1997年考研数学三真题.docx

1、1997年考研数学三真题1997 年全国硕士研究生入学统一考试经济数学三试题详解及评析一、 填空题（1） 设 y =f (ln x) e f ( x) 其中 f 可微，则dy = .【答】e f ( x) 1 f (ln x) + f ( x) f (ln x) dx【详解】 x dy = d f (ln x) e f ( x) = df (ln x) e f ( x) + f (ln x) de f ( x) = 1 f (ln x) dx e f ( x) + f (ln x) e f ( x) f ( x) dx x = 1 f (ln x) dx e f ( x) + f (ln x)

2、e f ( x) f ( x) dx x（2）若 f ( x) =p1 +1+ x20 f ( x) dx, 则0 f ( x) dx = .【答】4 - 1【详解】 设0 f ( x) dx = A,则1A = f ( x) dx = 1 dx + A 1- x2 dx0 0 1+ x2 0= arctan x 1 + A (arcsin x + x 1- x2 )1 = + A故 A =0 2p4 - .0 4 4（3）t +1 t t差分方程 y - y = t2t 的通解为 y = .【答】C + (t - 2) 2t【详解】 齐次差分方程 yt +1 - yt = 0 的通解为C.C

3、 为任意常数设(at + b) 2t 是差分方程 yt +1 - yt = t 2t 的一个特解，则a = 1, b = -2. 因此yt = C + (t - 2) 2t 为所求通解.（4）若二次型 f ( x , x , x ) = 2x2 + x2 + x2 + 2x x+tx x是正定的，则t 的取值范围是 .1 2 3 1 2 3 1 2 2 3【答】- t 0,0 t 12解得- t 1 9（5） 设随机变量 X 和Y 相互独立且都服从正态分布 N (0, 32 ) ，而 X , X和Y1,Y9分别式来自总体 X 和Y 的简单随机样本，则统计量U =X1 + + X 9服从 分布，

4、参数为 .【答】t,9 【详解】 令 X = Xi ,Y = Yi , i = 1, 2, 9 i 3 i 3则 X i N (0,1),Yi N (0,1), i = 1, 2, 91 9X = X + + X N (0, 32 ),1 9Y = Y + + Y X2 (9)因此U = X1 + + X 9 =X1 + + X 9X = X =Y 由于 X N (0,1),Y X2 (9)3故U t (9) .二、选择题1-cos x 2x5 x6（1） 设 f ( x) = 0 sin t dt, g ( x) =+, 则当 x 0 时， f ( x) 是 g ( x) 的5 6( A)

5、低阶无穷小 ( B) 高阶无穷小(C ) 等阶无穷小 ( D) 同阶但不等价的无穷小【 】【答】 应选( B)【详解】 利用洛必达法则，有lim f ( x)= limsin x sin (1- cos)2= limsin (1- cos)2x0 g ( x)x0x4 + x5x0x4x3 + x4= lim(1- cos)2= lim 4 = 0.x0x3 + x4x0 x3 + x4（2） 若 f (-x) =(0, +) 内有f ( x)(- x 0, 且 f ( x) 0, f ( x) 0(C ) f ( x) 0( B) f ( x) 0, f ( x) 0( D) f ( x)

6、0【答】 应选(C )【详解】 由 f (-x) =【 】f ( x), 得- f ( x) =f ( x), f (-x) =f ( x)可见当 x (0, +) 时， -x (-,0) ，且f ( x) =- f (-x) 0, f ( x) =所以应选(C ) .f (-x) 0（2） 设向量1,2 ,3 线性无关，则下列向量组中，线性无关的是( A)1 + 2 ,2 + 3,3 - 1( B)1 + 2 ,2 + 3,1 + 22 + 3(C )1 + 22 , 22 + 33, 33 + 1( D)1 + 2 + 3, 21 - 32 + 223, 31 + 52 - 53【 】【答

7、】 应选(C )【详解】( A) : (1 + 2 ) - (2 + 3 ) + (3 - 1 ) = 0( B) : (1 + 2 ) - (2 + 3 )- (1 + 22 + 3 ) = 0可见( A)、( B) 中向量组线性相关， (C )、( D) 不能直接观察出，对于(C ) ，令k1 (1 + 22 ) + k2 (22 + 33 ) + k3 (33 + 1 ) = 0即(k1 + k3 )1 + (2k1 + 2k2 )2 + (3k2 + 3k3 )3 = 0由于1,2 ,3 线性无关，故k1 + k3 = 02k + 2k = 03k1 22 + 3k3 = 01 0 1

8、因上述齐次线性方程组的系数行列式 2 2 0 = 12 0, ，故方程组由惟一零解，即0 3 3k1 = k2 = k3 = 0 ，故(C ) 中向量组线性无关，应选(C ) .（4） 设 A, B 为同阶可逆矩阵，则( A) AB= BA( B) 存在可逆矩阵 P ，使 P -1AP = B(C ) 存在可逆矩阵C ，使C T AC = B( D) 存在可逆矩阵 P 和Q ，使 PAQ = B【 】【答】 应选( D).【详解】 由题设 A, B 可逆，若取 P = B, Q = A-1, 则 PAQ = BAA-1 = B, 即 A 与 B 等价，可见( D).成立矩阵乘法不满足交换律，故

9、( A) 不成立；任意两个同阶可逆矩阵，不一定是相似的或合同的，因此( B)、(C ) 均不成立.（5）设两个随机变量 X 与Y 相互独立且同分布： PX = -1 = PY = -1 = 1 ,21PX = 1 = PY = 1 =, 则下列各式中成立的是2( A) PX = Y = 12(C ) PX + Y = 0 = 1( B) PX = Y = 1( D) PXY = 1 = 14 4【 】【答】 应选( A).【详解】而PX = Y = PX = 1,Y = 1 + PX = -1,Y = -1= 1 1 + 1 1 = 1 ,2 2 2 2 2PX + Y = 0 = 1 , P

10、XY = 1 = 1 .2 4= - x- x - 1三、在经济学中，称函数Q ( x)A K+(1- ) L x 为固定替代弹性生产函数，而称函数Q = AK L1- x 为 CobbDouglas 生产函数（简称 C-D 生产函数）试证明：当 x 0 时，固定替代弹性生产函数变为 C-D 同阶生产函数，即有lim Q ( x) = Qx 0【详解】而且ln Q ( x) = ln A - 1 ln K - x + (1- ) L- x xln K - x + (1- ) L- x - K - x ln K - (1- ) L- x ln Llim lnx0 x= limx0 K - x+

11、(1- ) L- x= - ln K - (1- )ln L = - ln ( AK L1- )所以x0lim ln Q ( x) = ln A + ln (K L1- ) = ln ( AK L1- )于是lim Q ( x) = AK L1-x 0= Q.四、设 u =f ( x, y, z ) 有连续偏导数， y = y ( x) 和 z = z ( x) 分别是由方程 exy - y = 0 和ex - xz = 0 所确定，求 du .dxdu f f dy f dz【详解】= + + , (*)dx x y dx z dx由exy - y = 0 得exy y + x dy - d

12、y = 0 dx dx dy =dxyexy1- xexy= y21- xy由ex - xz = 0 ，得ez dz - z - x dz = 0dx dxdz = z = z dx ez - x xz - z代入(*) 式得du = f + y2 f + z f. dx x 1- xy y xz - x z五、一商家销售某种商品的价格满足关系 p = 7 - 0.2x （万元/吨）， x 为销售量（单位：吨），商品的成本函数是C = 3x +1（万元）（1）若每销售一吨商品，政府要征税 t（万元），求该商家获最大利润时的销售量;（2）t 为何值时，政府税收总额最大.【详解】 （1） 设T 为

13、总税额，则T = tx ；商品销售总收入为R = px = (7 - 0.2x) x = 7x - 0.2x2 ,利润函数为 = R - C - T = 7x - 0.2x2 - 3x -1- tx = -0.2x2 + (4 - t ) x -1.d令 = 0, 即-0.4x + 4 - t = 0,dxd 2由于 dx2= -0.4x 0, 因此 x = 5 (4 - t ) 即为最大利润时的销售量.2（3） 将 x = 5 (4 - t ) 代入T = tx ，得2T = t 5(4 - t ) = 10t - 5 t 22 2由 dT = 10 - 5t = 0 得惟一驻点t = 2d

14、td 2T 由于 dt 2= -5 0F ( x) = x 00,x = 0在0, +) 上连续且单调不减（其中n 0 ）【详解 1】 显然当 x 0 时 F ( x) 连续，又 xtn f (t ) dtlim F ( x) = lim 0 = lim xn f ( x) = 0 = F (0)x0+x0+xx0+故 F ( x) 在0, +) 上连续对于 x (0, +) 有xn+1 f ( x) -xtn f (t ) dt xn+1 f ( x) - n f ( ) xF ( x) =0 =x2 x2xn+1 f ( x) - n f ( )xn f ( x) - f ( ) + f

15、( )(xn - n )x x其中0 n ，于是 F ( x) 0 故F ( x) =xn+1 f ( x) - xtn f (t ) dt=x2 x xn f ( x) - tn f (t ) dt x xn f ( x) dx - xtn f (t ) dtx2= 0 x2 0.可见 F ( x) 在0, +) 上连续且单调不减.七、从点 P (1, 0) 做 x 轴垂线，交抛物线 y = x2 于点Q (1,1) ；再从Q 做抛物线的切线与 x 轴1 1 1交于 P2 ，然后又从 P2 做 x 的垂线，交抛物线于点 Q2 ,依次重复上述过程得到一系列的点P1, Q1, P2 , Q2 ,

16、 Pn , Qn .（1）求OPn ;（2）求级数Q1P1 + Q2P2 + + Qn Pn + 的和。其中n (n 1) 为自然数，而M1M 2 表示点M1 与M 2 之间的距离.【详解】 （1）由 y = x2 ，得 y = 2x 对于任意a (0 a 1), 抛物线 y = x2 在点(a, a2 ) 处的切线方程为y - a2 = 2a ( x - a )且该切线与 x 轴的交点为 a ,0 , 故由OP = 1, 可见 2 1 OP = 1 OP = 1 , 2 2 1 2OP = 1 OP= 1 1 = 1 3 2 22 2 22OPn= 1 . 2n-12n-2（2）由于Q P

17、= (OP )2 = 1 ,2n n n 1 2n-2 1 4 2 可见 Qn Pn = 2 =2 = 3 .n=1n=1 1- 1 八、设函数 f (t ) 在0, +) 上连续，且满足方程f (t ) = e4 t2 + 1 x2 + y2 dxdy,2求 f (t ) .x2 + y2 4t2 【详解】 显然 f (0) = 1, 由于f 1x2 + y2 dxdy = 2 d2t f 1 r rdr = 22t rf 1 r dr 2 00 2 0 2 x2 + y2 4t2可见 f (t ) = e4 t2 + 22t rf 1 r dr0 2 两边求导得f (t ) = 8 te4

18、 t2 + 8 tf (t )解上述关于 f (t ) 的一阶线性非齐次微分方程，得f (t ) = 8 te4 t2 e-8 tdtdt + C e8 tdt = (8 tdt + C )e4 t2 = (4 t 2 + C )e4 t2 , 代入 f (0) = 1, 得C = 1.因此 f (t ) = (4 t 2 +1)e4 t2 .九、设 A 为n 阶非奇异矩阵， 为n 维列向量，b 为常数，记分块矩阵 E O A P = - T A*A , Q = T b , 其中 A* 是矩阵 A 的伴随矩阵， E 为n 阶单位阵a)计算并化简 PQ;b)证明：矩阵Q 可逆的充分必要条件是 T

19、 A-1 T b.【详解】 （1）因为 A* A= AA* =A E, 故 E O A A PQ = - T A*A Tb = - T A* A+ A T- T A* A+ b A A = 0 A (b - T A-1 ). （2）由（1）可得PQ =A 2 (b - T A-1 ),而 PQ =P Q , 且 P =A 0,故 Q =A (b - T A-1 )由此可知 Q 0 的充分必要条件为 T A-1 b, 即矩阵 Q 可逆的充分必要条件是 T A-1 T b.十、 设三阶实对称矩阵 A 的特征值是1, 2, 3; 矩阵 A 的属于特征值1, 2 的特征向量分别是1 2 = (-1,

20、-1,1)T , = (1, -2, -1)T .（1）求 A 的属于特征值 3 的特征向量；（2）求矩阵 A .【详解】 （1）设 A 的属于特征值 3 的特征向量为3 1 2 3 = ( x , x , x )T .因为对于实对称矩阵，属于不同特征值的特征向量相互正交，所以T = 0 和 T = 0,即( x1, x2 , x3 ) 是齐次线性方程组-x1 - x2 + x3 = 0x - 2x + x = 0 1 2 3的非零解，解上面方程组，得其基础解系为(1, 0,1)T .3因此 A 的属于特征值 3 的特征向量为 = k (1, 0,1)T （k 为任意非零常数）.c)令矩阵-1

21、 1 1P = -1 -2 1 , 1则有1 0 0 P -1 AP = 0 2 00 0 3即-1 11 0 0 A = P 0 2 0 P -1.0 0 3由于- 1 - 1 1 3 3 3 1 1 1 P -1 = - - , 6 3 6 1 1 0 2 2 可见1 0 0 13 -2 5 A = P 0 2 0 P -1 = 1 -2 10 2 . 0 0 36 5 2 13十一、 假设随机变量 X 的绝对值不大于 1 ； PX = -1 = 1 , PX = 1 = 1 ; 在事件8 4-1 X 1 出现的条件下， X 在(-1,1) 内任一子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正

22、比，试求 X 的分布函数 F ( x) = PX x.【详解】 由条件可知，当 x -1时， F ( x) = 0; F (-1) = 1 ,8P-1 X 1 = 1- 1 - 1 = 5 ,8 4 8易见，在 X 的值属于(-1,1) 的条件，事件-1 X x(-1 x 1) 的条件概率为P-1 X x | -1 X 1 = x +1 ,2于是对于-1 x 1, 有P-1 X x = P-1 X x, -1 X 1= P-1 X 1 P-1 X x | -1 X 1= 5 x +1 = 5x + 5 , 8 2 16对于 x 1, 有 F ( x) = 1.从而0,F ( x) = 5x +

23、 7 ,x -1,-1 x 1, 161,x 1.十二、 游客乘电梯从底层到电视塔层观光；电梯于每个整点的第 5 分钟、25 分钟和 55 分钟从底层起行，假设一游客在早晨八点的第 X 分钟到达底层候梯处，且 X 在0, 60上服从均匀分布，求该游客等候时间的数学期望.【详解】 已知 X 在0, 60上服从均匀分布，其密度为 1 , 0 x 60,X f ( x) = 600,其他.设 Y 是游客等候电梯的时间（单位：分），则5 - X , 0 X 5,25 - X , 5 X 25,Y = g ( x) =55 - X , 25 X 55,65 - X , 55 0,x 0.两台仪器无故障工作时间 X1 和 X 2 显然相互独立.利用二独立随机变量和密度公式求T 的概率密度,对于t 0, 有f (t ) =p ( x) p(t - x) dx = 25t e-5 xe-5 x(t - x)dx = 25e-5tt dx = 25te-5t .+- 1 2 0 0当t 0 时，显然 f (t ) = 0 于是，得( )25te-5t ,f t = 0,t 0,t 0.由于 Xi 服从参数为 = 5 的