完整版同济大学高数第10章重积分.docx
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完整版同济大学高数第10章重积分
第10章重积分
J
多元函数积分学是定积分概念的推广，包括二重积分、三重积分、曲线积分和曲面
积分•它们所解决的问题的类型不同，但解决问题的思想和方法是一致的，都是以“分割、
近似、求和、取极限”为其基本思想，它们的计算最终都归结为定积分•本章主要介绍二
重积分与三重积分的概念、性质、计算方法及其应用
多元函数积分学的起源
虽然微积分的创立者已经接触到了重积分的概念，但将微积分算法推广到多元函
数而建立多重积分理论的主要是18世纪的数学家.
18世纪，微积分进一步深入发展•牛顿在关于万有引力的计算中用到了多重积分
的思想，但牛顿使用的是几何论述•后来，牛顿的工作被人们以分析的形式作了推广.
1748年，欧拉（Euler）用累次积分算出了表示一厚度为c的椭圆薄片对其中心
正上方一质点引力的重积分.1770年，欧拉又给出了二重积分的概念和二重积分的记
号，并给出了用累次积分计算二重积分的方法，同时还讨论了二重积分的变量代换问
题.
拉格朗日（Lagrange）也讨论了多个变量的重积分情况，并于1772年引入了三
重积分的概念和三重积分的记号，在他的一篇关于旋转椭球体的引力的著作中，就
用三重积分表示引力，并开始了多重积分变换的研究.
奥斯特罗格拉茨基（Octporpajickhh）对重积分的研究也作了许多工作，他在研究
热传导理论的过程中，证明了关于三重积分和曲面积分之间关系的公式.
1828年，格林（Green）在其私人印刷出版的小册子《关于数学分析应用于电磁
学理论的一篇论文》中，为了推动位势论的进一步发展，建立了著名的格林公式.
10.1二重积分的概念及性质
10.1.1二重积分的概念
实例1设函数zf（x,y）在有界闭区域D上连续，且f（x,y）0.以函数zf（x,y）所表示的曲面为顶，以区域D为底，且以区域D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面为侧面的立体叫做曲顶柱体，如图10.1.1所示.求该曲顶柱体的体积V.
图10.1.1
图10.1.2
对于平顶柱体，它的体积就等于底面积乘高.现在曲顶柱体的顶是曲面，当点（x,y）在
D上变动时，其高度zf（x,y）是一个变量，因此不能直接用上述方法求其体积，但是可以沿用求曲边梯形面积的方法和思路求其体积.具体步骤如下
第一步（分割）.用一组曲线网将区域D任意分成n个小区域1,2,…i,…
n，其中记号i（i=1,2,…，n）也用来表示第i个小区域的面积•分别以每个小区域的边界曲线为准线作母线平行于z轴的柱面，这些柱面把原来的曲顶柱体分割成
小曲顶柱体V,V…，V…，V，其中记号Vi（i=1,2,…，n）也用来表示第i个小曲顶柱体的体积.
第二步（近似）•因为f（x,y）在区域D上连续，在每个小区域上其函数值变化很小，这
个小曲顶柱体可以近似地看作平顶柱体（如图10.1.2）•分别在每个小区域i上任取一点
（i,i），以f（i,i）为高，i为底的小平顶柱体的体积f（i,i）i作为第i个小曲顶
柱体体积Vi的近似值，即
Vf（i,i）i（i1,2,,n）.
第三步（求和）.这n个小平顶柱体体积之和可作为原曲顶柱体体积V的近似值，即
nn
VVif（i,i）i.
i1i1
第四步（取极限）•对区域D分割越细，近似程度越高，当各小区域直径的最大值0
（有界闭区域的直径是指区域上任意两点间距离的最大值）时，若上述和式的极限存在，贝U
该极限值就是曲顶柱体的体积V，即有
n
Vli叫f（i,i）i.
i1
实例2设有一个质量非均匀分布的平面薄片，它在xOy平面上占有有界闭区域D,
此薄片在点（x,y）D处的面密度为（x,y），且（x,y）在D上连续•求该薄片的质量M.
上任取一点（i,」，用点
如果平面薄片是均匀的，即面密度是常数，则薄片的质量
就等于面密度与面积的乘积.现在薄片的面密度随着点（x,y）的
位置而变化，我们仍然可以采用上述方法求薄片的质量•用一
组曲线网将区域D任意分成n个小块1,2…，n;由
于（x,y）在D上连续，只要每个小块i（i=1,2,…，n）
的直径很小，这个小块就可以近似地看作均匀小薄片•在
（i，i）
图10.1.3
处的面密度（i,i）近似代替区域
i上各点处的面密度（如图10.1.3），从而求得小薄片
i的质量的近似值
（i，i）
（i1,2,,n）；
整个薄片质量的近似值为
n
（i,i）
i1
将薄片无限细分，当所有小区域
i的最大直径
0时，若上述和式的极限存在，这个
极限值就是所求平面薄片的质量,
n
lim0i1（i，i）
尽管上面两个问题的实际意义不同，但解决问题的方法是一样的，而且最终都归结
定义10.1.1设f（x,y）是定义在有界闭区域D上的有界函数，将D任意分割为n小区域1,2…，i…，n，其中记号i（i1,2,,n）表示第i个小闭区
域，也表示其面积；在每个小区域匚上任取一点（i,J,作乘积f（i,i）i（i1,2,,n），并作和式
n
f（i,i）i-
i1
如果将区域D无限细分，当各小区域直径的最大值0时，该和式的极限存在，
且极限值与区域D的分法及点（i,J的取法无关，则称此极限值为函数f（x,y）在区
域D上的二重积分，记为f（x,y）d，即
D
n
f（x,y）dli叫f（i,Ji-
Di1
其中f（x,y）称为被积函数，f（x,y）称为被积表达式，du称为面积元素，x与y称为
n
积分变量，区域D称为积分区域，f（i,i）i称为积分和.
i1
为求二元函数的某种特定和式的极限•在数学上加以抽象，便得到二重积分的概念.
根据二重积分的定义可知，例10.1.1中曲顶柱体的体积V是其曲顶函数f（x,y）在底面
区域D上的二重积分，即
Vf（x,y）d；
D
例10.1.2中平面薄片的质量M是其面密度函数（x,y）在其所占闭区域D上的二重积分，
即
M（x,y）d•
D
关于二重积分的几点说明.
（1）如果函数f（x,y）在区域D上的二重积分存在，则称函数f（x,y）在D上可积.如
果函数f（x,y）在有界闭区域D上连续，则f（x,y）在D上可积.
（2）当f（x,y）在有界闭区域D上可积时，积分值与区域D的分法及点（i,i）的取法
无关.
（3）二重积分只与被积函数f（x,y）和积分区域D有关.
二重积分f（x,y）d的几何意义.
D
（1）若在闭区域D上f（x,y）0,二重积分表示曲顶柱体的体积；
（2）若在闭区域D上f（x,y）0,二重积分表示曲顶柱体体积的负值；
（3）若在闭区域D上f（x,y）有正有负，二重积分表示各个部分区域上曲顶柱体体积的代数和.
10.1.2二重积分的性质
二重积分有与定积分完全类似的性质，这里我们只列举这些性质，而将证明略去.
性质1被积函数中的常数因子可以提到积分符号的外面，即
kf（x,y）dkf（x,y）d，其中k为常数.
DD
性质2有限个函数代数和的二重积分等于各函数二重积分的代数和，即
[f（x,y）g（x,y）]df（x,y）dg（x,y）d.
DDD
性质3若用连续曲线将区域D分成两个子区域Di与D2，即DDiD2，则
f（x,y）df（x,y）d
DDi
f（x,y）d.
D2
即二重积分对积分区域具有可加性.
性质4设在区域D上f（x,y）三1,b为D的面积，则有
f（x,y）d
D
idd
DD
因为从几何上看，高为1的平顶柱体的体积在数值上等于其底的面积.
性质5如果在区域D上f（x,y）g（x,y），则有
f（x,y）dg（x,y）d.
DD
由于-1f（x,y）|Wf（x,y）W|f（x,y）|，由性质5可得|f（x,y）d|f（x,y）d.
性质6设M与m分别是函数
DD
f（x,y）在有界闭区域D上的最大值与最小值，则有
f（x,y）dM,
D
其中，b为积分区域D的面积.
性质7（二重积分的中值定理）如果函数f（x,y）在有界闭区域D上连续，b为积
分区域D的面积，则在D上至少存在一点（，），使得
f（x,y）df（,）.
D
0,y0及
例10.1.1比较（xy）d与（xy）3d的大小，其中D是由直线x
DD
xy1所围成的闭区域.
解由于对任意的（x,y）D，有xy1，故有（xy）xy，因此
（xy）d（xy）3d
DD
例10.1.2估计（xy1）d的值，其中D为矩形区域，0x1,0y2.
D
解被积函数在区域D上的最大值与最小值分别为4和1,D的面积为2，于是
2
（xy
D
1）d
8.
习题
10.1
1.使用二重积分的几何意义说明
I1（x2
D1
2\3」
y）d
与I2（x2y2）3d的之间关系，其中
D2
D1是矩形域-1D2是矩形域02•比较下列积分的大小.
（1）1（xy）2d与2（xy）3d，其中D由x轴、y轴及直线xy1所围
DD
成；
2
（2）1In（xy）d与2Inxyd，其中D（x,y）3x5,0y1.
DD
3.估计下列积分值的大小.
（1）txy（xy）d，其中D:
0Wx<2,0wy<2;
D
2222
（2）（x4y9）d，其中D:
xy4.
D
4.一薄片（不考虑其厚度）位于xOy平面上，占有区域D，薄片上分布有面密度为u=u（x,
Q.
y）的电荷，且u（x,y）在D上连续，使用二重积分表示薄片的全部电荷
10.2二重积分的计算
OXJE十“
图10.2.1
10.2.1直角坐标系下二重积分的计算
我们知道，如果函数f（x,y）在有界闭区域D上连续，则在区域D上的二重积分存在，且它的值与区域D的分法和各
小区域i（i1,2,,n）上点（i,」的选取无关，故可采用
一种便于计算的划分方式，即在直角坐标系下用两族平行于坐标轴的直线将区域D分割成若干个小区域•则除去靠区域D
边界的不规则的小区域外，其余的小区域全部是小矩形区域.
设小矩形区域的边长分别为x和y（如图10.2.1），则小矩形区域的面积为
xy.因此，在直角坐标系下，可以把面积元素记为ddxdy.则在直角坐标系下,
重积分可表示成
下面我们将利用平行截面法来求曲顶柱体的体积，以获得利用直角坐标系计算二重积
分的方法.
设曲顶柱体的顶是曲面zf（x,y）（f（x,y）0），底是xOy平面上的闭区域D（如图
10.2.2），即区域D可用不等式组表示为
D（x,y）axb,%（x）yy2（x）,
其中函数zf（x,y）在区域D上连续，函数ydx）与y2（x）在区间［a,b］上连续，该区域的特点是：
穿过区域D内部且垂直于x轴的直线与D的边界的交点不多于两点.
◎
图10.2.2
用过区间［a,b］上任意一点x且垂直于x轴的平面去截曲顶柱体，所得到的截面是
S
图10.2.3
个以［yi（x）,y2（x）］为底，以zf（x,y）为曲边的曲边梯形（如图
10.2.3），其面积为
y2（x）
A（x）Mx）f（x，y）dy-
再利用平行截面面积为已知的立体的体积公式，便得到曲
顶柱体的体积为
bby2（x）
VaA（X）dXa［yi（x）f（X，y）dy］dX•
根据二重积分的几何意义可知，这个体积也就是所求二重积分的值，从而有
by2（x）by2（x）
f（x,y）da［y（x）f（x,y）dy］dx或f（x,y）dadxy（x）f（x,y）dy.
D1D1
上式右端称为先对y后对x的二次积分•由此看到，二重积分的计算可化成计算两次
单积分来进行，这种方法称为累次积分法•对y积分时，把x看作常数，把f（x,y）只看作
y的函数，并对y从y1（x）到y2（x）进行定积分；然后把算得的结果（关于x的函数）再对x在区间［a,b］上进行定积分.
在上述过程中，我们假定f（x,y）0,但实际上公式并不受此条件的限制.
类似地，如果积分区域D如图10.2.4所示，则区域D可表示为
D（x,y）%（y）xX2（y）,cyd,
其中函数x,y）与X2（y）在区间［c,d］上连续，该区域的特点是：
穿过区域D内部且垂直于y
轴的直线与D的边界的交点不多于两点.
图10.2.4
这时则有以下公式:
dx2（y）dX2（y）
f（x,y）dxdy[f（x,y）dx]dy或f（x,y）dxdydyf（x,y）dx.
CXi（y）CXi（y）
DD
上式右端称为先对x后对y的二次积分•如果积分区域D不属于上述两种类型，如图
10.2.5所示•即平行于x轴或y轴的直线与D的边界的交点多于两点，这时可以用平行于x轴或平行于y轴的直线把D分成若干个小区域，使每个小区域都属于上述类型之一，则可
利用性质3,将D上的积分化成每个小区域上积分的和.
例10.2.1计算I
D
D:
/Ji
2
1
i
1
II>1
1
1
ii
0
i
图10.2.6
解作区域D的图形（如图
10.2.6），这是矩形区域•化成累次积分时，积分上下限均为
常数•如果先对y积分，则把x看作常数，得
Ixy2dxdy
D
0dx
:
xy2dy
1y3271
x[]1dxxdx0L330
如果先对x积分，则有
2
Ixydxdy
D
21222x11227
1dy0xydx1y[-^bdy刁1ydy石
例10.2.2计算2xy2dxdy，其中D由抛物线
D
x及直线yx
2所围成.
解画D的图形（如图10.2.7a）.解方程组
（1,-1）,（4,2）.
2
从而
科4J）
图10.2.7a
y=^vx
图10.2.7b
，得交点坐标为
若选择先对x积分，这时
D可表示为
（x,y）y
2,
2xy2dxdy
D
2
1dy
22xy2dx
22y2.
y[x咋dy
2
1（y44y34y2y6）dy
若先对y积分后对x积分,
43
3y
—]2115§.
735
由于下方边界曲线在区间
［0，1］与［1,4］上的表达式不一致,
这时就必须用直线
x1将区域D分成D1和D2两部分（如图10.2.7b）.则D1和D?
可分别表
示为
D1（x,y）vxyD2（x,y）x2yVx,1x4,
由此得
222
2xydxdy2xydxdy2xydxdy
DDiD2
1厂242
0dx_2xydy1dxx22xydy•
显然，计算起来要比先对x后对y积分麻烦，所以恰当地选择积分次序是化二重积分为二次积分的关键•选择积分次序与积分区域的形状及被积函数的特点有关.
例10.2.3求由两个圆柱面x2y2
R2和x2z2R2相交所形成的立体的体积.
解根据对称性，所求体积V是图10.2.8a所画出的第一卦限中体积的8倍•第一卦限
的立体为一曲顶柱体，它以圆柱面zR2x2为顶，底为xOy面上的四分之一圆（如图
10.2.8b）,用不等式组表示为
D（x,y）0yJr2x2,0xR,
所求体积为
.r/r2
V8VR2x2dxdy80dx0Jr2x2dy
D
x2[y]°R2"dx
I
I
I
图10.2.8a
以上我们采用的是先对
y后对x的积分次序，如果先对x后对y积分，则有
8:
R2x2dxdy
D
RR2x222
80dy0、Rxdx.
虽然也能得到相同的结果，但计算要复杂的多.
例10.2.4计算二重积分
i
°dy
丁sinx
dx•
解积分区域D如图10.2.9所示，直接计算显然不行，因为
sinxdx不能表示为初等
x
函数.但被积函数与y无关，因此我们考虑交换积分次序后再计
1
°dy
1dxX2s^dy
0x2xy
1sinxx,
0=[y]x2dX
1
0（sinx
xsinx）dx
sinxdx
0
xsinxdx
0
（1cos1）（cos1sin1）1sin1.
10.2.2极坐标系下二重积分的计算
前面讨论了在直角坐标系下计算二重积分的方法.但有些二重积分，其被积函数和积分区域（如圆形、扇形、环形域等）用极坐标系表示时比较简单，这时可考虑利用极坐标计
算二重积分.下面介绍在极坐标系下二重积分的计算方法.
因为二重积分与积分区域D的分法无关，所以可用极坐标系下以极点为中心的一族同
心圆r常数以及从极点发出的一族射线常数来分割区域D.不失一般性，我们考虑
极径由r变到rdr和极角由变到d所得到的区域（如图10.2.10）.该小区域可近似地
看作边长分别为dr和rd的小矩形，于是极坐标下的面积元素drdrd.再用坐标变
换xrcos,yrsin代替被积函数f（x,y）中的x和y，于是得到二重积分在极坐标系下的表达式
f（x,y）d
f（rcos,rsin）rdrd
D
D
图10.2.11
实际计算时，与直角坐标情况类似，还是化二重积分为累次积分来进行计算，这里仅
介绍先r后的积分次序，积分的上下限则要根据极点与区域D的位置而定•下面分三种
情况说明在极坐标系下，如何化二重积分为累次积分.
f（rcos,rsin）rdrd
D
「2（）
「1（）"「边，rS^
）rdr.
（1）极点O在积分区域
D之外（如图10.2.11）.
此时区域D界于射线
和之间（？
这两条射线与D的边界的交点把区
域边界曲线分为内边界曲线
r几（）和外边界曲线r“（）两个部分，则
D
（x,y）口（）r匕（），,
⑵极点0在积分区域D之内（如图10.2.12）.
此时极角从0变到2，如果D的边界曲线方程是rr（），则
D（x,y）0rr（）,02
2r（）
f（rcos,rsin）rdrddf（rcos,rsin）rdr.
D
⑶极点O在积分区域D的边界上（如图10.2.13）
此时极角从变到，设区域D的边界曲线方程是rr（），则
D（x,y）0rr（）,
f（rcos,rsin）rdrd288d
r（
f（rcos,rsin）rdr.
图10.2.12
图10.2.13
特别地，当f（rcos,rsin）1时，d
D
（为区域D的面积），即
当r1（）0,r2（）r（）,时,
即为在定积分应用中用极坐标计算曲边扇形面积的公式.
一般情况下，当二重积分的被积函数中自变量以x2y2，xy，yx，xy等形式出
现且积分区域由圆弧与射线组成（如以原点为中心的圆域、扇形域、圆环域，以及过原点而中心在坐标轴上的圆域等），利用极坐标计算往往更加简便.用极坐标计算二重积分时，需
画出积分区域D的图形，并根据极点与区域D的位置关系，选用上述公式.
例10.2.5将二重积分f（x,y）d化为极坐标系下的累次积分，其中D表示为
D
22
D（x,y）xy2Rx,y0,
解画出D的图形（如图10.2.14），在极坐标系下，D可表示为
D（x,y）
0r2Rcos,0
于是可得
2Rcos
f（x,y）d
f（rcos,rsin）rdr.
0
图10.2.14
22
例10.2.6计算exydxdy，其中D是圆盘
D
解画出D的图形（如图10.2.15），在极坐标系下,
D可表示为
（r,）0
ra,0
于是可得
22
x2y2
edxdye
DD
r2
rdrd
a2
0errdr
02[
22
r]ad-（1ea）.
4
例10.2.7求由球面
z24a2与圆柱面
2ax所围且含于柱面内的立
体体积.
解如图10.2.16a所示，由于这个立体关于xOy面与xOz面对称，所以只要计算它在
第一卦限的部分.这是以球面z4a2x2y2为顶，以曲线y,2axx2与x轴所围
成的半圆D为底（如图10.2.16b）的曲顶柱体，其体积为
V4.4a2x2y2
D
在极坐标下，D（r,）0r2acos
0
，于是得到
2acos
r2dr
3
2）2
2acos
32a3
3
02（1
sin3）d
16
a
9
4）•
习题10.2
1.画出积分区域并计算下列二重积分.
（1）
（1xy）dxdy,D:
x0,y0,x
D
1,|y|1;;
（x2y2）d,其中D是矩形闭区域：
|x|
D
xcos（x
D
y）d,其中D是顶点分别为（0,0）,（,0）和（
）的三角形闭区域.;
yexydxdy,
2•将二重积分
f（x,y）dxdy化为二次积分，其中积分区域D
是:
（1）以（0,0）,
（1,0）,（1,1）为顶点的三角形区域;
⑵由直线yx,x2及双曲线
1
（xx
0）所围成的区域.
3•交换下列二次积分的积分次序.
11x
（1）0dxf（x,y）dy；
0x
a\ax
⑵dx0
a0
f（x,y）dy;
1e
⑶0dyeyf（x,y）dx；
1x2
（4）0dx0f（x,y）dy1dx
2x
0f（x,
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