人教版七年级数学上册第2章整式的加减导学案.docx
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人教版七年级数学上册第2章整式的加减导学案
第二章整式的加减
2.1有用字母表示数量系
2.1单项式
【学习目标】:
1.理解单项式及单项式系数、次数的概念。
2.会准确迅速地确定一个单项式的系数和次数。
3.初步培养学生观察、分析、抽象、概括等思维能力和应用意识。
【重点难点】重点:
掌握单项式及单项式的系数、次数的概念。
难点:
区别单项式的系数和次数
【导学指导】:
一.知识链接:
1.列代数式
(1)若边长为a的正方体的表面积为________,体积为;
(2)铅笔的单价是x元,圆珠笔的单价是铅笔的2.5倍,圆珠笔的单价是元;
(3)一辆汽车的速度是v千米/小时,行驶t小时所走的路程是_______千米;
(4)设n是一个数,则它的相反数是________.
2.请学生说出所列代数式的意义。
3.请学生观察所列代数式包含哪些运算,有何共同运算特征。
(由小组讨论后,经小组推荐人员回答)
二、自主学习:
1.单项式:
通过上述特征的描述,从而概括单项式的概念,:
单项式:
即由_________与______的乘积组成的代数式称为单项式。
补充:
单独_________或___________也是单项式,如a,5。
2.练习:
判断下列各代数式哪些是单项式?
(1)
;
(2)abc;(3)b2;(4)-5ab2;(5)y+x;(6)-xy2;(7)-5。
解:
是单项式的有(填序号):
________________________
3.单项式系数和次数:
四个单项式
a2h,2πr,abc,-m中,请说出它们的数字因数和字母因数分别是什么?
单项式
a2h
2πr
abc
-m
数字因数
字母因数
小结:
一个单项式中,单项式中的数字因数称为这个单项式的________一个单项式中,_____________的指数的和叫做这个单项式的次数
4.学生阅读课本56页,完成例3
【当堂训练】:
1.课本p57:
1,2。
2.判断下列各代数式是否是单项式。
如不是,请说明理由;如是,请指出它的系数和次数。
①x+1;②
;③πr2;④-
a2b。
答:
3.下面各题的判断是否正确?
①-7xy2的系数是7;()②-x2y3与x3没有系数;()
③-ab3c2的次数是0+8+2;()④-a3的系数是-1;()
⑤-32x2y3的次数是7;()⑥
πr2h的系数是
。
()
【课堂小结】:
1.单项式:
2.单项式系数和次数:
3.通过例题及练习,应注意以下几点:
①圆周率π是常数;
②当一个单项式的系数是1或-1时,“1”通常省略不写,如x2,-a2b等;
③单项式次数只与字母指数有关
【拓展训练】:
1、
,x+1,-2,
,0.72xy,各式中单项式的个数是()
A.2个 B.3个C.4个D.5个
2、单项式-x2yz2的系数、次数分别是()
A.0,2B.0,4.C.-1,5D.1,4
【总结反思】:
2.1多项式
【学习目标】:
1.通过本节课的学习,使学生掌握整式多项式的项及其次数、常数项的概念。
2.能确定一个多项式的项数及其次数。
【重点难点】重点:
多项式的定义、多项式的项和次数,以及常数项等概念。
难点:
多项式的次数。
【导学指导】:
一、温故知新:
1.下列说法或书写是否正确:
①1x②-1x③a×3④a÷2⑤
⑥b的系数为1,次数为0⑦
的系数为2,次数为2
2.列代数式:
(1)长方形的长与宽分别为a、b,则长方形的周长是;
(2)某班有男生x人,女生21人,则这个班共有学生人;
(3)一个数比数x的2倍小3,则这个数为_________;
(4)鸡兔同笼,鸡a只,兔b只,则共有头个,脚只。
2.观察以上所得出的四个代数式与上节课所学单项式有何区别。
(由小组讨论后,经小组推荐人员回答)
二、自主探究:
1.多项式:
学生阅读课本58页完成下列问题:
上面这些代数式都是由几个单项式相加而成的。
像这样,_______________的和叫做多项式。
在多项式中,每个单项式叫做多项式的___。
其中,不含字母的项,叫做_______。
例如,多项式
有_____项,它们是______________。
其中常数项是________。
一个多项式含有几项,就叫几项式。
多项式里________________________,叫做这个多项式的次数。
例如,多项式
是一个____次______项式。
问题:
(1)多项式的次数是所有项的次数之和吗?
(2)多项式的每一项都包括它前面的符号吗?
例题讲解
例1:
指出下列多项式的项和次数:
(1)3x-1+3x2;
(2)4x3+2x-2y2。
例2:
已知代数式3xn-(m-1)x+1是关于x的三
次二项式,求m、n的条件。
2、自学书本例4(教师指导)
注:
__________与___________统称整式。
【当堂训练】:
1.课本58页1、2(直接做在课本上)
2、指出下列多项式是几次几项式。
(1)x3-x+1;
(2)x3-2x2y2+3y2。
3、用多项式表示:
(1)一辆汽车以x千米/小时行驶d千米路程,若速度加快10千米/小时,则可少用多少小时?
(2)一批运动服按原价85%(八五折)出售,每套售价为y元,则这批运动服装原价为多少?
【课堂小结】:
1.你知道多项式的定义、多项式的项和次数,以及常数项等概念了吗?
2.整式的概念:
__________与___________统称整式。
【拓展训练】:
1.下列说法中,正确的是()
2.下列关于23的次数说法正确的是()
A.2次B.3次C.0次D.无法确定
3.-
a2b-
ab+1是次项式,其中三次项系数是,二次项为,常数项为,写出所有的项。
4.如果
为四次单项式,则m=____;
【总结反思】:
2.2同类项
【学习目标】:
1.理解同类项的概念,在具体情景中,认识同类项。
2.初步体会数学与人类生活的密切联系。
【重点难点】重点:
理解同类项的概念。
难点:
根据同类项的概念在多项式中找同类项。
【导学指导】:
一.知识链接
1.运用有理数的运算律计算:
(1)100×2+252×2=__________,
(2)100×(-2)+252×(-2)=__________,
(3)100t+252t=__________,
思路点拨:
根据逆用乘法对加法的分配律可得。
2.请根据上面得到结论的方法探究下面各式的结果:
(1)100t—252t=()t
(2)3x2+2x2=()x2
(3)3ab2-4ab2=()ab2
上述运算有什么共同特点,你能从中得出什么规律?
二.自主学习
同类项的定义:
1.观察:
3x2和2x2;3ab2与-4ab2在结构上有哪些相同点和不同点?
2.归纳:
_______________________________________________叫做同类项
____________________也是同类项。
如3和-5是同类项
【当堂训练】:
1、判断下列说法是否正确,正确地在括号内打“√”,错误的打“×”。
(1)3x与3mx是同类项。
()
(2)2ab与-5ab是同类项。
()
(3)3x2y与-
yx2是同类项。
()(4)5ab2与-2ab2c是同类项。
()
(5)23与32是同类项。
()
2、下列各组式子中,是同类项的是()
A、
与
B、
与
C、
与
D、
与
3、在下列各组式子中,不是同类项的一组是()
A、2,-5B、-0.5xy2,3x2y
C、-3t,200πtD、ab2,-b2a
4、已知xmy2与-5ynx3是同类项,则m=,n=。
5、指出下列多项式中的同类项:
(1)3x-2y+1+3y-2x-5;
(2)3x2y-2xy2+
xy2-
yx2;
6、游戏:
规则:
一学生说出一个单项式后,指定一位同学回答它的两个同类项。
要求出题同学尽可能使自己的题目与众不同。
请回答正确的同学向大家介绍写一个单项式同类项的经验,从而揭示同类项的本质特征,透彻理解同类项的概念。
【课堂小结】:
1.同类项的概念:
2.注意:
1两个相同:
字母相同;相同字母的指数相等。
2两个无关:
与系数无关;与字母顺序无关。
3所有的常数项都是同类项。
4两个项虽然所含字母相同,但相同字母的指数不全相同就不是同类项。
【拓展训练】:
1、若
和
是同类项,则m=_________,n=___________。
2、若把(s+t)、(s-t)分别看作一个整体,指出下面式子中的同类项。
(1)
(s+t)-
(s-t)-
(s+t)+
(s-t);
(2)2(s-t)+3(s-t)2-5(s-t)-8(s-t)2+(s-t)。
3、观察下列一串单项式的特点:
,
,
,
,
,…
(1)按此规律写出第6个单项式.
(2)试猜想第n个单项式为多少?
它的系数和次数分别是多少?
【总结反思】:
2.2合并同类项
【学习目标】:
理解合并同类项的概念,掌握合并同类项的法则。
【重点难点】:
正确合并同类项。
【导学指导】
一、知识链接
1.下列各组式子中是同类项的是().
A.-2a与a2B.2a2b与3ab2C.5ab2c与-b2acD.-
ab2和4ab2c
2、思考
⑴6个人+4个人=⑵6只羊+4只羊=⑶6个人+4只羊=
二.自主探究
1.思考:
具备什么特点的多项式可以合并呢?
2.因为多项式中的字母表示的是数,所以我们也可以运用交换律、结合律、分配律把多项式中的同类项进行合并.例如,
4x2+2x+7+3x-8x2-2(找出多项式中的同类项)
=(交换律)
=(结合律)
=(分配律)
=
把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项.
3.合并同类项后,所得项的系数、字母以及字母的指数与合并前各同类项的系数、字母及字母的指数有什么联系?
归纳:
(1)合并同类项法则:
在合并同类项时,把同类项的系数相加,字母和字母的指数保持不变。
(2)若两个同类项的系数互为相反数,则两项的和等于零,
如-3ab2+3ab2=(-3+3)ab2=0·ab2=0。
多项式中只有同类项才能合并,不是同类项不能合并。
例1.合并下列各式的同类项:
(1)xy2-
xy2;
(2)-3x2y+2x2y+3xy2-2xy2;(3)4a2+3b2+2ab-4a2-4b2
解:
例2.
(1)求多项式2x2-5x+x2+4x-3x2-2的值,其中x=
。
(2)求多项式3a+abc-
c2-3a+
c2的值,其中a=-
,b=2,c=-3。
解:
(1)2x2-5x+x2+4x-3x2-2(仔细观察,标出同类项)解:
(2)3a+abc
-3a
例3(学生自学)
【当堂训练】
1.下列各题合并同类项的结果对不对?
若不对,请改正。
(1)2x2+3x2=5x4;
(2)3x+2y=5xy;(3)7x2-3x2=4;(4)9a2b-9ba2=0。
2.课本P65页,练习第1、2、3、4题.
(教师巡视,关注中下程度的学生,适时给予指导,学生独立练习,选择中等程度的学生上黑板演算)。
【要点归纳】:
1.什么叫合并同类项?
2.怎样合并同类项?
3.合并同类项的依据是什么?
【拓展训练】:
1.求多项式3x2+4x-2x2-x+x2-3x-1的值,其中x=-3。
2.求多项式a2b-6ab-3a2b+5ab+2a2b的值,其中a=0.1,b=0.01;
【总结反思】:
2.2去括号
【学习目标】:
能运用运算律探究去括号法则,并且利用去括号法则将整式化简。
【重点难点】重点:
去括号法则,准确应用法则将整式化简。
难点:
括号前面是“-”号去括号时,括号内各项变号容易产生错误。
【导学指导】
一、温故知新:
1.合并同类项:
(1)
(2)
(3)
(4)
二、自主探究
1.利用合并同类项可以把一个多项式化简,在实际问题中,往往列出的式子含有括号,那么该怎样化简呢?
现在我们来看本章引言中的问题(3):
在格尔木到拉萨路段,如果列车通过冻土地段要t小时,那么它通过非冻土地段的时间为(t-0.5)小时,于是,冻土地段的路程为100t千米,非冻土地段的路程为120(t-0.5)千米,因此,这段铁路全长为100t+120(t-0.5)千米①
冻土地段与非冻土地段相差100t-120(t-0.5)千米②
上面的式子①、②都带有括号,它们应如何化简?
100t+120(t-0.5)=100t+=
100t-120(t-0.5)=100t=
我们知道,化简带有括号的整式,首先应先去括号.上面两式去括号部分变形分别为:
+120(t-0.5)=③-120(t-0.5)=④
比较③、④两式,你能发现去括号时符号变化的规律吗?
归纳去括号的法则:
法则1:
如果括号外的因数是正数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同;
法则2:
如果括号外的因数是负数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。
特别地,+(x-3)与-(x-3)可以分别看作1与-1分别乘(x-3);
2.范例学习
例4.化简下列各式:
(1)8a+2b+(5a-b);
(2)(5a-3b)-3(a2-2b);
例5.两船从同一港口同时出发反向而行,甲船顺水,乙船逆水,两船在静水中的速度都是50千米/时,水流速度是a千米/时.
(1)2小时后两船相距多远?
(2)2小时后甲船比乙船多航行多少千米?
去括号时强调:
括号内每一项都要乘以2,括号前是负因数时,去掉括号后,括号内每一项都要变号.为了防止出错,可以先用分配律将数字2与括号内的各项相乘,然后再去括号,熟练后,再省去这一步,直接去括号。
【当堂训练】
1.课本第67页练习1、2题.
【要点归纳】:
去括号时,特别是括号前面是“-”号时,括号连同括号前面的“-”号去掉,括号里的各项都改变符号.去括号规律可以简单记为“-”变“+”不变,要变全都变.当括号前带有数字因数时,这个数字要乘以括号内的每一项,切勿漏乘某些项,可结合乘法分配律来理解。
【拓展训练】:
1.下列各式化简正确的是()。
A.a-(2a-b+c)=-a-b+cB.(a+b)-(-b+c)=a+2b+c
C.3a-[5b-(2c-a)]=2a-5b+2cD.a-(b+c)-d=a-b+c-d
2.下面去括号错误的是().
A.a2-(a-b+c)=a2-a+b-cB.5+a-2(3a-5)=5+a-6a+5
C.3a-
(3a2-2a)=3a-a2+
aD.a3-[(a2-(-b))=a3-a2-b
3.计算:
5xy2-[3xy2-(4xy2-2x2y)]+2x2y-xy2.(一般地,先去小括号,再去中括号。
)
【总结反思】:
2.2整式的加减
【学习目标】:
让学生从实际背景中去体会进行整式的加减的必要性,并能灵活运用整式的加减的步骤进行运算。
【重点难点】重点:
正确进行整式的加减。
难点:
总结出整式的加减的一般步骤。
【导学指导】
一、知识链接
1.多项式中具有什么特点的项可以合并,怎样合并?
2.如何去括号,它的依据是什么?
去括号、合并同类项是进行整式加减的基础.
二、自主学习
例6.计算:
(1)(2x-3y)+(5x+4y)
(2)(8a-7b)-(4a-5b).
(解答由学生自己完成,教师巡视,关注学习有困难的学生)。
.
例7.一种笔记本的单价是x(元),圆珠笔的单价是y(元),小红买这种笔记本3本,买圆珠笔2枝;小明买这种笔记本4个,买圆珠笔3枝,买这些笔记本和圆珠笔,小红和小明共花费多少钱?
长
宽
高
小纸盒
a
b
c
大纸盒
1.5a
2b
2c
例8.做大小两个长方体纸盒,尺寸如下(单位:
厘米).
(1)做这两个纸盒共用料多少平方厘米?
(2)做大纸盒比小纸盒多用料多少平方厘米?
(学生小组学习,讨论解题方法.)
(思路点拨:
让学生自己归纳整式加减运算法则,发展归纳、表达能力.一般地,几个整式相加减,如果有括号就先去括号,然后再合并同类项.)
例9.求
x-2(x-
y2)+(-
x+
y2)的值,其中x=-2,y=
.
(思路点拨:
先去括号,合并同类项化简后,再代入数值进行计算比较简便,去括号时,特别注意符号问题。
)
【当堂训练】
1.课本P70页练习1、2、3题。
【课堂小结】:
1.整式的加减实际上就是去括号、合并同类项这两个知识的综合。
2.整式的加减的一般步骤:
①如果有括号,那么先算括号。
②如果有同类项,则合并同类项。
3.求多项式的值,一般先将多项式化简再代入求值,这样使计算简便。
【拓展训练】:
1.如果a-b=
,那么-3(b-a)的值是().
A.-
B.
C.
D.
2.一个多项式与x2-2x+1的和是3x-2,则这个多项式为().
A.x2-5x+3B.-x2+x-1C.-x2+5x-3D.x2-5x-13
3.先化简再求值:
4x2y-[6xy-3(4xy-2)-x2y]+1,其中x=2,y=-
;
【总结反思】:
第二章整式的加减复习
【复习目标】:
1.进一步理解单项式、多项式、整式及其有关概念,准确确定单项式的系数、次数、多项式的项、次数;
2.理解同类项概念,掌握合并同类项法则和去括号规律,熟练地进行整式加减。
【重点难点】:
整式加减运算
【导学指导】
一、知识回顾
1、______和______统称整式。
(1)单项式:
由与的乘积式子称为单项式。
单独一个数或一个字母也是单项式,如a,5。
单项式的系数:
单式项里的叫做单项式的系数
单项式的次数:
单项式中叫做单项式的次数
(2)多项式:
几个的和叫做多项式。
其中,每个单项式叫做多项式的,不含字母的项叫做。
多项式的次数:
多项式里的次数,叫做多项式的次数
2、同类项:
必须同时具备的两个条件(缺一不可):
①所含的相同;
②相同也相同
合并同类项,就是把多项式中的同类项合并成一项。
方法:
把各项的相加,而不变。
3、去括号法则
法则1:
法则2:
去括号法则的依据实际是。
4、整式的加减
整式的加减的运算法则:
如遇到括号,则先,再;
5、本章需要注意的几个问题
①整式(既单项式和多项式)中,分母一律不能含有字母。
②π不是字母,而是一个数字,
③多项式相加(减)时,必须用括号把多项式括起来,才能进行计算。
④去括号时,要特别注意括号前面的因数。
二、【当堂训练】
1、在
中,单项式有:
多项式有:
,整式有:
.
2、已知-7x2ym是7次单项式则m=
3、一种商品每件a元,按成本增加20%定出的价格是;后来因库存积压,又以原价的八五折出售,则现价是元;每件还能盈利元。
4.单项式-
的系数是,次数是;
5.已知-5xmy3与4x3yn能合并,则mn=。
6、7-2xy-3x2y3+5x3y2z-9x4y3z2是次项式,其中最高次项是,最高次项的系数是,常数项是,是按字母作幂排列。
8、已知x-y=5,xy=3,则3xy-7x+7y=。
9、已知A=3x+1,B=6x-3,则3A-B=。
10.已知单项式3
与-
的和是单项式,那么
= ,n=
11.化简3
-2(
-3
)的结果是.
12.计算:
(1)3(xy2-x2y)-2(xy+xy2)+3x2y;
(2)5a2-[a2+(5a2-2a)-2(a2-3a)];
思路点拨:
整式加减运算,有括号时,应先去括号,再合并同类项,多种括号时,一般地先去小括号,再去中括号,最后再去大括号.
解:
(1)原式=
(2)原式=
13、求5ab-2[3ab-(4ab2+
ab)]-5ab2的值,其中a=
,b=-
;
14.电影院第1排有a个座位,后面每排都比前一排多1个座位,第2排有多少个座位?
第3排呢?
用m表示第n排座位数,m是多少?
当a=20,n=19时,计算m的值.
15、某中学3名老师带18名学生,门票每张a元,有两种购买方式:
第一种是老师每人a元,学生半价;第二种是不论老师学生一律七五折,请你帮他们算一下,按哪种方式购买门票比较省钱。
【要点归纳】:
【拓展训练】:
1.多项式2-
-4
,它的项数为,次数是;
2.已知轮船在逆水中前进的速度是
千米/时,水流的速度是2千米/时,则这轮船在静水中航行的速度是千米/时。
3.计算:
x-2(1-2x+x2)+3(-2+3x-x2)
4.已知ab=3,a+b=4,求3ab-[2a-(2ab-2b)+3]的值。
5、已知:
(x+2)2+|y+1|=0,求5xy2-2x2y-[3xy2-(4xy2-2x2y)]的值。
6.有这样一道题:
“当
时,求多项式
的值.”有一位同学指出,题目中给出的条件
与
是多余的,他的说法有道理吗?
请加以说明。
7、若(x2+ax-2y+7)―(bx2―2x+9y-1)的值与字母x的取值无关,求a、b的值。
8.用式子表示十位上的数是a,个位上的数是b的两位数,再把这个两位数的十位上的数与个位上的数交换位置,计算所得的数与原数的和,这个数能被11整除吗?
9.大客车上原有
人,中途有一半人下车,又上车若干人,此时车上共有乘客
人,请问中途上车的共有多少人?
当
时,中途上车的乘客有多少人?
10.某学生由于看错了运算符号,把一个整式减去多项式
误认为是加上这个多项式,结果得出的答案是
,求原题的正确答案。
【总结反思】: