西城区高三二模数学理试题及答案.docx

1、西城区高三二模数学理试题及答案北京市西城区2015 年高三二模试卷 数 学（理科） 2015.5本试卷分第卷和第卷两部分，第卷 1 至2 页，第卷 3 至6 页，共150 分考试时长120 分钟考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。第I卷（选择题 共40 分）1设集合，集合 ，则 AB （ ）A（1 3） B（1 3 C1 3） D（1 32已知平面向量，则实数k （ ）A4 B4 C8 D83 设命题 p ：函数在R上为增函数；命题q：函数为奇函数则下列命题中真命题是（ ）4执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的s属于（ ）A 1 2 B1

2、3 C2 3 D1 3 95某生产厂商更新设备，已知在未来x 年内，此设备所花费的各种费用总和y（万元）与x满足函数关系，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x为（ ）A3 B4 C5 D66数列为等差数列，满足，则数列前21 项的和等于（ ）AB21 C42 D847若“ x 1 ”是“不等式2x a - x成立”的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是（ ）Aa 3 Ba 3 Ca 4 Da 48在长方体，点M 为AB1 的中点，点P 为对角线AC1上的动点，点Q为底面ABCD上的动点（点P ，Q可以重合），则MPPQ 的最小值为（ ）第卷（非选择题 共110 分）二、填空题：

3、本小题共6 小题，每小题5 分，共30 分9复数10双曲线C ：的离心率为；渐近线的方程为11已知角的终边经过点（3，4），则cos ；cos 2 12如图，P 为O 外一点，PA是切线， A为切点，割线PBC 与O 相交于点B 、C ，且 PC 2PA ， D 为线段 PC 的中点， AD 的延长线交O 于点 E 若PB ，则PA ；ADDE 13现有6 人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有种（用数字作答）14如图，正方形ABCD 的边长为2， O 为AD 的中点，射线OP 从OA 出发，绕着点O 顺时针方向旋转至OD，在旋转的过程中，记，OP 所经过的在正

4、方形 ABCD内的区域（阴影部分）的面积S f （x），那么对于函数f（x）有以下三个结论：；任意，都有任意其中所有正确结论的序号是三、解答题：本大题共6 小题，共80 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分13 分）在锐角ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为a，b ，c ，已知a ，b 3，（） 求角A 的大小；（） 求ABC 的面积16（本小题满分13 分）某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10 个卖场的销售量（单位：台），并根据这10 个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型

5、号电视机的“星级卖场”（）当a b 3时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m ，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n ，比较m，n 的大小关系；（）在这10 个卖场中，随机选取2 个卖场，记X 为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求X 的分布列和数学期望（）若a 1，记乙型号电视机销售量的方差为s2，根据茎叶图推断b为何值时，s2达到最小值（只需写出结论）17（本小题满分14 分）如图 1，在边长为4 的菱形ABCD中，于点E ，将ADE沿DE折起到的位置，使 ，如图 2 求证：平面BCDE ； 求二面角的余弦值； 判断在线段EB上是否存在一点P ，使平面 ？若存在，求出的值；若不存在，说

6、明理由图1 图218（本小题满分13 分）已知函数，其中a R 当 时，求 f (x)的单调区间； 当a 0时，证明：存在实数m 0，使得对于任意的实数x，都有 f (x)m成立19（本小题满分14 分）设分别为椭圆E：的左、右焦点，点A 为椭圆E 的左顶点，点B 为椭圆E 的上顶点，且AB2 若椭圆E 的离心率为，求椭圆E 的方程； 设P 为椭圆E 上一点，且在第一象限内，直线与y 轴相交于点Q ，若以PQ 为直径的圆经过点F1，证明：20（本小题满分13 分）无穷数列 P ：，满足，对于数列P ，记，其中表示集合中最小的数（） 若数列P :1 3 4 7 ，写出；（）若，求数列P 前n项的

7、和；（）已知46，求的值北京市西城区2015年高三二模试卷参考答案及评分标准 高三数学（理科） 2015.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1B 2D 3D 4A 5B 6B 7A 8C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9 10 11 12 13 14注：第10，11，12题第一问2分，第二问3分；第14题多选、漏选或错选均不得分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15（本小题满分13分） （）解：在中，由正弦定理， 2分得 ，即， 3分 又因为， 解得 ， 5分 因为为锐角三角形， 所以. 6分（）解：在中，由

8、余弦定理， 8分 得 ，即， 解得 或 . 10分 当时，因为， 所以角为钝角，不符合题意，舍去. 11分 当时，因为，且， 所以为锐角三角形，符合题意. 所以的面积. 13分16（本小题满分13分）（）解：根据茎叶图， 得甲组数据的平均数为， 1分 乙组数据的平均数为. 2分 由茎叶图，知甲型号电视机的“星级卖场”的个数， 3分 乙型号电视机的“星级卖场”的个数， 所以 . 4分（）解：由题意，的所有可能取值为0，1，2， 5分 且， 8分 所以的分布列为：012 9分所以. 10分（）解：当b=0时，达到最小值 13分17（本小题满分14分）（）证明：因为,所以, 1分又因为，,所以平面，

9、 2分所以. 3分 又因为,所以平面. 4分（）解：因为平面，所以两两垂直，以分别为轴、轴和轴，如图建立空间直角坐标系， 5分 易知, 则，所以,. 平面的一个法向量为， 6分设平面的法向量为,由，,得令 , 得. 8分所以. 由图，得二面角的为钝二面角， 所以二面角的余弦值为. 10分（）结论：在线段上不存在一点，使平面平面. 11分 解：假设在线段上存在一点，使平面平面. 设（），则,， 12分 设平面的法向量为， 由，得 令 ，得所以. 13分 因为平面平面，所以，即，解得.因为， 所以在线段上不存在点，使得平面平面. 14分18.（本小题满分13分）（）解：当时，函数， 其定义域为.

10、1分 求导，得， 4分 所以函数在区间，上单调递减. 5分（）证明：当时，的定义域为. 求导，得， 6分 令，解得， 7分 当变化时，与的变化情况如下表：+00+ 10分 所以函数在，上单调递增，在上单调递减. 又因为，当时，；当时， 所以当时，；当时，. 12分 记，其中为两数， 中最大的数， 综上，当时，存在实数，使得对任意的实数，不等式恒 成立. 13分19（本小题满分14分）（）解：设，由题意，得，且， 2分解得，. 4分所以椭圆的方程为. 5分（）解：由题意，得，所以椭圆的方程为， 则，. 设， 由题意，知，则直线的斜率， 6分 直线的斜率， 所以直线的方程为， 当时，即点， 所以直线的斜率为， 8分 因为以为直径的圆经过点， 所以. 所以， 10分 化简，得， 又因为为椭圆上一点，且在第一象限内， 所以， 由，解得， 12分 所以， 13分因为，所以， 所以. 14分20（本小题满分13分）（）解：，. 3分（）解：由题意，因为，且， 所以，且. 4分 同理，由，且，得，且.以此类推，得，；，；因为， 所以， 6分当为奇数时， . 7分当为偶数时， . 所以数列前n项的和 8分（）解法一：考察符合