关系和有向图RelationsandDigraphs.docx
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关系和有向图RelationsandDigraphs
4.关系和有向图RelationsandDigraphs
4.1乘积集合和划分ProductsetsandPartions
乘积集合Productsets
AB={（a,b）|aA,bB}
|AB|=|A||B|
A1A2……An={（a1,a2,……an）|aiAi,i=1,2,……,n}
定理1.乘积集合对∪，∩满足分配律
A×（B∪C）=A×B∪A×C
A×（B∩C）=A×B∩A×C
（B∪C）×A=B×A∪C×A
（B∩C）×A=B×A∩C×A
（A∪B）×（C∪D）≠A×C∪B×D
划分PartionorQuotientsetofA
A=A1∩A2∩……∩An,Ai,Ai∩Aj=,i=1,2,……,n.
4.2关系和有向图RelationsandDigraphs
关系RABR称为A到B上的关系,aRelationfromAtoB.
RAAR称为A上的关系,arelationonA.
（a,b）R,也记作aRb.
例1．IA={（a,a）|aA}等于关系。
例2．A={1,2,3,4},Q={（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,3）,（2,4）,（3,4）}Q是A上小于关系。
例3．P=IA∪{（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,4）},P是A上整除关系。
由关系派生的集合SetsArisingfromRelations
定义域Dom（R）domainofR
关系RAB
Dom（R）={x|yB,（x,y）R}
Dom（IA）=A,Dom（Q）=A-{4},Dom（P）=A。
值域Ran（R）rangeofR
Ran（R）={yB|xA,（x,y）R}.
Ran（IA）=A,Ran（A）={2,3,4},Ran（P）={1,2,3,4}。
A1的像集R（A1），x的像集R（x）
关系RAB,A1A.
R（A1）={yB|xA1,（x,y）R},A1的像集，theR-relativesetofA1.
R（x）={yB|（x,y）R},x的像集。
定理1.
关系RAB,A1A,A2A,
（a）IfA1A2,thenR（A1）R（A2）.
（b）R（A1∪A2）R（A1）∪R（A2）.
（c）R（A1∩A2）R（A1）∩R（A2）.
定理2.关系RAB,SAB.如果aA,R（a）=S（a）,则R=S.
关系矩阵MRTheMatrixofaRelation
关系RAB,关系R的矩阵MR=[mij]，
关系图TheDigraphofaRelation
关系RAA,
G=（V,E）,定点集合V=A,边集合E=R。
A={1,2,3,4}
R={（1,1）,（1,2）,（2,1）,
（2,2）,（2,3）,（2,4）,
（3,4）,（4,1）}
由关系确定矩阵和图
由矩阵确定关系
由图确定关系
Homework
P114-11518,22,24,28
4.3关系和图的路径PathsinRelationsandDigraphs
长度为n的路径apathoflengthn
从a到b有长度为n的路径π：
aRx1,x1Rx2,……,xn-1Rb，
记做π：
a,x1,x2,……,xn-1,b.
Rn具有长度为n的路径的关系
关联关系R∞connectivityrelationforR
MR2=MRMR
MRn=MRMRMR……MR
MR=MRMR2MR3……
可达矩阵MR*=InMRMR2MR3……
两条路径的连接
π1：
a1,a2,…,an,
π2：
b1,b2,…,bm,
b1=an
π1◦π2：
a1,a2,…,an,b2,…,bm,
4.4关系的性质PropertiesofRelations
自反和反自反关系ReflexiveandIrreflexiveRelations
自反关系ReflexiveRelations
关系RAA,aA,（a,a）R
IA,P是自反关系。
反自反关系IrreflexiveRelations
关系RAA,aA,（a,a）R
Q是反自反关系。
对称Symmetric，不对称asymmetric，反对称antisymmetricRelations关系
对称Symmetric，
（a,b）∈R（b,a）∈R
不对称asymmetric，
（a,b）∈R（b,a）R
反对称antisymmetric
（a,b）∈R∧（b,a）∈Ra=b
传递Transitive
（a,b）∈R∧（b,c）∈R（a,c）∈R.
大于等于，小于等于，恒等，整除关系都是传递关系。
定理1.关系R是传递的当且仅当RnR,即如果a,b有长度大于1的边则有长度为1的边。
定理2.R是A上关系,则
（a）R自反则aA,a∈R（a）.
（b）R对称则a∈R（b）iffb∈R（a）
（c）R传递则b∈R（a）,c∈R（b）c∈R（a）.
偏序关系PartialOrder
1.自反Reflexive
aA,（a,a）R
2．反对称antisymmetric
（a,b）∈R∧（b,a）∈Ra=b
3．传递Transitive
（a,b）∈R∧（b,c）∈R（a,c）∈R.
大于等于，小于等于，恒等，整除关系都是偏序关系。
（A,）集合对于是偏序。
树是偏序。
全序关系，线性序关系linearorder
偏序1.2.3.＋
4．a,bA,（a,b）R∨（b,a）∈R.
大于等于，小于等于是全序，整除，（A,）不是。
严格序strictorder
1.反自反irreflexive
2.传递transitive
严格线性序strictlinearorder
严格序＋
4’．a,bA,（a,b）R∨a=b∨（b,a）∈R.
大于，小于都是严格线性序。
4.5等价关系EquivalenceRelations
等价关系R是A上关系，满足：
1．自反
2．对称
3．传递
恒等IA是等价关系
三角形全等，三角形相似是等价关系
集合基数相等是等价关系
Z上同余关系是等价关系
n∈Z+,a,b∈Z,
a≡b（n）iffn|（a-b）,或a%n=b%n
等价关系与划分
定理1.
设P是集合A的一个划分，定义A上关系R:
aRb当且仅当a,b属于P的同一分块
则R是等价关系。
引理1
设R是A上等价关系，则aRb当且仅当R（a）=R（b）
证明
设R（a）=R（b），则b∈R（a）,因此aRb
反之
cA,设c∈R（a），则aRc,由对称性，cRa.由aRb，传递性有cRb.因此c∈R（b）.于是R（a）R（b）.
同理有R（b）R（a）.
从而R（a）＝R（b）。
引理2
设R是A上等价关系，则R（a）∩R（b）≠当且仅当R（a）=R（b）
证明
存在c∈R（a）∩R（b），aRc,cRb.由传递性aRb,由引理1R（a）=R（b）。
定理2
设R是A上等价关系，P＝{R（x）|x∈A}，则P是A的一个划分。
且划分P确定的等价关系是R.
证明.
aA,a∈R（a），A=∪P=
R（a）,
由引理1，2，R（a）∩R（b）=或R（a）＝R（b）。
因此P是A的一个划分。
a,b属于P的同一分块，a,b∈R（x）,则aRb.P确定的等价关系就是R.称R（a）为a的等价类。
也用[a]表示。
划分P也记作A/R，
Z关于n的同余关系的划分记作Zn=Z/（n）={[0],[1],…，[n-1]}={0,1,2,……，n-1}.
[a]+[b]=[a+b],[a]×[b]=[a×b].
4.6关系和图的计算机表示ComputerRepresentationofRelationsandDigraphs
4.7关系的运算OperationsonRelations
设R和S都是A到B的关系，R,SA×B.R∩S,R∪S，
都是A到B的关系。
1.关系的交
（a,b）∈R∩Siff（a,b）∈R且（a,b）∈S
2.关系的并
（a,b）∈R∪Siff（a,b）∈R或（a,b）∈S
3关系的补complementaryrelation
=A×B-R,（a,b）∈
iff（a,b）
R.
4.关系的逆inverserelation
R-1A×B,（a,b）∈R-1iff（b,a）∈R.
（R-1）-1=R
Dom（R-1）=Ran（R）,
Ran（R-1）=Dom（R）.
<-1=>,-1=.
=.
∩得到?
.
∪?
关系运算相应的图矩阵
定理1
设R和S都是A到B的关系，R,SA×B.
（a）RSR-1S-1
（b）RS
（c）（R∩S）-1=R-1∩S-1
（R∪S）-1=R-1∪S-1
（d）
定理2.
设R和S都是A上关系，R,SA×A.
（a）R自反R-1自反。
（b）R和S自反R∩S,R∪S自反。
（c）R自反
反自反。
定理3
设R是A上关系，RA×A.
（a）R对称R=R-1
（b）R反对称R∩R-1IA.
（c）R不对称R∩R-1.
定理4
设R和S都是A上关系，R,SA×A.
（a）R对称R-1,
对称。
（b）R,S对称R∩S,R∪S对称。
定理5
设R和S都是A上关系，R,SA×A.
（a）（R∩S）2R2∩S2.
（b）R,S传递R∩S传递。
（c）R,S是等价关系R∩S是等价关系。
A/（R∩S）是A/R，A/S两个划分的交。
5.闭包closure
设R是A上关系，RA×A.
R的自反闭包r（R），是A上最小的一个关系R1,RR1,R1自反。
R的对称闭包s（R），是A上最小的一个关系R1,RR1,R1对称。
R的传递闭包tr（R），是A上最小的一个关系R1,RR1,R1传递。
r（R）=R∪IA,s（R）=R∪R-1,tr（R）=R.
6.关系的复合composition
设R是集合A到B的关系，S是集合B到C的关系。
R和S的复合，记做S◦R,是A到C上的关系：
（ac）∈S◦R:
存在b∈B,（a,b）∈R,（b,c）∈S.
a（S◦R）c:
b∈B,aRb,bSc
定理6.
设R是集合A到B的关系，S是集合B到C的关系,A1A。
（S◦R）（A1）=S（R（A1））.
MS◦R=MRMS.
定理7.
设R是集合A到B的关系，S是集合B到C的关系,T是集合C到D的关系,则
T◦（S◦R）=（T◦S）◦R.
定理8
（S◦R）－1＝R-1◦S-1
4.8传递闭包和Warshall算法TransitiveClosureandWarshall’sAlgorithm
定理1.设R是A上关系，则tr（R）=R∞.
证明.
RR∞
R∞传递。
设RS，S传递，则R∞S.
RnSnS.
例1.A＝{1，2，3，4},
R={（1,2）,（2,3）,（3,4）,（2,1）}
求tr（R）.
解tr（R）=R∞.
1．作图法。
2.矩阵MR∞＝MR∨MR2∨MR3。
定理2.设|A|=n,RA×A.则R∞＝R∪R2∪……∪Rn.MR∞＝MR∨MR2∨……∨MRn.
证明.
tr（R）=R∞＝R∪R2∪…∪Rn∪….
图R∞中，（a，b）∈R∞,有路径a，x1，x2，……，xm，b，如有重复顶点xi，xj，有环，可去掉。
于是可假设路径a，x1，x2，……，xm，b中没有重复顶点，长度至多n，因此（a，b）∈Rk，k≤n。
Warshall算法
计算关系R的传递闭包的算法。
设A＝{a1,a2,……，an}，R是A上关系。
定义矩阵WK＝[tij]如下：
tij=1当且仅当从ai到aj有一条路径，经过的顶点在{a1,a2,…，ak}之中。
W0=MR.Wn=MR∞.
设已有Wk-1＝[sij],计算WK＝[tij]：
tij＝1
当且仅当
（1）sij=1//ai到aj有路径中间点在{a1,a2,…，ak－1}之中。
或
（2）sik=1且skj＝1.//ai到aj有路径经过ak，其余中间
点在{a1,a2,…，ak－1}之中。
Wk-1的元素a1k乘ak1加到a11
元素a1k乘ak2加到a12
……
元素a1k乘akn加到a1n
元素a2k乘ak1加到a21
元素a2k乘ak2加到a22
……
元素a2k乘akn加到a2n
……
……
元素ank乘ak1加到an1
元素ank乘ak2加到an2
……
元素ank乘akn加到ann
Wk-1第k列的元素遍乘第k行的元素加到矩阵Wk-1
AlgorithmWarshall
1．Closure←Mat
2．ForK＝1ThroN
a．ForI＝1ThroN
1．ForJ＝1ThroN
a．Closure[I,J]←Closure[I,J]∨Closure[I,K]∧Closure[K,J]。
EndofAlgorithmWarshall
例2.W0=MR=
k=1,第1列的元素遍乘第1行的元素加到W0W1=
k=2,第2列的元素遍乘第2行的元素加到W1W2=
k=3,第3列的元素遍乘第3行的元素加到W2W3=
k=4,第4列的元素遍乘第4行的元素
加到W3，第4行的元素全0。
W4=W3
MR∞=W3.
定理3.设R和S都是A上等价关系，则包含R和S的最小的关系是（R∪S）∞
证明
自反性
IAR,IASIAR∪S（R∪S）∞,
对称性
R-1=R,S-1=S（R∪S）-1=R-1∪S-1=R∪S（R∪S）∞也对称。
传递性.
（R∪S）∞是R∪S的传递闭包。
最小性
（R∪S）∞是R∪S的传递闭包。
例3．
A＝{1,2,3,4,5}，R={（1,1）,（1,2）,（2,1）,（2,2）,（3,3）,（3,4）,（4,3）,（4,4）,（5,5）}，
S={（1,1）,（2,2）,（3,3）,（4,4）,（5,4）,（4,5）,（5,5）}
求A/R,A/S,包含R和S的最小的等价关系。
解.
A/R={1,2}∪{3，4}∪{5}
A/S={1}∪{2}∪{3}∪{4,5}
R∪S＝{（1,1）,（1,2）,（2,1）,（2,2）,（3,3）,（3,4）,（4,3,）,（4,4）,（5,4）,（4,5）,（5,5）}
MR∪S＝
W0＝MR∪S
W1＝W2＝W3＝W0，W4＝
W5＝W4
A/（R∪S）∞＝{1,2}∪{3,4,5}
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