1997年考研数学三真题.docx

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1997年考研数学三真题

1997年全国硕士研究生入学统一考试经济数学三试题详解及评析

一、填空题

（1）设y=

f（lnx）ef（x）其中f可微，则dy=.

【答】

ef（x）⎡1f'（lnx）+f'（x）f（lnx）⎤dx

【详解】

⎢⎣x⎥⎦

⎣⎦

dy=d⎡f（lnx）ef（x）⎤=⎡⎣df（lnx）⎤⎦⋅ef（x）+f（lnx）def（x）

=⎡1f'（lnx）dx⎤⋅ef（x）+f（lnx）ef（x）⋅f'（x）dx

⎢⎣x⎥⎦

=⎡1f'（lnx）dx⎤⋅ef（x）+f（lnx）ef（x）⋅f'（x）dx

⎢⎣x

（2）若f（x）=

p

⎥⎦

1+

1+x2

⎰0f（x）dx,则

⎰0f（x）dx=.

【答】

4-π

1

【详解】设⎰0f（x）dx=A,

则

1

A=f（x）dx=1dx+A⋅

1-x2dx

⎰0⎰01+x2⎰0

=arctanx1+A⋅（arcsinx+x1-x2）1=π+πA

故A=

02

p

4-π.

044

（3）

t+1tt

差分方程y-y=t2t的通解为y=.

【答】

C+（t-2）2t

【详解】齐次差分方程yt+1-yt=0的通解为C.C为任意常数

设（at+b）2t是差分方程yt+1-yt=t2t的一个特解，则a=1,b=-2.因此

yt=C+（t-2）2t为所求通解.

（4）若二次型f（x,x,x）=2x2+x2+x2+2xx

+

txx

是正定的，则t的取值范围

是.

1231231223

【答】

-

【详解】f正定的充分必要条件是f对应矩阵的各阶顺序主子式大于零，因此

210

11t

2

>0,

0t1

2

解得-

19

（5）设随机变量X和Y相互独立且都服从正态分布N（0,32），而X,…,X

和Y1,…,Y9

分别式来自总体X和Y的简单随机样本，则统计量U=

X1+…+X9

服从

分布，参数为.

【答】

t,9

【详解】令X'=Xi,Y'=Yi,i=1,2,…,9

i3i3

则Xi'~N（0,1）,Yi'~N（0,1）,i=1,2,…,9

19

X'=X'+…+X'~N（0,32）,

19

Y'=Y'+…+Y'~X2（9）

因此

U=X1+…+X9=

X1'+…+X9'

X'

=X'=

Y'

由于

X'~N（0,1）,Y'~X2（9）

3

故U~t（9）.

二、选择题

1-cosx2

x5x6

（1）设f（x）=⎰0sintdt,g（x）=

+

则当x→0时，f（x）是g（x）的

56

（A）低阶无穷小（B）高阶无穷小

（C）等阶无穷小（D）同阶但不等价的无穷小

【】

【答】应选（B）

【详解】利用洛必达法则，有

lim

f（x）

=lim

sinx⋅sin（1-cos）2

=lim

sin（1-cos）2

x→0g（x）

x→0

x4+x5

x→0

x4

x3+x4

=lim

（1-cos）2

=lim4

=0.

x→0

x3+x4

x→0x3+x4

（2）若f（-x）=

（0,+∞）内有

f（x）（-∞0,且f''（x）<0,则在

（A）f'（x）>0,f'（x）<0

（C）f'（x）<0,f'（x）>0

（B）f'（x）>0,f'（x）>0

（D）f'（x）<0,f'（x）>0

【答】应选（C）

【详解】由f（-x）=

【】

f（x）,得

-f'（x）=

f'（x）,f'（-x）=

f'（x）

可见当x∈（0,+∞）时，-x∈（-∞,0），且

f'（x）=-f'（-x）<0,f'（x）=

所以应选（C）.

f'（-x）<0

（2）设向量α1,α2,α3线性无关，则下列向量组中，线性无关的是

（A）α1+α2,α2+α3,α3-α1

（B）α1+α2,α2+α3,α1+2α2+α3

（C）α1+2α2,2α2+3α3,3α3+α1

（D）α1+α2+α3,2α1-3α2+22α3,3α1+5α2-5α3

【】

【答】应选（C）

【详解】

（A）:

（α1+α2）-（α2+α3）+（α3-α1）=0

（B）:

（α1+α2）-（α2+α3）-（α1+2α2+α3）=0

可见（A）、（B）中向量组线性相关，（C）、（D）不能直接观察出，对于（C），令k1（α1+2α2）+k2（2α2+3α3）+k3（3α3+α1）=0

即

（k1+k3）α1+（2k1+2k2）α2+（3k2+3k3）α3=0

由于α1,α2,α3线性无关，故

⎧k1+k3=0

⎪2k+2k=0

⎨

⎩

⎪3k

12

2+3k3=0

101

因上述齐次线性方程组的系数行列式220=12≠0,，故方程组由惟一零解，即

033

k1=k2=k3=0，故（C）中向量组线性无关，应选（C）.

（4）设A,B为同阶可逆矩阵，则

（A）AB=BA

（B）存在可逆矩阵P，使P-1AP=B

（C）存在可逆矩阵C，使CTAC=B

（D）存在可逆矩阵P和Q，使PAQ=B

【】

【答】应选（D）.

【详解】由题设A,B可逆，若取P=B,Q=A-1,则PAQ=BAA-1=B,即A与B等价，可见（D）.成立

矩阵乘法不满足交换律，故（A）不成立；任意两个同阶可逆矩阵，不一定是相似的或合同的，因此（B）、（C）均不成立.

（5）设两个随机变量X与Y相互独立且同分布：

P{X=-1}=P{Y=-1}=1,

2

1

P{X=1}=P{Y=1}=

则下列各式中成立的是

2

（A）P{X=Y}=1

2

（C）P{X+Y=0}=1

（B）P{X=Y}=1

（D）P{XY=1}=1

44

【】

【答】应选（A）.

【详解】

而

P{X=Y}=P{X=1,Y=1}+P{X=-1,Y=-1}

=1⨯1+1⨯1=1,

22222

P{X+Y=0}=1,P{XY=1}=1.

24

=⎡-x

-x⎤-1

三、在经济学中，称函数Q（x）

A⎣δK

+

（1-δ）L⎦x为固定替代弹性生产函数，而称函

数Q=AKδL1-xδ为Cobb－Douglas生产函数（简称C-D生产函数）

试证明：

当x→0时，固定替代弹性生产函数变为C-D同阶生产函数，即有

limQ（x）=Q

→

x0

【详解】而且

lnQ（x）=lnA-1ln⎡⎣δK-x+（1-δ）L-x⎤⎦

x

ln⎡⎣δK-x+（1-δ）L-x⎤⎦

-δK-xlnK-（1-δ）L-xlnL

limln

x→0x

=lim

x→0

δK-x

+（1-δ）L-x

=-δlnK-（1-δ）lnL=-ln（AKδL1-δ）

所以

x→0

limlnQ（x）=lnA+ln（KδL1-δ）=ln（AKδL1-δ）

于是

→

limQ（x）=AKδL1-δ

x0

=Q.

四、设u=

f（x,y,z）有连续偏导数，y=y（x）和z=z（x）分别是由方程exy-y=0和

ex-xz=0所确定，求du.

dx

du∂f∂fdy∂fdz

【详解】

=+⋅+⋅,

（*）

dx∂x∂ydx∂zdx

由exy-y=0得exy⎛y+xdy⎞-dy=0

⎜dx⎟dx

⎝⎠

dy=

dx

yexy

1-xexy

=y2

1-xy

由ex-xz=0，得ezdz-z-xdz=0

dxdx

dz=z=z

dxez-xxz-z

代入（*）式得

du=∂f+y2∂f+z∂f

.

dx∂x1-xy∂yxz-x∂z

五、一商家销售某种商品的价格满足关系p=7-0.2x（万元/吨），x为销售量（单位：

吨），商品的成本函数是C=3x+1（万元）

（1）若每销售一吨商品，政府要征税t（万元），求该商家获最大利润时的销售量;

（2）t为何值时，政府税收总额最大.

【详解】

（1）设T为总税额，则T=tx；商品销售总收入为

R=px=（7-0.2x）x=7x-0.2x2,

利润函数为

π=R-C-T=7x-0.2x2-3x-1-tx=-0.2x2+（4-t）x-1.

dπ

令=0,即-0.4x+4-t=0,

dx

d2π

由于dx2

=-0.4x<0,因此x=5（4-t）即为最大利润时的销售量.

2

（3）将x=5（4-t）代入T=tx，得

2

T=t⋅5（4-t）=10t-5t2

22

由dT=10-5t=0得惟一驻点t=2

dt

d2T

由于dt2

=-5<0,可见当t=2时T有极大值，此时政府税收总额最大.

六、设函数f（x）在[0,+∞）上连续、单调不减且f（x）≥0.试证函数

⎪

⎧1⎰xtnf（t）dt,

x>0

F（x）=⎨x0

⎪⎩0,

x=0

在[0,+∞）上连续且单调不减（其中n>0）

【详解1】显然当x>0时F（x）连续，又

⎰xtnf（t）dt

limF（x）=lim0=limxnf（x）=0=F（0）

x→0+

x→0+x

x→0+

故F（x）在[0,+∞）上连续对于x∈（0,+∞）有

xn+1f（x）-⎰xtnf（t）dtxn+1f（x）-ξnf（ξ）x

F'（x）=

0=

x2x2

xn+1f（x）-ξnf（ξ）

xn⎡⎣f（x）-f（ξ）⎤⎦+f（ξ）（xn-ξn）

xx

其中0<ξ

因此，由f（x）在[0,+∞）上连续、单调不减知f（x）≥

F（x）在[0,+∞）上连续且单调不减.

【详解2】连续性的证明同上，由于

f（ξ），又xn>ξn，于是F'（x）≥0故

F'（x）=

xn+1f（x）-xtnf（t）dt

=

x2

⎰x⎡xnf（x）-tnf（t）⎤dt

⎰xxnf（x）dx-⎰xtnf（t）dt

x2

=0⎣⎦

x2

≥0.

可见F（x）在[0,+∞）上连续且单调不减.

七、从点P（1,0）做x轴垂线，交抛物线y=x2于点Q（1,1）；再从Q做抛物线的切线与x轴

111

交于P2，然后又从P2做x的垂线，交抛物线于点Q2,依次重复上述过程得到一系列的点

P1,Q1,P2,Q2,…Pn,Qn….

（1）求OPn;

（2）求级数Q1P1+Q2P2+…+QnPn+…的和。

其中n（n≥1）为自然数，而M1M2表示点M1与M2之间的距离.

【详解】

（1）由y=x2，得y'=2x对于任意a（0

y-a2=2a（x-a）

且该切线与x轴的交点为⎛a,0⎞,故由OP=1,可见

⎜2⎟1

⎝⎠

OP=1OP=1,

2212

OP=1OP

=1⋅1=1

322

……

2222

OPn

=1.2n-1

2n-2

（2）由于QP=（OP）2=⎛1⎞,

2

nnn⎜⎟

⎝⎠

∞∞⎛1⎞2n-214

⎜2⎟

可见∑QnPn=∑⎜2⎟=

2=3.

n=1

n=1⎝⎠

1-⎛1⎞

⎝⎠

八、设函数f（t）在[0,+∞）上连续，且满足方程

f（t）=e4πt2+⎰⎰

⎛1x2+y2⎞dxdy,

2

求f（t）.

x2+y2≤4t2⎝⎠

【详解】显然f（0）=1,由于

f⎛1

x2+y2⎞dxdy=2πd

2tf⎛1r⎞rdr=2π

2trf⎛1r⎞dr

⎰⎰⎜2

⎟⎰0

⎰0⎜2⎟

⎰0⎜2⎟

x2+y2≤4t2

可见

⎝⎠⎝⎠⎝⎠

f（t）=e4πt2+2π

2trf⎛1r⎞dr

⎰0⎜2⎟

⎝⎠

两边求导得

f'（t）=8πte4πt2+8πtf（t）

解上述关于f（t）的一阶线性非齐次微分方程，得

f（t）=⎛8πte4πt2e-⎰8πtdtdt+C⎞e⎰8πtdt=（8π

⎰tdt+C）e4πt2=（4πt2+C）e4πt2,

⎝⎠

代入f（0）=1,得C=1.

因此f（t）=（4πt2+1）e4πt2.

九、设A为n阶非奇异矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵

⎛EO⎞⎛Aα⎞

P=⎜-αTA*

A⎟,Q=⎜αTb⎟,

⎝⎠⎝⎠

其中A*是矩阵A的伴随矩阵，E为n阶单位阵

a）计算并化简PQ;

b）证明：

矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA-1αT≠b.

【详解】

（1）因为A*A=AA*=

AE,故

⎛EO⎞⎛A

α⎞⎛Aα⎞

PQ=⎜-αTA*

A⎟⎜αT

b⎟=⎜-αTA*A+AαT

-αTA*A+bA⎟

⎝⎠⎝⎠⎝⎠

⎛Aα⎞

=⎜0A（b-αTA-1α）⎟.

⎝⎠

（2）由

（1）可得

PQ=

A2（b-αTA-1α）,

而PQ=

P⋅Q,且P=

A≠0,

故Q=

A（b-αTA-1α）

由此可知Q

≠0的充分必要条件为αTA-1α≠b,即矩阵Q可逆的充分必要条件是

αTA-1αT≠b.

十、设三阶实对称矩阵A的特征值是1,2,3;矩阵A的属于特征值1,2的特征向量分别是

12

α=（-1,-1,1）T,α=（1,-2,-1）T.

（1）求A的属于特征值3的特征向量；

（2）求矩阵A.

【详解】

（1）设A的属于特征值3的特征向量为

3123

α=（x,x,x）T.

因为对于实对称矩阵，属于不同特征值的特征向量相互正交，所以

T=0和αTα=0,

即（x1,x2,x3）是齐次线性方程组

⎧-x1-x2+x3=0

⎨x-2x+x=0

⎩123

的非零解，解上面方程组，得其基础解系为（1,0,1）T.

3

因此A的属于特征值3的特征向量为α=k（1,0,1）T（k为任意非零常数）.

c）令矩阵

⎡-111⎤

P=⎢-1-21⎥,

⎢⎥

⎢⎣1

则有

⎡100⎤

⎢⎥

P-1AP=⎢020⎥

⎢⎣003⎥⎦

即

-11⎥⎦

⎡100⎤

⎢⎥

A=P⎢020⎥P-1.

⎢⎣003⎥⎦

由于

⎡-1-11⎤

⎢333⎥

⎢111⎥

P-1=⎢

--⎥,

⎢636⎥

⎢11⎥

⎢0⎥

⎣⎢22⎥⎦

可见

⎡100⎤⎡13-25⎤

⎣⎦

A=P⎢020⎥P-1=1⎢-2102⎥.

⎢⎥

⎢⎣003⎥⎦

6⎢5213⎥

十一、假设随机变量X的绝对值不大于1；P{X=-1}=1,P{X=1}=1;在事件

84

{-1

【详解】由条件可知，当x<-1时，F（x）=0;F（-1）=1,

8

P{-1

848

易见，在X的值属于（-1,1）的条件，事件{-1

P{-1

2

于是对于-1

P{-1

=P{-1

=5⨯x+1=5x+5,8216

对于x≥1,有F（x）=1.

从而

⎧0,

F（x）=⎪5x+7,

x<-1,

-1

⎪16

⎪⎩1,

x≥1.

十二、游客乘电梯从底层到电视塔层观光；电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起行，假设一游客在早晨八点的第X分钟到达底层候梯处，且X在[0,60]上服从均匀

分布，求该游客等候时间的数学期望.

【详解】已知X在[0,60]上服从均匀分布，其密度为

⎨

⎧1,0≤x≤60,

X~f（x）=⎪60

⎪⎩0,

其他.

设Y是游客等候电梯的时间（单位：

分），则

⎧5-X,0

⎪25-X,5

Y=g（x）=

⎪55-X,25

⎪⎩65-X,55

因此

E（Y）=E⎡⎣g（X）⎤⎦

=⎰+∞g（x）f（x）dx=1⎰60g（x）dx

-∞600

=1⎡⎰5（5-x）dx+⎰25（25-x）dx+⎰55（55-x）dx+⎰60（65-x）dx⎤

60⎢⎣052555⎥⎦

=11.67.

十三、两台同样自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布；首先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自行开动.

试求两台记录仪无故障工作的总时间T的概率密度f（t）、数学期望和方差.

【详解】以X1和X2表示先后开动的记录仪无故障工作的时间，则T=X1+X2，由条件概率知Xi（i=1,2）的概率密度为

（）

⎧5e-5x,

pix=⎨

⎩0,

x>0,

x≤0.

两台仪器无故障工作时间X1和X2显然相互独立.

利用二独立随机变量和密度公式求T的概率密度,对于t>0,有

f（t）=

p（x）p

（t-x）dx=25

te-5xe-5x（t-x）dx=25e-5t

tdx=25te-5t.

+∞

⎰-∞12⎰0⎰0

当t≤0时，显然f（t）=0于是，得

（）

⎧25te-5t,

ft=⎨

⎩0,

t>0,

t≤0.

由于Xi服从参数为λ=5的