关。
6.在定义式中，设«SkipRecordIf...»，则«SkipRecordIf...»，当«SkipRecordIf...»趋近于0时，«SkipRecordIf...»趋近于«SkipRecordIf...»，因此，导数的定义式可写成«SkipRecordIf...»。
7.若极限«SkipRecordIf...»不存在，则称函数«SkipRecordIf...»在点«SkipRecordIf...»处不可导。
8.若«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»可导，则曲线«SkipRecordIf...»在点（«SkipRecordIf...»）有切线存在。
反之不然，若曲线«SkipRecordIf...»在点（«SkipRecordIf...»）有切线，函数«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»不一定可导，并且，若函数«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»不可导，曲线在点（«SkipRecordIf...»）也可能有切线。
一般地，«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»，其中«SkipRecordIf...»为常数。
特别地，«SkipRecordIf...»。
如果函数«SkipRecordIf...»在开区间«SkipRecordIf...»内的每点处都有导数，此时对于每一个«SkipRecordIf...»，都对应着一个确定的导数«SkipRecordIf...»，从而构成了一个新的函数«SkipRecordIf...»。
称这个函数«SkipRecordIf...»为函数«SkipRecordIf...»在开区间内的导函数，简称导数，也可记作«SkipRecordIf...»，即
«SkipRecordIf...»＝«SkipRecordIf...»＝«SkipRecordIf...»
函数«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»处的导数«SkipRecordIf...»就是函数«SkipRecordIf...»在开区间«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»上导数«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»处的函数值，即«SkipRecordIf...»＝«SkipRecordIf...»。
所以函数«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»处的导数也记作«SkipRecordIf...»。
注：
1.如果函数«SkipRecordIf...»在开区间«SkipRecordIf...»内每一点都有导数，则称函数«SkipRecordIf...»在开区间«SkipRecordIf...»内可导。
2.导数与导函数都称为导数，这要加以区分：
求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。
它们之间的关系是函数«SkipRecordIf...»在点«SkipRecordIf...»处的导数就是导函数«SkipRecordIf...»在点«SkipRecordIf...»的函数值。
3.求导函数时，只需将求导数式中的«SkipRecordIf...»换成«SkipRecordIf...»就可，即«SkipRecordIf...»＝«SkipRecordIf...»
4.由导数的定义可知，求函数«SkipRecordIf...»的导数的一般方法是：
（1）.求函数的改变量«SkipRecordIf...»。
（2）.求平均变化率«SkipRecordIf...»。
（3）.取极限，得导数«SkipRecordIf...»＝«SkipRecordIf...»。
例1.求«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»＝－3处的导数。
例2.已知函数«SkipRecordIf...»
（1）求«SkipRecordIf...»。
（2）求函数«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»＝2处的导数。
小结：
理解导数的概念并会运用概念求导数。
练习与作业：
1.求下列函数的导数：
（1）«SkipRecordIf...»；
（2）«SkipRecordIf...»
（3）«SkipRecordIf...»（3）«SkipRecordIf...»
2.求函数«SkipRecordIf...»在－1,0，1处导数。
3.求下列函数在指定点处的导数：
（1）«SkipRecordIf...»；
（2）«SkipRecordIf...»；
（3）«SkipRecordIf...» （4）«SkipRecordIf...».
4.求下列函数的导数：
（1）«SkipRecordIf...»
（2）«SkipRecordIf...»；
（3）«SkipRecordIf...» （4）«SkipRecordIf...»。
5.求函数«SkipRecordIf...»在－2,0，2处的导数。
导数的概念习题课（5月6日）
教学目标 理解导数的有关概念，掌握导数的运算法则
教学重点 导数的概念及求导法则
教学难点 导数的概念
一、课前预习
1.«SkipRecordIf...»在点«SkipRecordIf...»处的导数是函数值的改变量＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿与相应自变量的改变量＿＿的商当＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
2.若«SkipRecordIf...»在开区间（a，b）内每一点都有导数«SkipRecordIf...»，称«SkipRecordIf...»为函数«SkipRecordIf...»的导函数；求一个函数的导数，就是求＿＿＿＿＿；求一个函数在给定点的导数，就是求＿＿＿＿＿.函数«SkipRecordIf...»在点«SkipRecordIf...»处的导数就是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
3.常数函数和幂函数的求导公式：
«SkipRecordIf...»
4.导数运算法则：
若＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，则：
«SkipRecordIf...»
二、举例
例1.设函数«SkipRecordIf...»，求：
（1）当自变量x由1变到1.1时，自变量的增量«SkipRecordIf...»；
（2）当自变量x由1变到1.1时，函数的增量«SkipRecordIf...»；
（3）当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率；
（4）函数在x＝1处的变化率.
例2.生产某种产品q个单位时成本函数为«SkipRecordIf...»，求
（1）生产90个单位该产品时的平均成本；
（2）生产90个到100个单位该产品时，成本的平均变化率；
（3）生产90个与100个单位该产品时的边际成本各是多少.
例3.已知函数«SkipRecordIf...»，由定义求«SkipRecordIf...»，并求«SkipRecordIf...».
例4.已知函数«SkipRecordIf...»（a,b为常数），求«SkipRecordIf...».
例5.曲线«SkipRecordIf...»上哪一点的切线与直线«SkipRecordIf...»平行？
三、巩固练习
1.若函数«SkipRecordIf...»，则«SkipRecordIf...»＝＿＿＿＿＿＿
2.如果函数«SkipRecordIf...»在点«SkipRecordIf...»处的导数分别为：
（1）«SkipRecordIf...»
（2）«SkipRecordIf...»
（3）«SkipRecordIf...» （4）«SkipRecordIf...»，
试求函数的图象在对应点处的切线的倾斜角.
3.已知函数«SkipRecordIf...»，求«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，.
4.求下列函数的导数
（1）«SkipRecordIf...»
（2）«SkipRecordIf...»
（3）«SkipRecordIf...» （4）«SkipRecordIf...»
四、作业
1.若«SkipRecordIf...»存在，则«SkipRecordIf...»＝＿＿＿＿＿
2.若«SkipRecordIf...»，则«SkipRecordIf...»＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
3.求下列函数的导数：
（1）«SkipRecordIf...»
（2）«SkipRecordIf...»
（3）«SkipRecordIf...» （4）«SkipRecordIf...»
4.某工厂每日产品的总成本C是日产量x的函数，即«SkipRecordIf...»，试求：
（1）当日产量为100时的平均成本；
（2）当日产量由100增加到125时，增加部分的平均成本；
（3）当日产量为100时的边际成本.
5.设电量与时间的函数关系为«SkipRecordIf...»，求t＝3s时的电流强度.
6.设质点的运动方程是«SkipRecordIf...»，计算从t＝2到t＝2＋«SkipRecordIf...»之间的平均速度，并计算当«SkipRecordIf...»＝0.1时的平均速度，再计算t＝2时的瞬时速度.
7.若曲线«SkipRecordIf...»的切线垂直于直线«SkipRecordIf...»，试求这条切线的方程.
8.在抛物线«SkipRecordIf...»上，哪一点的切线处于下述位置？
（1）与x轴平行
（2）平行于第一象限角的平分线.
（3）与x轴相交成45°角
9.已知曲线«SkipRecordIf...»上有两点A（2,0），B（1,1），求：
（1）割线AB的斜率«SkipRecordIf...»；
（2）过点A的切线的斜率«SkipRecordIf...»；
（3）点A处的切线的方程.
10.在抛物线«SkipRecordIf...»上依次取M（1,1），N（3,9）两点，作过这两点的割线，问：
抛物线上哪一点处的切线平行于这条割线？
并求这条切线的方程.
11.已知一气球的半径以10cm/s的速度增长，求半径为10cm时，该气球的体积与表面积的增长速度.
12.一长方形两边长分别用x与y表示，如果x以0.01m/s的速度减小，y边以0.02m/s的速度增加，求在x＝20m，y＝15m时，长方形面积的变化率.
13.（选做）证明：
过曲线«SkipRecordIf...»上的任何一点（«SkipRecordIf...»）（«SkipRecordIf...»）的切线与两坐标轴围成的三角形面积是一个常数.（提示：
«SkipRecordIf...»）
导数的应用习题课（5月8日）
教学目标 掌握导数的几何意义，会求多项式函数的单调区间、极值、最值
教学重点 多项式函数的单调区间、极值、最值的求法
教学难点 多项式函数极值点的求法、多项式函数最值的应用
一、课前预习
1.设函数«SkipRecordIf...»在某个区间内有导数，如果在这个区间内＿＿＿＿，则«SkipRecordIf...»是这个区间内的＿＿＿＿＿；如果在这个区间内＿＿＿，则«SkipRecordIf...»是这个区间内的＿＿＿＿＿.
2.设函数«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»及其附近有定义，如果«SkipRecordIf...»的值比«SkipRecordIf...»附近所有各点的值都大（小），则称«SkipRecordIf...»是函数«SkipRecordIf...»的一个＿＿＿＿＿＿.
3.如果«SkipRecordIf...»在某个区间内有导数，则可以这样求它的极值：
（1）求导数＿＿＿＿＿；
（2）求方程＿＿＿＿＿＿＿＿的根（可能极值点）；
（3）如果在根的左侧附近为＿，右侧附近为＿，则函数«SkipRecordIf...»在这个根处取得极＿值；如果在根的左侧附近为＿，右侧附近为＿，则函数«SkipRecordIf...»在这个根处取得极＿值.
4.设«SkipRecordIf...»是定义在[a，b]上的函数，«SkipRecordIf...»在（a，b）内有导数，可以这样求最值：
（1）求出函数在（a，b）内的可能极值点（即方程«SkipRecordIf...»在（a，b）内的根«SkipRecordIf...»）；
（2）比较函数值«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»与«SkipRecordIf...»，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
二、举例
例1.确定函数«SkipRecordI
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