立体几何习题含答案详解.docx

1、立体几何习题含答案详解（江苏最后1卷）给出下列四个命题：（1） 如果平而a和平而0相交，那么平面a内所有的直线都和平而a相交（2） 如果平而a丄平而“，那么平而&内所有直线都垂直于平而0（3） 如果平面a丄平而0 ,那么平而a内和它们的交线不垂直的直线和平面0也不垂 直（4） 如果平面a不垂直于平而0,那么平而a内一上不存在直线垂直于平而0真命题的序号是一 .（写出所有真命题的序号） 【答案】（3）（4）（南师大信息卷）在棱长为1的正方体ABCD-ACXDX中，若 点p是棱上一点，则满足|PA|+q=2的点p的个数为 6提示：点P在以AG为焦点的椭圆上，P分别在AB. AD.AA、CQ、CQ、

2、qC 上.或者，若 P在 A3上，设 AP = x,有 PA + PC. =x + yj（-x）2+（2）2 =2,.x = l.故A3上有一点P （ 43的中点）满足条件.同理在AD. AA C百、CC上各有一点满足条件.乂若点 P在 3$上上，贝lj PA + PC=& + BP2 +J + BF 2.故上不存在满足条件的点P,同理D9上不存在满足条件的点P.（南通三模）已知正方体G的棱长为182,以G各个而的中心为顶点的凸多而体为C?, 以G各个而的中心为顶点的凸多而体为G，以C3齐个面的中心为顶点的凸多面体为C4, 依此类推。记凸多而体C的棱长为则心二 分析：考査推理方法以及几何体中元

3、素的关系理解使用。正方体C的棱长为1=18、d,由C|各个而的中心为顶点的几何体为正八而体C?，其棱长/2 = A2B2 = AIB1 =18 ,由C?各个而的中心为顶点的几何体为正方体C3,其棱长 2(泰州期末)设a.卩、产表示是三个不同的平而，6 b、c表示是三条不同的直线，给 出下列五个命题：(1)若 Q a , b 0, a/b.则 a 0：若。Ha、b/ a , 0ca = ciu /3、bu 0、贝J a/b:(3)若 a 丄 b.a 丄 c、b u a.c u a “ 丄 a ：若a丄0丄卩，则allp或a丄0 :答案：(南京三模)7.已知a、0是两个不同的平而，下列四个条件：1

4、存在一条直线，a丄a,丄0：2存在一个平而八/丄久厂丄0:3存在两条平行直线、b, aua、bu卩、“0, b/a :4存在两条异而直线、b , aua、bu 0、0, b / a = A,所以AC丄底面PAD 6分而ACu面ABCD,所以平面AEC丄平面PAD 8 分连接BD交AC干点O,连接EO,因为PD 平面AEC，加u面PBD, 面PED。面AEC=EO,所以PD/EO 11 分则 PE: EB = DO: OB,而DO: OB = DC: AB = 2,所以 PE :EB = 2 14 分（南京二模） 如图，四边形ABCD是矩形，平而ABCD丄平而BCE, BE丄EC.（1） 求证：

5、平而AEC丄平而ABE：BF（2） 点F在BE上，若DE/平而ACF,求冷的值。BE所以CE丄平而ME.（第16題图）解：（1）证明：因为ABCD为矩形，所以M丄8C.因为平而ABCD丄平而BCE,平而 ABCDQ 平而 BCE=BC, ABu平而 ABCD, 所以&3丄平而BCE. 3分因为 CE丄BE, &3U平面 ABE. BEu平而 ABE. AB fl BE=B,因为CEU平而BCE,所以CF丄因为CEU平而AEC,所以平而4EC丄平而ABE.（2）连结3D交&C于点O,连结0F.因为DE平面ACF, DFU平而BDE,平而&CFQ平而BDE=OF,所以 DE/OF. 12 分又因为

6、矩形ABCD中，O为BD中点,所以F为BE中点，即罟諾. 14分（天一、淮阴、海门三校联考）在直三棱柱ABC-AC,中.AC珂CB二2,AA讦2 ZACB = 60, E、F 分别是 A,CrBC的中点.（1）证明：平而丄平而（2） 证明：CF平而ABE；（3） 设P是BE的中点，求三棱锥P_BF的体积.16. (1)证明：在 VC=2BC=4Z ZACB = 60:.AB = 2、/I,AB2 +BC2=AC2, :. AB丄 B 由已知AB丄BB, :. AB丄面BBC又 AB u 面ABE，故43E 丄面BBC(2)证明：取AC的中点M,连结GM,FM在朋3舛，FMHAB.而 FM Z

7、平ihlABE , 直线 FM平而 ABE A在矩形ACClAl中，e、M都是中点，. CM/AE 而 C,M z 平而ABE ,直线 GM / WiABE又 C| M c FM = M WiABE / WiFMC,B故 G F/而 AEB（或解：取AB的中点G,连结FG, EG,证明C/ EG,从而得证）（3）取BQ的中点H,连结EH,则EH/AB且EH= = AB =羽,2由（i） A3 丄面BB&C , :. EH 丄而TP是BE的中点，: Vp*F | x 扛f EHY（泰州期末）如图，三棱锥A-BCD. BC=3, BD二4, CD=5, AD丄BC, E、F分别是棱43、CD的中点

8、，连结CE, G为CE上一点. 求证：平而CBD丄平面ABD：CG（2）若GF平而&BD,求旋 的值.15.解：在ABCD 中，BC二3, BD二4, CD二5, 又TBC丄AD, BDClAD=DBC丄平而ABD又VBCc平而BCD平而CBD丄平而ABD（2） TGF平而 ABD, FGu 平而 CED平而CEDC平而ABD二DEGFED ：G为线段CE的中点GE“ 16.710f14（南京三模）（本小题满分14分）在AABC中，ABAC = 909ZB = 60f AB = 1 ,D为线段BC的中点，E、F为线段AC的三等分点（如图1）.WAABD沿着AD折起到 ABD的位置，连结FC （

9、如图2）若平而A F D丄平而AD C,求三棱锥BAD C的体积；记线段FC的中点为H,平面FED和平而HFD的交线为/，求证:HF /;求证:AD丄3E（55 （弟】6JS（田2）M：（l）在直角ZWIM 中Q为BC的中点，所以AD=BD=CD.又ZB=60%所以是等边三角形.取4Q中点6连结F0,所以F0丄AT.囚为平面A&D丄平直APC,平面平面月DC=AD BOU 平面 ABlD.所以30丄平面ADC. 3分在厶ABC 中，= 为EC 的中点，第16题）所以 AC=/3 ,*0=土菱，所以 5/uryX-X 1X/1= 2iy!-,所以三棱锥&-ADC的体积为卩 5分（2）因为H为FC

10、的中点屮为CE的中点，所以HFBE 又HF电平面FEDEEU平P, 所以HF/平面&ED. 7分因为HFCZ平面HFD,平面B1ED H平面HFD=l,所以HF/L 9分（3）由（1）;知丄人D 因为 AE1 MO= j30,所以EO=%424-4O22/l AOcos30 =所以AOi+EOt=AE2.所以AD丄EO L2分又左OU平面HEO,EOU平面BEO用Of!EO=O.所以AD丄平面BEO.又FEU平面副EO,所以ADBfE. 14分（南通三模）如图，三棱柱ABC-州中，D、E分别是棱BC、AB的中点，点F在棱CC】（第16题）上，已知AB = AC.AA =3.BC = CF =

11、2.求证：C:平面ADF；(2)若点M在棱BB上,当BM为何值时，平面CAM丄平面ADF?分析：(1)要证明平面ADF,可通过线线平行和面面平行两条路来证明线而平行.I.要在平而ADF中找到和C平行的直线，可反用线而平行的性质，利用过?的平面和 co 2平而4DF的交线OF,这里注意0为A4BC的重心，( = )，再利用比例关系证明 OE 1CEIIOF从而证明结论.II取3D中点M,可通过证明而C.ME平面AM ,证明C巨平面AM解：(1)连接CE交Q于O,连接OF.因为CE, /W为4BC中线，CG CE 3从 而OF/ZE 3 分OFU 而 ADF, CEu 平面 ADF,所 以 C,E

12、/ 平 而ADF 6分所以O为ABC的重心.= =-(2)当BM=1时，平面CAM丄平面ADP.在直三棱柱ABC-A/C中，由于8/丄平面ABC, BBC 平而B.BCG,所以平而&BCG丄平帀f ABC.由于AB=AC, D是BC中点，所以AD丄BC又平而&BCC4平而ABC=BC, 所以4D丄平而BECG而CM u平而BxBCG,于是4D丄CM. 9分因为 BM =CD=1, BC= CF=2,所以 RtACBM 9 RtAFCD ,所以 CM 丄 DF. 11分M和AD相交，所以CM丄平而ADFCMU平而CAM.所以平而CXM丄平而ADF 13分当BM=1时，平面C4M丄平面ADF 14

13、分(苏锡常一模)如图1所示，在RlMBC中，AC = 6, BC = 3, ZABC= 90 . CD为Z4CB的平分线，点在线段AC上，CE = 4.如图2所示，将MCD沿CD折起，使 得平而BCD丄平面ACQ,连结AB,设点F是的中点.（1） 求证：DE丄平而BCQ；（2） 若EF平而BDG，其中G为直线AC和平而BDG的交点，求三棱锥B-DEG 的体积.16.解：（1）在图1中,./C = 6, BC=3, Z4BC=90, ,Z/4C = 60, CD为ZACB的平分线，ZBCZ)= ZMD = 30。. CD=2d. 2分VC = 4, ZQC： = 30。，:.DE = 2.则 C

14、Z）2 +亦=EC2 ZCDE = 90. DE丄DC 4 分（阅卷说明：以上无中间分）在图2中，又.平面BCD丄平面ACD,平面BCD平面ACD = CD, DEu平面ACD,：.DE丄平面BCD. 7分（阅卷说明：条件少1个扣1分）在图2中，EF平面BDG, EFu平面ABC,平面ABCQ平面BDG = BG,:.EF/BG. 9 分（阅卷说明：条件少1个扣1分）点E在线段/C上，CE = 4,点F是肋的中点.:AE = EG = CG 二211分作阳丄CD交于H. /平面月仞丄平面ACD. ：BH丄平面ACD.由条件得吨冷中C8Z。三棱锥B-DEG的体积y = Ls曲乜.12分13分14分3 3 2 2（第16题）（南通一模）如图，在六而体ABCD - gCQ中，AAJICC、人3 =人）, AB = AD.求证：（1） 側丄BD；（2） BBDD.证明：（1）取线段3D的中点M，连结AM、AM ,因为 Q = 4B, AD = AB, 所以3D丄AM , 3D丄人必又 AMflAM=M, AM. AM c 平而 A.AM ,所以 3D 丄平 jfif A.AM .A4,（Z 平而 D、DCC , CC、u 平而 D、DCC所以A4平而DDCC又 側 u 平面 A.ADD,平而 A,ADD Q 平面 DXDCC = DD所以儿）9同理得儿83