答案 -1
解析 由题意得,利用平移变化的知识画出函数|f(x)|,g(x)的图象如图,
而h(x)=
故h(x)的最小值为-1.
4.已知定义在R上的偶函数满足:
f(x+4)=f(x)+f
(2),且当x∈[0,2]时,y=f(x)单调递减,给出以下四个命题:
①f
(2)=0;②x=-4为函数y=f(x)图象的一条对称轴;③函数y=f(x)在[8,10]上单调递增;④若方程f(x)=m在[-6,-2]上的两根为x1,x2,则x1+x2=-8.
则所有正确命题的序号为________.
答案 ①②④
解析 令x=-2,得f
(2)=f(-2)+f
(2),又函数f(x)是偶函数,故f
(2)=0,①正确;
根据①可得f(x+4)=f(x),可得函数f(x)的周期是4,
由于偶函数的图象关于y轴对称,故x=-4也是函数y=f(x)图象的一条对称轴,②正确;
根据函数的周期性可知,函数f(x)在[8,10]上单调递减,③不正确;
由于函数f(x)的图象关于直线x=-4对称,
故如果方程f(x)=m在区间[-6,-2]上的两根为x1,x2,则
=-4,
即x1+x2=-8,④正确.故正确命题的序号为①②④.
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1.设函数f(x)=x3cosx+1.若f(a)=11,则f(-a)=________.
答案 -9
解析 令g(x)=f(x)-1=x3cosx,
∵g(-x)=(-x)3cos(-x)=-x3cosx=-g(x),
∴g(x)为定义在R上的奇函数.又∵f(a)=11,
∴g(a)=f(a)-1=10,g(-a)=-g(a)=-10.
又g(-a)=f(-a)-1,∴f(-a)=g(-a)+1=-9.
2.(2014·浙江改编)在同一直角坐标系中,函数f(x)=xa(x≥0),g(x)=logax的图象可能是________.
答案 ④
解析 幂函数f(x)=xa的图象不过(0,1)点,图象①不正确;②由对数函数f(x)=logax的图象知01,而此时幂函数f(x)=xa的图象应是增长越来越快的变化趋势,故③错.图象④是正确的.
3.(2014·朝阳模拟)已知函数y=f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=lgx,则f
的值为________.
答案 -lg2
解析 当x<0时,-x>0,则f(-x)=lg(-x).
又函数f(x)为奇函数,f(-x)=-f(x),
所以当x<0时,f(x)=-lg(-x).
所以f
=lg
=-2,
f
=f(-2)=-lg2.
4.设函数f(x)=x(ex+ae-x)(x∈R)是偶函数,则实数a的值为________.
答案 -1
解析 因为f(x)是偶函数,所以恒有f(-x)=f(x),即-x(e-x+aex)=x(ex+ae-x),化简得x(e-x+ex)(a+1)=0.因为上式对任意实数x都成立,所以a=-1.
5.设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0),则f(x-2)>0的解集为________.
答案 {x|x<0或x>4}
解析 由于函数f(x)是偶函数,因此有f(|x|)=f(x),不等式f(x-2)>0,
即f(|x-2|)>0,f(|x-2|)=2|x-2|-4>0,
|x-2|>2,
即x-2<-2或x-2>2,由此解得x<0或x>4.
∴f(x-2)>0的解集为{x|x<0或x>4}.
6.使log2(-x)答案 (-1,0)
解析 在同一坐标系内作出y=log2(-x),y=x+1的图象,知满足条件的x∈(-1,0).
7.函数f(x)=
的图象上关于y轴对称的点共有________对.
答案 3
解析 因为y=cosπx是偶函数,图象关于y轴对称.
所以,本题可转化成求函数y=log3x与y=cosπx图象的交点个数的问题.
作函数图象如图,可知它们有三个交点,即函数f(x)图象上关于y轴对称的点有3对.
8.(2013·天津)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增.若实数a满足f(log2a)+f(log
a)≤2f
(1),则a的取值范围是________.
答案
解析 由题意知a>0,又log
a=log2a-1=-log2a.
∵f(x)是R上的偶函数,
∴f(log2a)=f(-log2a)=f(log
a).
∵f(log2a)+f(log
a)≤2f
(1),
∴2f(log2a)≤2f
(1),即f(log2a)≤f
(1).
又∵f(x)在[0,+∞)上递增.
∴|log2a|≤1,-1≤log2a≤1,
∴a∈
.
9.已知函数f(x)=
则f(ln3)=________.
答案 e
解析 f(ln3)=f(ln3+1)=
eln3+1=e,故填e.
10.已知函数f(x)=x|x-a|,若对任意的x1,x2∈[2,+∞),且x1≠x2,(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]>0恒成立,则实数a的取值范围为________.
答案 {a|a≤2}
解析 f(x)=
由(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0知,函数y=f(x)在[2,+∞)单调递增,当a≤0时,满足题意,当a>0时,只需a≤2,即011.设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[-1,1]上,f(x)=
其中a,b∈R.若f
=f
,则a+3b的值为________.
答案 -10
解析 因为f(x)的周期为2,
所以f
=f
=f
,
即f
=f
.
又因为f
=-
a+1,f
=
=
,
所以-
a+1=
.
整理,得a=-
(b+1).①
又因为f(-1)=f
(1),
所以-a+1=
,即b=-2a.②
将②代入①,得a=2,b=-4.
所以a+3b=2+3×(-4)=-10.
12.已知定义在R上的函数y=f(x)满足以下三个条件:
①对于任意的x∈R,都有f(x+4)=f(x);
②对于任意的x1,x2∈R,且0≤x1<x2≤2,都有f(x1)<f(x2);
③函数y=f(x+2)的图象关于y轴对称.
则判断f(4.5),f(6.5),f(7)的大小关系为________.
答案 f(4.5)<f(7)<f(6.5)
解析 由已知得f(x)是以4为周期且关于直线x=2对称的函数.所以f(4.5)=f(4+
)=f(
),
f(7)=f(4+3)=f(3),
f(6.5)=f(4+
)=f(
).
又f(x)在[0,2]上为增函数.
所以作出其在[0,4]上的图象知
f(4.5)<f(7)<f(6.5).
13.设函数f(x)=
(x∈Z),给出以下三个结论:
①f(x)为偶函数;②f(x)为周期函数;③f(x+1)+f(x)=1,其中正确结论的序号是________.
答案 ①②③
解析 对于x∈Z,f(x)的图象为离散的点,关于y轴对称,①正确;f(x)为周期函数,T=2,②正确;f(x+1)+f(x)=
+
=1+
=1,③正确.
14.能够把圆O:
x2+y2=16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O的“和谐函数”,下列函数是圆O的“和谐函数”的是________.
①f(x)=ex+e-x;②f(x)=ln
;
③f(x)=tan
;④f(x)=4x3+x.
答案 ②③④
解析 由“和谐函数”的定义知,若函数为“和谐函数”,则该函数为过原点的奇函数.①中,f(0)=e0+e-0=2,所以f(x)=ex+e-x的图象不过原点,故f(x)=ex+e-x不是“和谐函数”;②中f(0)=ln
=ln1=0,且f(-x)=ln
=-ln
=-f(x),所以f(x)为奇函数,所以f(x)=ln
为“和谐函数”;③中,f(0)=tan0=0,且f(-x)=tan
=-tan
=-f(x),f(x)为奇函数,故f(x)=tan
为“和谐函数”;④中,f(0)=0,且f(x)为奇函数,故f(x)=4x3+x为“和谐函数”,所以,②③④中的函数都是“和谐函数”.