立体几何习题含答案详解.docx

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立体几何习题含答案详解

（江苏最后1卷）给出下列四个命题：

（1）如果平而a和平而0相交，那么平面a内所有的直线都和平而a相交

（2）如果平而a丄平而“，那么平而&内所有直线都垂直于平而0

（3）如果平面a丄平而0,那么平而a内和它们的交线不垂直的直线和平面0也不垂直

（4）如果平面a不垂直于平而0,那么平而a内一上不存在直线垂直于平而0

真命题的序号是一▲.（写出所有真命题的序号）

•••

【答案】（3）（4）

（南师大信息卷）在棱长为1的正方体ABCD-A^CXDX中，若点p是棱上一点，则满足|PA|+『q=2的点p的个数为6・

提示：

点P在以AG为焦点的椭圆上，P分别在AB.AD.

AA｝、CQ、CQ、qC上.或者，若P在A3上，设AP=x,

有PA+PC.=x+yj（\-x）2+（^2）2=2,.\x=l.

故A3上有一点P（43的中点）满足条件.

同理在AD.AA^C百、CC上各有一点满足条件.

乂若点P在3$上上，贝ljPA+PC\=&+BP2+J+BF>2.

故上不存在满足条件的点P,同理D9上不存在满足条件的点P.

（南通三模）已知正方体G的棱长为18^2,以G各个而的中心为顶点的凸多而体为C?

以G各个而的中心为顶点的凸多而体为G，以C3齐个面的中心为顶点的凸多面体为C4,依此类推。

记凸多而体C〃的棱长为则心二—▲分析：

考査推理方法以及几何体中元素的关系理解使用。

正方体C］的棱长为

1=18、d,由C|各个而的中心为顶点的几何体为正八而体C?

，其棱长

^/2=A2B2=—AIB1=18,由C?

各个而的中心为顶点的几何体为正方体C3,其棱长2

（泰州期末）设a.卩、产表示是三个不同的平而，6b、c表示是三条不同的直线，给出下列

五个命题：

（1）若Q〃a,b〃0,a//b.则a〃0：

⑵若。

Ha、b//a,0ca=c«iu/3、bu0、贝'Ja//b:

（3）若a丄b.a丄c、bua.cua“丄a：

⑷若a丄0丄卩，则allp或a丄0:

答案：

⑵

（南京三模）7.已知a、0是两个不同的平而，下列四个条件：

1存在一条直线"，a丄a,"丄0：

2存在一个平而八/丄久厂丄0:

3存在两条平行直线"、b,aua、bu卩、“〃0,b//a:

4存在两条异而直线"、b,aua、bu0、"〃0,b//a<,

其中是平而a〃平而〃的充分条件的为=▲•（填上所有符合要求的序号）

答案:

①③

（苏锡常二模）设m,n是两条不同的直线，a、0是两个不同的平而，给岀下列命题：

（1）若allp,mu卩、“ua,则trilln；

（2）若allp,加丄0,nila,则加丄

（3）若a丄0,加丄a,nilp,则miln；

（4）若a丄0,加丄〃丄0,则加丄n.

上面命题中，所有真命题的序号为•一1^

答案：

（2）,（4）

（苏州期末）已知正三棱锥的底面边长为6,侧棱长为5,则此三棱锥的体积为.

答案：

3府

（南京二模）•一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面,以它们的公共顶点P为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥容器，当x=6cm时，该容器的容积为

cnr.

答案:

48

力B

（第11题图）

（南通一模）•在棱长为4的正方体ABCD—gCQ中，E、

F分别为棱側、"G上的动点，点G为正方形

B}BCC{的中心.则空间四边形AEFG在该正方体各个面上的正投影所构成的图形中,

而积的最

大值为▲

答案：

12

分析：

如图①，当E和£重合，F和$重合时，四边形A£FG

在前、后面的正投影的而积最大值为12；

如图②，当£和儿重合，四边形AEFG左、右而的正投

影的而积最大值为&

如图③，当F和D重合时,正投影的而积最大值为&综上得，而积最大值为12・

四边形在上、下面的

几何章节复习题，复习时应注重课本）

（盐城二模）在四棱锥P-ABCD中，PA丄底面ABCD,AB//CD,AB丄BC,AB=BC=\,DC=2理E在PB上.

（1）求证：

平面AEC丄平面PAD；

（2）当PD〃平面AEC时，求PE:

EB的值.

15•⑴证明:

过A作AF丄DC于F,则CF=DF=AF,

所以ZDAC=90°,即AC丄D42分

又PA丄底面ABCD,ACu面ABCD,所以AC丄必……4分因为PA.ADcz面PAD,且PAriA£>=A,

所以AC丄底面PAD6分

而ACu面ABCD,所以平面AEC丄平面

PAD8分

⑵连接BD交AC干点O,连接EO,因为PD〃平面AEC，加u面PBD,面PED。

面AEC=EO,所以

PD//EO11分

则PE:

EB=DO:

OB,而DO:

OB=DC:

AB=2,所以PE:

EB=214分

（南京二模）如图，四边形ABCD是矩形，平而ABCD丄平而BCE,BE丄EC.

（1）求证：

平而AEC丄平而ABE：

BF

（2）点F在BE上，若DE//平而ACF,求冷的值。

BE

所以CE丄平而ME.

（第16題图）

解：

（1）证明：

因为ABCD为矩形，所以M丄8C.

因为平而ABCD丄平而BCE,

平而ABCDQ平而BCE=BC,ABu平而ABCD,所以&3丄平而BCE.3分

因为CE丄BE,&3U平面ABE.BEu平而ABE.ABflBE=B,

因为CEU平而BCE,所以CF丄

因为CEU平而AEC,所以平而4EC丄平而ABE.

（2）连结3D交&C于点O,连结0F.

因为DE〃平面ACF,DFU平而BDE,平而&CFQ平而BDE=OF,

所以DE//OF.12分

又因为矩形ABCD中，O为BD中点,

所以F为BE中点，即罟諾.14分

（天一、淮阴、海门三校联考）在直三棱柱ABC-A^C,中.AC珂CB二2,AA讦2•ZACB=60°,E、F分别是A,CrBC

的中点.

（1）证明：

平而丄平而

（2）证明：

C]F〃平而ABE；

（3）设P是BE的中点，求三棱锥P_B©F的体积.

16.

（1）证明：

在V^C=2BC=4ZZACB=60°

:

.AB=2、/I,AB2+BC2=AC2,:

.AB丄B由已知AB丄BB{,:

.AB丄面BB©C

又•••ABu面ABE，故43E丄面BB©C

（2）证明：

取AC的中点M,连结GM,FM

在朋3舛，FMHAB.

而FM

在矩形ACClAl中，e、M都是中点，・•.C]M//AE而C,M

又•••C|McFM=M•••WiABE//WiFMC,

B

故GF//而AEB

（或解：

取AB的中点G,连结FG,EG,证明C///EG,从而得证）

（3）取BQ的中点H,连结EH,则EH//AB且EH==AB=羽,

2

由（i）A3丄面BB&'C,:

.EH丄而

TP是BE的中点，

•:

Vp*F|x扛fEHY

（泰州期末）如图，三棱锥A-BCD.BC=3,BD二4,CD=5,AD丄BC,E、F分别是棱43、CD

的中点，连结CE,G为CE上一点.⑴求证：

平而CBD丄平面ABD：

CG

（2）若GF〃平而&BD,求旋的值.

15.解：

⑴在ABCD中，BC二3,BD二4,CD二5,又TBC丄AD,BDClAD=D

•••BC丄平而ABD

又VBCc平而BCD

平而CBD丄平而ABD

（2）TGF〃平而ABD,FGu平而CED

平而CEDC平而ABD二DE

•••GF〃ED

•：

G为线段CE的中点

••GE“

16.

7'

10f

14’

（南京三模）

（本小题满分14分）

在AABC中，ABAC=90°9ZB=60f\AB=1,D为线段BC的中点，E、F为线段AC的三

等分点（如图1）.WAABD沿着AD折起到△AB'D的位置，连结FC（如图2）・

⑴若平而AFD丄平而ADC,求三棱锥B'・ADC的体积；

⑵记线段FC的中点为H,平面FED和平而HFD的交线为/，求证:

HF〃/;

⑶求证:

AD丄3’E・

（55（弟】6JS（田2）〉

M：

（l）在直角ZWIM中Q为BC的中点，所以AD=BD=CD.

又ZB=60%所以是等边三角形.

取4Q中点6连结F0,所以F0丄AT.

囚为平面A&D丄平直APC,平面平面月DC=ADBOU平面ABlD.

所以30丄平面ADC.3分

在厶ABC中，=为EC的中点，

〈第16题）

所以AC=\/~3,£*0=土菱，

所以5/^ur—yX-^-X1X^/1"=2iy!

-,

所以三棱锥&-ADC的体积为卩5分

（2）因为H为FC的中点屮为CE的中点，所以HF〃BE又HF电平面FEDEEU平®^£P,所以HF//平面&ED.7分

因为HFCZ平面HFD,平面B1EDH平面HFD=l,

所以HF//L9分

（3）由

（1）;知丄人D因为AE^1—MO=j30°,

所以EO=%<4£24-4O2^2/l£

所以AOi+EOt=AE2.所以AD丄EO・L2•分

又左OU平面HEO,EOU平面B'EO用Of!

EO=O.

所以AD丄平面B'EO.

又FEU平面副EO,所以AD±BfE.14分

（南通三模）如图，三棱柱ABC-州中，D、E分别是棱BC、AB的中点，点F在棱CC】

（第16题）

上，已知AB=AC.AA}=3.BC=CF=2.

⑴求证：

C]£:

〃平面ADF；

（2）若点M在棱BB］上,当BM为何值时，平面CAM丄平面ADF?

分析：

（1）要证明平面ADF,可通过线线平行和面面平行两条路来证明线而平行.

I.要在平而ADF中找到和C£平行的直线，可反用线而平行的性质，利用过€?

£的平面和co2

平而4DF的交线OF,这里注意0为A4BC的重心，（——=—），再利用比例关系证明OE1

C\EIIOF从而证明结论.

II•取3D中点M,可通过证明而C.ME〃平面AM,证明C巨〃平面AM

解：

（1）连接CE交Q于O,连接OF.

因为CE,/W为△4BC中线，

CGCE3

从而

OF/Z^E・3分

OFU而ADF,C\Eu平面ADF,

所以C,E//平而

ADF・6分

所以O为△ABC的重心.—=™=-・

（2）当BM=1时，平面CAM丄平面ADP.

在直三棱柱ABC-A/C中，

由于8/丄平面ABC,BBC平而B.BCG,所以平而&BCG丄平帀fABC.

由于AB=AC,D是BC中点，所以AD丄BC・又平而&BCC4平而ABC=BC,所以4D丄平而BECG・

而CMu平而BxBCG,于是4D丄CM.

9分

因为BM=CD=1,BC=CF=2,所以RtACBM9RtAFCD,所以CM丄DF.

11分

M和AD相交，所以CM丄平而ADF・

CMU平而CAM.所以平而CXM丄平而

ADF・13分

当BM=1时，平面C4M丄平面

ADF・14分

（苏锡常一模）如图1所示，在RlMBC中，AC=6,BC=3,ZABC=90°.CD为

Z4CB的平分线，点£■在线段AC上，CE=4.如图2所示，将MCD沿CD折起，使得平而BCD丄平面ACQ,连结AB,设点F是的中点.

（1）求证：

DE丄平而BCQ；

（2）若EF〃平而BDG，其中G为直线AC和平而BDG的交点，求三棱锥B-DEG的体积.

16.解：

（1）在图1中,

•.•/C=6,BC=3,Z4BC=90°,,・・Z/4C〃=60°,

•CD为ZACB的平分线，・・・ZBCZ）=ZMD=30。

.・'・CD=2d.2分

VC£=4,ZQC£：

=30。

，:

.DE=2.

则CZ）2+亦=EC2・・•・ZCDE=90°.DE丄DC・4分

（阅卷说明：

以上无中间分）

在图2中，

又•.•平面BCD丄平面ACD,平面BCD"平面ACD=CD,DEu平面ACD,

：

.DE丄平面BCD.7分

（阅卷说明：

条件少1个扣1分）

⑵在图2中，

•・・EF〃平面BDG,EFu平面ABC,平面ABCQ平面BDG=BG,

:

.EF//BG.9分

（阅卷说明：

条件少1个扣1分）

•・•点E在线段/C上，CE=4,点F是肋的中点.

:

・AE=EG=CG二2・

11分

作阳丄CD交于H.•/平面月仞丄平面ACD.：

・BH丄平面ACD.

由条件得吨•

冷中C8Z。

"

三棱锥B-DEG的体积y=Ls曲乜.

12分

13分

14分

3322

（第16题）

（南通一模）如图，在六而体ABCD-gCQ中，AAJICC、、人3=人£）,AB=AD.

求证：

（1）側丄BD；

（2）BB』DD\.

证明：

（1）取线段3D的中点M，连结AM、AM,

因为£Q=4B,AD=AB,所以3D丄AM,3D丄人必

又AMflAM=M,AM.A{Mc平而A.AM,所以3D丄平jfifA.AM.

A4,（Z平而D、DCC\,CC、u平而D、DCC「

所以A4〃平而D\DCC\・

又側u平面A.ADD,,平而A,ADD{Q平面DXDCC{=DD「

所以儿\〃£）9・同理得儿\〃83「