常常利用逻辑导学案.docx
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常常利用逻辑导学案
高中数学人教版选修2-1第一章导学案
第一章常常利用逻辑用语
命题及其关系
1.1.1 命题
一、教学目标
１、理解命题的概念和命题的组成。
二、能判断给定陈述句是不是为命题，能判毕命题的真假；
3、能把命题改写成“若p，则q”的形式；
重点：
命题的概念、命题的组成
难点：
分清命题的条件、结论和判毕命题的真假。
二、问题导学
1．指出下列语句的表述形式特点，并判断他们的真假。
（1）若直线a∥b，则直线a与直线b没有公共点．________________________
（2）2+4=7．________________________
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行________________________．
（４）若x2=1,则x=1．________________________
（５）两个全等三角形的面积相等．________________________
（６）３能被２整除．___________________
二、概念：
________________________叫做命题．
命题的概念的要点：
________________________．
3、命题的组成――条件和结论
概念：
________________________叫做命题的条件,________________________叫做命题结论．
4、命题的分类――真命题、假命题的概念．
真命题：
________________________
假命题：
________________________
五、判断一个数学命题的真假方式________________________
三、探讨解疑
例一、判断下列语句是不是为命题？
（１）空集是任何集合的子集．（２）若整数a是素数，则是a奇数．
（３）指数函数是增函数吗？
（４）若平面上两条直线不相交，则这两条直线平行．
（５）
＝－２．（６）x＞１５．
例二、指出下列命题中的条件p和结论q，并判断各命题的真假．
（１）若整数a能被２整除，则a是偶数．
（２）若四边行是菱形，则它的对角线彼此垂直平分．
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行．
例３：
把下列命题写成“若P，则q”的形式，并判断是真命题仍是假命题：
（1）面积相等的两个三角形全等。
（2）负数的立方是负数。
（3）对顶角相等。
分析：
要把一个命题写成“若P，则q”的形式，关键是要分清命题的条件和结论，然后写成“若条件，则结论”即“若P，则q”的形式．解略。
四、教师点评
有些命题的叙述，如“对顶角相等”其中条件和结论并非那么鲜明，但咱们能够把它给改写成“若两个角是对顶角，则这两个角相等”
判断一个语句是不是命题，就是要看它是不是符合陈述句和能够判断真假这两个条件
五、归纳总结
本节学习中要求学生能够分清命题的条件和结论是什么，改写成命题的形式
六、知识过关
1，能判断给定语句是不是为命题,
2，能判毕命题的真假；
3，能把命题改写成“若p，则q”的形式；
七、当堂检测
课后练习2,3题
1.1.2四种命题 四种命题的彼此关系
一、教学目标
一、了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念；
二、掌握四种命题的形式和四种命题间的彼此关系，会用等价命题判断四种命题的真假．
重点：
（1）会写四种命题并会判毕命题的真假；
（2）四种命题之间的彼此关系．
难点：
（1）命题的否定与否命题的区别；
（2）写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题；
（3）分析四种命题之间彼此的关系并判毕命题的真假．
二、问题导学
1：
指出下列四个命题中，的条件与结论之间。
（1）若f（x）是正弦函数，则f（x）是周期函数．的条件_____________结论___________
（2）若f（x）是周期函数，则f（x）是正弦函数．的条件_____________结论___________
（3）若f（x）不是正弦函数，则f（x）不是周期函数．的条件_____________结论___________（4）若f（x）不是周期函数，则f（x）不是正弦函数．的条件_____________结论___________
二、____________两个命题叫做互逆命题，____________的两个命题叫做互否命题，____________的两个命题叫做互为逆否命题。
3、概念１：
一般地，对于两个命题，若是____________，那么咱们把如此的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．
概念２：
一般地，对于两个命题，若是____________，那么咱们把如此的两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．
概念３：
一般地，对于两个命题，若是____________，那么咱们把如此的两个命题叫做互为逆否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．
小结：
（1）____________，所得的命题就是它的逆命题：
（2）____________，所得的命题就是它的否命题；
（3）____________，所得的命题就是它的逆否命题．
强调：
原命题与逆命题、原命题与否命题、原命题与逆否命题是相对的。
4、四种命题的形式
若原命题为“若P，则q”的形式，则它的逆命题、否命题、逆否命题应别离写成
原命题：
若P，则q．则：
逆命题：
____________．
否命题____________：
．
逆否命题：
____________．
五、原命题的真假与其它三种命题的真假有的关系：
①原命题为真，它的逆命题____________真。
②原命题为真，它的____________真。
③原命题为真，它的____________必然为真。
原命题为假时类似。
六、完成下列表格：
原命题
逆命题
否命题
逆否命题
真
真
假
真
假
真
假
假
由表格发觉：
原命题与逆否命题老是具有__________，逆命题与否命题也老是__________
7、一个命题的逆命题、否命题与逆否命题之间的关系：
若P，则q．
若q，则P．
原命题
互逆
逆命题
互
否
互
为
否
逆
互
否
为
互
逆
否
否命题
逆否命题
互逆
若￢P，则￢q．
若￢q，则￢P．
结论：
（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
三、探讨解疑
例一、写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假：
（1）若一个三角形的两条边相等，则那个三角形的两个角相等；
（2）若一个整数的末位数字是０，则那个整数能被５整除；
（3）若x2=1,则x=1；
（4）若整数a是素数，则是a奇数。
例二、证明：
若p2＋q2＝2，则p＋q≤2．
分析：
若是直接证明那个命题比较困难，可考虑转化为对它的逆否命题的证明。
将“若p2＋q2＝2，则p＋q≤2”视为原命题，要证明原命题为真命题，能够考虑证明它的逆否命题“若p+q＞2，则p2+q2≠2”为真命题，从而达到证明原命题为真命题的目的．
证明：
若p＋q＞2，则
p2＋q2 ＝
［（p－q）2＋（p＋q）2］≥
（p＋q）2＞
×２２＝２
所以p2＋q2≠2．
这表明，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题。
练习巩固：
证明：
若a2－b2＋２a－４b－３≠０，则a－b≠１．
四、教师点评
原命题与逆否命题同真同假，逆命题和否命题同真同假
命题的否定只否定结论，而否命题条件和结论同时否定
五、归纳总结
四种命题之间的彼此关系．
命题的否定与否命题的区别；
写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题；
分析四种命题之间彼此的关系并判毕命题的真假
六、知识过关
1，全为否定是不全为
2，大于否定是小于等于。
。
。
。
。
。
。
七、当堂检测
习题1．１Ａ组第２、３、４题
1．2充分条件与必要条件
一、教学目标
1.正确理解充分没必要要条件、必要不充分条件的概念；
二、会判毕命题的充分条件、必要条件．
重点：
充分条件、必要条件的概念．
难点：
判毕命题的充分条件、必要条件。
二、问题导学
1．练习与试探
（1）若x＞a2+b2，则x＞2ab,的条件__________结论_______，命题是_________
（2）若ab＝0，则a＝0.的条件__________结论_______，命题是_________
２．概念：
若是命题“若p，则q”为真命题，即p⇒q,那么咱们就说p是q的充分条件；q是p必要条件．
3．充要条件__________
三、探讨解疑
例１：
下列“若p，则q”形式的命题中，那些命题中的p是q的充分条件？
（1）若x＝1，则x2－4x＋3＝0；
（2）若f（x）＝x，则f（x）为增函数；
（3）若x为无理数，则x2为无理数．
分析：
要判断p是不是是q的充分条件，就要看p可否推出q．
解略．
例２：
下列“若p,则q”形式的命题中，那些命题中的q是p的必要条件?
（1）若x＝y，则x2＝y2；
（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等；（3）若a＞b,则ac＞bc．
分析：
要判断q是不是是p的必要条件，就要看p可否推出q．
解略．
四．教师点评
（1）条件是彼此的；
（2）p是q的什么条件，有四种回答方式：
①p是q的充分而没必要要条件；
②p是q的必要而不充分条件；
③p是q的充要条件；
④p是q的既不充分也没必要要条件．
五．归纳总结
小范围是大范围的充分没必要要，大范围是小范围的必要不充分
六、知识过关
判毕命题的充分条件、必要条件。
七、当堂检测
练习第一、二、3、4题
作业习题组第1
（1）
（2）,2
（1）
（2）题
1.2.2充要条件
一、教学目标
一、正确理解充要条件的概念,了解充分而没必要要条件,必要而不充分条件,既不充分也没必要要条件的概念．
2、正确判断充分没必要要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也没必要要条件.
重点：
一、正确区分充要条件；二、正确运用“条件”的概念解题
难点：
正确区分充要条件．
二、问题导学
一、已知p：
整数a是2的倍数；q：
整数a是偶数.
判断：
p是q的_________条件。
p是q的_________条件。
２.类比归纳
一般地,_________,那么p是q的充分必要条件,简称充要条件.若是p是q的充要条件,那么q也是p的_________条件.
归纳地说,若是p⇔q,那么p与q互为充要条件.
3．类比概念
一般地，
若p⇒q,但q ≠> p，则称p是q的_________条件；
若p≠>q，但q ⇒ p，则称p是q的_________条件；
若p≠>q，且q ≠> p，则称p是q的_________条件．
4、在讨论p是q的什么条件时，就是指以下四种之一：
①若p⇒q,但q ≠> p，则p是q的_________条件；
②若q⇒p，但p ≠> q，则p是q的_________条件；
③若p⇒q，且q⇒p，则p是q的_________条件；
④若p ≠> q，且q ≠> p，则p是q的_________条件．
五、充要条件的判定方式
若是“若p，则q”与“若p则q”都是______，那么p就是q的充要条件，不然不是．
三、探讨解疑
例1：
下列各题中，哪些p是q的充要条件？
（1）p:
b＝0,q:
函数f（x）＝ax2＋bx＋c是偶函数；
（2）p:
x＞0,y＞0,q:
xy＞0；
（3）p:
a＞b,q:
a+c＞b+c；
（4）p:
x＞5,,q:
x＞10
（5）p:
a＞b,q:
a2＞b2
分析：
要判断p是q的充要条件，就要看p可否推出q，而且看q可否推出p．
解：
命题（１）和（３）中，p⇒q，且q⇒p，即p⇔q，故p是q的充要条件；
命题（２）中，p⇒q,但q ≠> p，故p不是q的充要条件；
命题（４）中，p≠>q，但q⇒p，故p不是q的充要条件；
命题（５）中，p≠>q，且q≠>p，故p不是q的充要条件；
例2：
已知：
⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．求证：
d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件．
分析：
设p：
d＝r，q：
直线l与⊙O相切．要证p是q的充要条件，只需要别离证明充分性（p⇒q）和必要性（q⇒p）即可．
证明进程略．
例3、设p是r的充分而没必要要条件，q是r的充分条件，r成立，则s成立．s是q的充分条件，问
（1）s是r的什么条件？
（2）p是q的什么条件？
四．教师点评
正确运用充要条件解题
五．归纳总结
条件和结论能够互推才是充要条件
六、知识过关
判毕命题的充要条件。
七、当堂检测
习题组第1（3）
（2）,2（3）,3题
简单的逻辑联结词
1.3.1且或
一、教学目标
1.掌握逻辑联结词“或、且”的含义
2、正确应用逻辑联结词“或、且”解决问题
掌握真值表并会应用真值表解决问题
重点：
通过数学实例，了解逻辑联结词“或、且”的含义，使学生能正确地表述相关数学内容。
难点：
一、正确理解命题“P∧q”“P∨q”真假的规定和判定．二、简练、准确地表述命题“P∧q”“P∨q”.
二、问题导学：
问题1：
下列各组命题中，三个命题间有的关系：
（1）①12能被3整除；
②12能被4整除；
③12能被3整除且能被4整除。
______
（2）①27是7的倍数；
②27是9的倍数；
③27是7的倍数或是9的倍数。
______个三角形相似。
二、一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就取得一个新命题，记作______
读作“______”。
一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就取得一个新命题，记作______,读作“______”。
说明：
符号“∧”与“∩”开口都是向下，符号“∨”与“∪”开口都是向上。
注意：
“p或q”，“p且q”，命题中的“p”、“q”是两个命题，而原命题，逆命题，否命题，逆否命题中的“p”,“q”是一个命题的条件和结论两个部份.
3、命题“p∧q”与命题“p∨q”的真假的规定
p
q
p∧q
真
真
真
真
假
假
假
真
假
假
假
假
p
q
p∨q
真
真
真
真
假
真
假
真
真
假
假
假
（即一假则假）（即一真则真）
一般地，咱们规定：
当p，q都是真命题时，p∧q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q是假命题；当p，q两个命题中有一个是真命题时，p∨q是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，p∨q是假命题。
三、探讨解疑
例1：
将下列命题别离用“且”与“或”联结成新命题“p∧q”与“p∨q”的形式，并判断它们的真假。
（1）p：
平行四边形的对角线彼此平分，q：
平行四边形的对角线相等。
（2）p：
菱形的对角线彼此垂直，q：
菱形的对角线彼此平分；
（3）p：
35是15的倍数，q：
35是7的倍数.
解：
（1）p∧q：
平行四边形的对角线彼此平分且平行四边形的对角线相等.也可简写成
平行四边形的对角线彼此平分且相等.
p∨q:
平行四边形的对角线彼此平分或平行四边形的对角线相等.也可简写成
平行四边形的对角线彼此平分或相等.
由于p是真命题,且q也是真命题,所以p∧q是真命题,p∨q也是真命题．
（2）p∧q：
菱形的对角线彼此垂直且菱形的对角线彼此平分.也可简写成
菱形的对角线彼此垂直且平分.
p∨q:
菱形的对角线彼此垂直或菱形的对角线彼此平分.也可简写成
菱形的对角线彼此垂直或平分.
由于p是真命题,且q也是真命题,所以p∧q是真命题,p∨q也是真命题．
（3）p∧q：
35是15的倍数且35是7的倍数.也可简写成
35是15的倍数且是7的倍数.
p∨q:
35是15的倍数或35是7的倍数.也可简写成
35是15的倍数或是7的倍数.
由于p是假命题,q是真命题,所以p∧q是假命题,p∨q是真命题．
说明，在用＂且＂或＂或＂联结新命题时，若是简写，应注意维持命题的意思不变．
例2：
选择适当的逻辑联结词“且”或“或”改写下列命题，并判断它们的真假。
（1）1既是奇数，又是素数；
（2）2是素数且3是素数；
（3）2≤2．
解略．
例3、判断下列命题的真假；
（1）6是自然数且是偶数
（2）∅是A的子集且是A的真子集；
（3）集合A是A∩B的子集或是A∪B的子集；
（4）周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等．解略．
四．教师点评
符号“∧”与“∩”开口都是向下，符号“∨”与“∪”开口都是向上。
五．归纳总结
p∧q一假则假，p∨q一真则真
六、知识过关
正确应用逻辑联结词“或、且”解决问题
掌握真值表并会应用真值表解决问题
七、当堂检测
练习第1，2题
习题１.３Ａ组第一、2题
1.3.3非
一、教学目标
一、掌握逻辑联结词“非”的含义
二、正确应用逻辑联结词“非”解决问题
3、掌握真值表并会应用真值表解决问题
重点：
通过数学实例，了解逻辑联结词“非”的含义，使学生能正确地表述相关数学内容.
难点：
一、正确理解命题“￢P”真假的规定和判定．
二、简练、准确地表述命题“￢P”
二、问题导学
1：
下列各组命题中的两个命题间的关系：
（1）①35能被5整除；②35不能被5整除；______
（2）①方程x2+x+1=0有实数根。
②方程x2+x+1=0无实数根。
______
学生很容易看到，在每组命题中，命题②是命题①的否定。
二、归纳概念：
一般地，对一个命题p通盘否定，就取得一个新命题，记作______
读作______。
3、命题“￢p”与命题p的真假间的关系
若p是真命题，则￢p必是假命题；若p是假命题，则￢p必是真命题；
p
￢P
真
假
假
真
4、命题的否定与否命题的区别
命题的否定是不是定命题的结论，而命题的否命题是对原命题的条件和结论同时进行否定，
五、若是命题p:
5是15的约数，那么
命题￢p：
5不是15的约数；
p的否命题：
若一个数不是5，则那个数不是15的约数。
显然，命题p为真命题，而命题p的否定￢p与否命题均为假命题。
三、探讨解疑
例1 写出下表中各给定语的否定语。
若给定语为
等于
大于
是
都是
至多有一个
至少有一个
其否定语分别为
分析：
“等于”的否定语是“不等于”；
“大于”的否定语是“小于或等于”；
“是”的否定语是“不是”；
“都是”的否定语是“不都是”；
“至多有一个”的否定语是“至少有两个”；
“至少有一个”的否定语是“一个都没有”；
例2：
写出下列命题的否定，判断下列命题的真假
（1）p：
y＝sinx是周期函数；
（2）p：
3＜2；
（3）p：
空集是集合A的子集。
四．教师点评
熟练掌握常常利用否定语
五．归纳总结
“等于”的否定语是“不等于”；
“大于”的否定语是“小于或等于”；
“是”的否定语是“不是”；
“都是”的否定语是“不都是”；
“至多有一个”的否定语是“至少有两个”；
“至少有一个”的否定语是“一个都没有”；
六、知识过关
正确应用逻辑联结词“非”解决问题
七、当堂检测
练习第3题
习题１.３Ａ组第3题
1．4全称量词与存在量词
1.4.1全称量词存在量词
一、教学目标
1.熟悉常见的全称量词和存在量词．
二、了解特称量词的全称命题和特称命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及
判断其命题的真假性
重点:
理解全称量词与存在量词的意义
难点:
全称命题和特称命题真假的判定.
二、问题导学
一、下列语句是命题吗？
假设是命题你能判断它的真假。
（1）2x＋１是整数；____________
（2）x＞３；______
（3）若是两个三角形全等，那么它们的对应边相等；______
（4）平行于同一条直线的两条直线彼此平行；______
（5）所有有中国国籍的人都是黄种人；______
（6）对所有的x∈Ｒ,x＞３；______
（7）对任意一个x∈Ｚ，2x＋１是整数。
______
二、“所有的”“任意一个”如此的词语，这些词语一般在指定的范围内都表示整体或全数，如此的词叫做______，用符号“∀”表示，______，叫做全称命题。
3、“存在一个”“至少有一个”如此的词语，这些词语都是表示整体的一部份的词叫做______。
并用符号“
”表示。
______叫做特称命题（或存在命题）
4、特称命题：
“存在M中一个x，使p（x）成立”能够用符号简记为：
______读做“存在一个x属于M,使p（x）成立”．
全称量词相当于日常语言中“凡”，“所有”，“一切”，“任意一个”等；存在量词相当于日常语言中“存在一个”，“有一个”，“有些”，“至少有一个”，“最多有一个”等.
三、探讨解疑
例一、
（1）下列全称命题中，真命题是：
A.所有的素数是奇数；B.
；
C.
D.
（2）下列特称命题中，假命题是：
A.
B.至少有一个
能被2和3整除
C.存在两个相交平面垂直于同一直线
是有理数．
（3）已知：
对
恒成立，则a的取值范围是；
（4）求函数
的值域；
四．教师点评
全称量词相当于日常语言中“凡”，“所有”，“一切”，“任意一个”等；存在量词相当于日常语言中“存在一个”，“有一个”，“有些”，“至少有一个”，“最多有一个”等.
五．归纳总结
熟练常常利用的全称量词和特称量词
六、知识过关
能用数学符号表示含有量词的命题及
判断其命题的真假性
七、当堂检测
一、已知：
对
恒成立，则a的取值范围是；
二、已知：
对
方程
有解，求a的取值范围．
1．4．3含有一个量词的命题的否定
一、教学目标
1.归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的转变规律．
二、正确地对含有一个量词的命题进行否定．
教学重点：
通过探讨，了解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的转变规律，会正确地对含有一个量词的命题进行否定．
教学难点：
正确地对含有一个量词的命题进行否定．
二、问题导学
一、判断下列命题是全称命题仍是特称命题，写出下列命题的否定。
（1）所有
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