西城区高三二模数学理试题及答案.docx
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西城区高三二模数学理试题及答案
北京市西城区2015年高三二模试卷
数学（理科）2015.5
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第I卷（选择题共40分）
1．设集合
，集合
，则A
B＝（）
A．（－1‚3）B．（1‚3］ C．［1‚3）D．（－1‚3］
2．已知平面向量
，
，则实数k＝（）
A．4 B．－4 C．8 D．－8
3．设命题p：
函数
在R上为增函数；命题q：
函数
为奇函数．则下列命题中真命题是（）
4．执行如图所示的程序框图，若输入的
，则输出的s属于（）
A．{1‚2}
B．{1‚3}
C．{2‚3}
D．{1‚3‚9}
5．某生产厂商更新设备，已知在未来x年内，此设备所花费的各种费用总和y（万元）与x
满足函数关系
，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．数列
为等差数列，满足
，则数列
前21项的和等于（）
A．
B．21 C．42 D．84
7．若“x＞1”是“不等式2x>a-x成立”的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是（）
A．a＞3 B．a＜3 C．a＞4 D．a＜4
8．在长方体
，点M为AB1的中点，点P为对角线AC1上的动点，点Q为底面ABCD上的动点（点P，Q可以重合），则MP＋PQ的最
小值为（）
第Ⅱ卷（非选择题共110分）
二、填空题：
本小题共6小题，每小题5分，共30分．
9．复数
＝＿＿＿＿
10．双曲线C：
的离心率为 ；渐近线的方程为 ．
11．已知角
的终边经过点（－3，4），则cos
＝ ；cos2
＝ ．
12．如图，P为
O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与
O相交于点B、C，
且PC＝2PA，D为线段PC的中点，AD的延长线交
O于点E．
若PB＝
，则PA＝ ；AD·DE＝ ．
13．现有6人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有
种．（用数字作答）
14．如图，正方形ABCD的边长为2，O为AD的中点，射线OP从OA出发，绕着点O顺
时针方向旋转至OD，在旋转的过程中，记
，OP所经过的在正方
形ABCD内的区域（阴影部分）的面积S＝f（x），那么对于函数f（x）有以下三个结论：
①
；
②任意
，都有
③任意
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：
本大题共6小题，共80分．
解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝
，b＝3，
．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）求△ABC的面积．
16．（本小题满分13分）
某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：
台），并根据这
10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图．
为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名
为该型号电视机的“星级卖场”．
（Ⅰ）当a＝b＝3时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n，比较m，n的大小关系；
（Ⅱ）在这10个卖场中，随机选取2个卖场，记X为其中甲型号电视机的“星级卖场”
的个数，求X的分布列和数学期望．
（Ⅲ）若a＝1，记乙型号电视机销售量的方差为s2，根据茎叶图推断b为何值时，s2达
到最小值．（只需写出结论）
17．（本小题满分14分）
如图1，在边长为4的菱形ABCD中，
于点E，将△ADE沿DE
折起到
的位置，使
，如图2．
⑴求证：
平面BCDE；
⑵求二面角
的余弦值；
⑶判断在线段EB上是否存在一点P，使平面
？
若存在，求出
的
值；若不存在，说明理由．
图1图2
18．（本小题满分13分）
已知函数
，其中a
R．
⑴当
时，求f（x）的单调区间；
⑵当a＞0时，证明：
存在实数m＞0，使得对于任意的实数x，都有｜f（x）｜≤m成立．
19．（本小题满分14分）
设
分别为椭圆E：
的左、右焦点，点A为椭圆E的左顶点，
点B为椭圆E的上顶点，且｜AB｜＝2．
⑴若椭圆E的离心率为
，求椭圆E的方程；
⑵设P为椭圆E上一点，且在第一象限内，直线
与y轴相交于点Q，若以PQ为
直径的圆经过点F1，证明：
20．（本小题满分13分）
无穷数列P：
，满足
，对于数列P，记
，其中
表示集合
中最小的数．
（Ⅰ）若数列P:
1‚3‚4‚7‚…，写出
；
（Ⅱ）若
，求数列P前n项的和；
（Ⅲ）已知
＝46，求
的值．
北京市西城区2015年高三二模试卷参考答案及评分标准
高三数学（理科）2015.5
一、选择题：
本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1．B2．D3．D4．A
5．B6．B7．A8．C
二、填空题：
本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9．
10．
11．
12．
13．
14．
注：
第10，11，12题第一问2分，第二问3分；第14题多选、漏选或错选均不得分.
三、解答题：
本大题共6小题，共80分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分.
15．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：
在
中，由正弦定理
，………………2分
得
，即
，………………3分
又因为
，
解得
，………………5分
因为
为锐角三角形，
所以
.………………6分
（Ⅱ）解：
在
中，由余弦定理
，………………8分
得
，即
，
解得
或
.………………10分
当
时，因为
，
所以角
为钝角，不符合题意，舍去.………………11分
当
时，因为
，且
，
，
所以
为锐角三角形，符合题意.
所以
的面积
.………………13分
16．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：
根据茎叶图，
得甲组数据的平均数为
，………1分
乙组数据的平均数为
.…………2分
由茎叶图，知甲型号电视机的“星级卖场”的个数
，………………3分
乙型号电视机的“星级卖场”的个数
，
所以
.………………4分
（Ⅱ）解：
由题意，
的所有可能取值为0，1，2，………………5分
且
，
，
，…………8分
所以
的分布列为：
0
1
2
………………9分
所以
.………………10分
（Ⅲ）解：
当b=0时，
达到最小值．………………13分
17．（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：
因为
所以
………………1分
又因为
，
所以
平面
，………………2分
所以
.………………3分
又因为
所以
平面
.………………4分
（Ⅱ）解：
因为
平面
，
，所以
两两垂直，以
分别为
轴、
轴和
轴，如图建立空间直角坐标系，………………5分
易知
则
，
，
，
，
所以
.
平面
的一个法向量为
，………………6分
设平面
的法向量为
由
，
得
令
得
.………………8分
所以
.
由图，得二面角
的为钝二面角，
所以二面角
的余弦值为
.………………10分
（Ⅲ）结论：
在线段
上不存在一点
，使平面
平面
.………………11分
解：
假设在线段
上存在一点
，使平面
平面
.
设
（
），则
，……………12分
设平面
的法向量为
，
由
，
，得
令
，得所以
.………………13分
因为平面
平面
，
所以
，即
，
解得
.
因为
，
所以在线段
上不存在点
，使得平面
平面
.………………14分
18.（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：
当
时，函数
，
其定义域为
.………………1分
求导，得
，………………4分
所以函数
在区间
，
，
上单调递减.………………5分
（Ⅱ）证明：
当
时，
的定义域为
.
求导，得
，………………6分
令
，解得
，
，………………7分
当
变化时，
与
的变化情况如下表：
+
0
0
+
↗
↘
↗
………………10分
所以函数
在
，
上单调递增，在
上单调递减.
又因为
，当
时，
；当
时，
，
所以当
时，
；当
时，
.………………12分
记
，其中
为两数
，
中最大的数，
综上，当
时，存在实数
，使得对任意的实数
，不等式
恒
成立.………………13分
19．（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：
设
，
由题意，得
，且
，………………2分
解得
，
，
.………………4分
所以椭圆
的方程为
.………………5分
（Ⅱ）解：
由题意，得
，所以椭圆
的方程为
，
则
，
，
.设
，
由题意，知
，则直线
的斜率
，………………6分
直线
的斜率
，
所以直线
的方程为
，
当
时，
，即点
，
所以直线
的斜率为
，………………8分
因为以
为直径的圆经过点
，
所以
.
所以
，………………10分
化简，得
，
又因为
为椭
圆
上一点，且在第一象限内，
所以
，
，
，
由
，解得
，
，………………12分
所以
，………………13分
因为
，所以
，
所以
.………………14分
20．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：
，
，
，
，
.………………3分
（Ⅱ）解：
由题意，
，
，
，
，
因为
，且
，
所以
，且
.………………4分
同理，由
，且
，
得
，且
.
以此类推，得
，
；
；
，
；
因为
，
，
所以
，
，
，
，
………………6分
当
为奇数时，
.………………7分
当
为偶数时，
.
所以数列
前n项的和
………………8分
（Ⅲ）解法一：
考察符合
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