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期中考试复习资料（1-4章）一
学生姓名：
班级：
年级科目：
证明
（二）复习
【梳理知识】
1、全等三角形
（1）定义：
能够完全的三角形是全等三角形。
（2）性质：
全等二角形的、相等。
（3）判定：
"SAS"、、、、o
2、等腰三角形
（1）定义：
有两条的三角形是等腰三角形。
（2）性质：
①等腰三角形的相等。
（“等边对等角”）
2等腰三角形的顶角平分线、、互相重合。
（）
3等腰三角形是图形。
（3）判定：
①定义②"”
（4）等边三角形定义：
的三角形是等边三角形。
性质：
①三角都等于②具有等腰三角形的一切性质。
判定：
①定义②有一个角是等边三角形。
3、直角三角形
（1）定义：
有一个角是的三角形是直角三角形。
（2）性质：
①“勾股定理“=
2直角三角形两锐角o
3直角三角形斜边上的中线等于o
4在直角三角形中，30°角所对直角边等于。
（3）判定：
①定义②两锐角的三角形是直角三角形
③“勾股定理逆定理“。
4、角平分线
（1）定义：
=
（2）性质：
①角平分线上的点相等。
②二角形的二条角平分线,且到相等。
（3）判定：
到角的两边的点，在这个角的平分线上。
（4）角平分线的作法：
5、线段的垂直平分线
（1）定义：
一条线段的叫线段的垂直平分线。
（2）性质：
①线段垂直平分线上一点相等。
②三角形三边的垂直平分线,且到相等。
（3）判定：
到一条线段两个端点的点，在这条线段的垂直平分线上。
（4）线段的垂直平分线的作法：
6、命题：
判断一件事的句子叫命题。
命题有与两部分。
互逆命题：
在两个命题中，如果一个命题的是另一个命题的
那么这两个命题成为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的—
7、逆定理：
如果一个定理的逆命题是真命题，那么这个逆命题就叫原定理的逆定理.
一、知识要点填空：
1、证明两个钝角或锐角三角形全等的方法有：
2、只用于证明两个直角三角形全等的方法是：
3、等腰三角形的两个底角。
（简称：
）
4、有两个角相等的三角形是三角形。
（简称：
）
5、等腰三角形顶角的、底边上的、底边上的互相重合。
（简称：
）
6、三个角都相等的三角形是三角形；三条边都相等的三角形是三角形。
7、有一个角等于°的等腰三角形是等边三角形。
8、等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于°
9、在直角三角形中，如果一个锐角等于30。
那么它所对的直角边等于
10、勾股定理：
直角三角形两条直角边的平方和等于
11、如果三角形两边的等于第三边的,那么这个三角形是直角三角形。
12、线段垂直平分线上的点到这条线段
13、到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的
14、角平分线上的点到这个角的
15、在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的
16、三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到的距离相等。
17、三角形三个角的平分线相交于一点，并且这一点到的距离相等。
18、先假设命题的不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证
明命题的结论一定成立。
这种证明方法称为
19、在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为,其中一个命题称为另一个命题的逆命题。
20、如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为
其中一个定理称为另一个定理的逆定理。
二、填空题：
1.等腰三角形的一个角100。
，它的另外两个角的度数分别为o
2.在方格纸上有一个^ABC,它的顶点都在格点上，位置如图所示，则这个三角形
是三角形.
3.如图，已知，在△ABC和ADCB中，AC=DB,若不增加任何字母与辅助线，要使
Aabc^Adcb,则还需增加一个条件是.
4.如图，在等腰AA3C中，AB=27,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,若XBCE的周长为50,
则底边BC的长为.
5.如图，有一张直角二角形纸片，两直角边AC=5cm,BC=10cm,将ZkABC折叠，点B
与点A重合，折痕为DE,则CD的长为.
6.如图，在RtZXABC中，ZC=90°,ZB=15°,DE是AB的中垂线，垂足为D,交BC
于点E,若BE=4,贝iJAC=.
7.如图，有一块边长为12m的长方形绿地，在绿地旁边B处有健身器材，由于居住在A处的居民践踏了绿
地，小颖想在A处立一个标牌“少走步，踏之何忍？
”但小颖不知在“”处应填什么数字，请你
帮助她填上好吗？
（假设两步为1米）？
8.已知，如图，在ZXABC中，0B和0C分别平分ZABC和ZACB,过。
作DE/7BC,分别交AB、AC于点D、
E,若BD+CE=5,则线段DE的长为.
1.如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃.那么最省
事的办法是带（）去配.
A.①B.②C.③D.①和②
2.使两个直角三角形全等的条件（）
A、一锐角对应相等B、两锐角对应相等C、一条边对应相等D、两条边对应相等
3.下列说法中，正确的是（）.
A.两腰对应相等的两个等腰三角形全等B.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等
C.两锐角对应相等的两个直角三角形全等D.面积相等的两个三角形全等
4.如图，在AA3C中，AB=AC,£4=36°,BD和CE分别是ZA3C和ZAC3的平分线，且相交于点P.在
图4中，等腰二角形（不再添加线段和字母）的个数为（
A.9个B.8个C.7个D.6个
5.如图，Z15Z2,Z3表示三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）.
A.1处B.2处C.3处D.4处
5.要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C,D,使CD=BC,再作出BF的垂线DE,使A,C,E在同一条直线上（如图7）,可以证明AABCAEDC,得ED=AB.因此，测得DE的长就是AB的长，在这里判定AA5C^AEDC的条件是（）.
第
（1）题
第（4）题第（5）题第（6）题
四、作图题：
现在某地政府准备挖一口水井，供村庄A和村庄B使用，要求水井到村庄A和B的距离相等，并到公路m和n的距离相等。
只用直尺（没有刻度）和圆规，请作出水井的位置。
第一章证明
（二）水平测试
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分.）
1.两个直角三角形全等的条件是（）
（A）一锐角对应相等；（B）两锐角对应相等；
（C）一条边对应相等；（D）两条边对应相等.
2.到AA3C的二个顶点距离相等的点是山3。
的（）.
（A）三边垂直平分线的交点；（B）三条角平分线的交点；
（C）三条高的交点；（D）三边中线的交点.
3.如图，由Z1-Z2,BC=DC,AC=EC,得AABC0AEDC的根据是（
（A）SAS（B）ASA（C）AAS（D）SSS
4.AABC中，AB=AC,3。
平分ZA3C交AC边于点O,匕BDC=15°,
）
（第3题）
则£4的度数为（）
（A）35°（B）40°（C）70°（D）
5.下列两个三角形中，一定全等的是（）
（A）有一个角是40°,腰相等的两个等腰三角形；
（B）两个等边三角形；
（O有一个角是100°,底相等的两个等腰三角形；
（D）有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形.
6.适合条件ZA=Z5=-ZC的二角形一定是（）
3
（A）锐角二角形；（B）钝角二角形；（C）直角二角形;
110°
（第7题）
（D）任意二角形.
7.有一块边长为24米的正方形绿地，如图所示，在绿地旁边3处有健身器材，由于居住在A处的居民
践踏了绿地，小明想在A处树立一个标牌“少走■米，踏之何忍？
”请你计算后帮小明在标牌的“■”填上
适当的数字是（）.
（A）3米（B）4米（C）5米（D）6米
8.一个三角形如果有两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（）.
（A）等腰三角形；（B）等边三角形；（C）直角三角形；（D）等腰直角三角形.
9.如图，已知AC平分ZPAQ，点B、B'分别在边AP、AQ上，如果添加一个条件，即可推出卜
那么该条件不可以是（）
（第9题）
（A）BB'1AC
（B）BC=B'C
（C）ZACB=ZACB'
（D）ZABC=/AB'C
10.如图，FD1AO于D,FE1BO于E,下列条件：
①OF是£403的平分线；②DF=EF；③DO=EO；④ZOFD=ZOFE.其中能够证明ADOF丝AEOF的条件的个数有（）
（A）l个（B）2个（03个（D）4个
（第10题）
二、填空题（本大题有10小题，每小题3分，共30分.将答案填在题中横线上）
11.在AA3C中，边A3、BC、AC的垂直平分线相交于P,则PA、PB、PC的大小关系是.
12.如果等腰三角形的一个角是80°,那么顶角是度.
13.若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为.
14.AA3C中，ZC-90°,AO平分ZBAC,交3C于点。
，若OC=7,则。
到
AB的距离是.
B
（第15题）
（第20题）
15.如图，ZABC=ZDCB,需要补充一个直接条件才能使AABCADCB.甲、乙、丙、丁四位同学填写的条件分别是：
甲"AB=DC”；乙“AC=DB”；丙“ZA=ZD”；丁“ZACB=ZDBC那么这四位同学填写错误的是.
16.用反证法证明“二角形中至少有一个角不小于60°时，假设"”，则与
"矛盾，所以原命题正确.
17.补全“求作£403的平分线”的作法：
①在和03上分别截取OE,使OD=OE.②分别以D,E为圆心，以为半径画弧，两弧在ZAOB内交于点C.③作射线OC即为ZAOB的平分线.
18,一轮船以每小时20海里的速度沿正东方向航行.上午8时，该船在A处测得某灯塔位于
它的北偏东30°的3处（如图），上午9时行到C处，测得灯塔恰好在它的正北方向，此时它与灯塔的距离是海里（结果保留根号）.
19.在AA3C中，ZA=90°,AB=AC,3。
平分ZB交AC于O,DELBC于若
BC=10,则ADEC的周长是.
20.如图是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，它是山4个相同
的直角二角形拼和而成.若图中大小正方形的面积分别为52cm2和4c/n2,则直角二角形的两条直角边的和是cm.
三、解答题（本大题有6小题，共60分.）
21.
（8分）已知:
如图，ZA=ZD=90°,AC=BD.求证：
OB=OC.
22.（8分）如图，ZOBC=>OCB,ZAOB=ZAOC,请你写一个能用全部已知条件才能推出的结
论，并证明你的结论.
A
23.（10分）已知：
如图，在等边三角形A8C的AC边上取中点O,8C的延长线上取一点E,使CE
=CD.求证：
BD=DE.
C
24.（10分）已知：
如图，AA3C中，AB=AC,£4=120°.
（1）用直尺和圆规作A3的垂直平分线，分别交BC、A3于点M、N（保留作图痕迹，不写作法）.
（2）猜想函与BM之间有何数量关系，并证明你的猜想.
25.（本题满分12分）阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明.
已知：
如图，E是3C的中点，点A在OE上，且ZBAE=ZCDE.
求证：
AB=CD.
分析：
证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个二角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等.因此，要证AB=CD,必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形.
现给出如下二种添加辅助线的方法，请任意选择其中一种，对原题进行证明.
26.（12分）已知：
如图，点C为线段A3上一点，AACM.△C3N是等边二角形，可以说明：
AACNMAMC3,从而得到结论：
AN=BM.现要求：
（1）将AACM绕C点按逆时针方向旋转180°,使A点落在C3上.请对照原题图在下图中画出符合要求的图形（不写作法，保留作图痕迹）.
（2）在
（1）所得到的图形中，结论“AN=BM”是否还成立？
若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.
（3）在
（1）所得到的图形中，设心的延长线与反V相交于。
点，请你判断与四边形的形状，并说明你的结论的正确性.
证明（三）
一.本章知识网络（理解、记忆）
1知识网络图不：
2、几种特殊平行四边形的性质:
边
角
对角线
对称性
平行四边形
矩形
菱形
正方形
等腰梯形
3、几种特殊平行四边形的判定方法:
平行四边形
矩形
菱形
正方形
等腰梯形
平行四边形的性质：
1平行四边形的对边平行；
2平行四边形的对边;
3平行四边形的对角;
4平行四边形的对角线;
推论：
夹在两平行线间的平行线段
等腰梯形的性质：
①等腰梯形的两个角相等;
平行四边形的判定方法：
1两组对边分别的四边形是平行四边形；
2两组对边分别的四边形是平行四边形；
3一组对边且的四边形是平行四边形;
4互相平分四边形是平行四边形；
5两组对角分别的四边形是平行四边形
等腰梯形的常用判定方法：
1同一底上的两个角相等的梯形是；
2等腰梯形的两条对角线;②相等的梯形是等腰梯形.
三角形中位线定理：
三角形的平行于第三边，且等于.
矩形的性质：
1矩形的四个角都是;
2矩形的对角线;
推论：
直角三角形斜边上的中线
等于斜边的一半；
菱形的性质：
1菱形的四条边;
2菱形的对角线互相,并且.
矩形的常判定方法：
1有角是直角的四边形是矩形；
2对角线相等的是矩形；
如果一个三角形一边上的等于这边
的一半，那么这个三角形是.
菱形的常用判定方法：
1四条边相等的四边形是;
2
正方形的的性质：
①正方形的四个角都是,四条边都
②的两条对角线相等，并且互相垂
直平分，每条对角线平分一组对角；
正方形的常用判定方法：
①有一个角是直角的菱形是正方形；
2对角线相等的是正方形
3对角线互相垂直的是正方形.
平行四边形、矩形、菱形、
正方形之间的关系:
形
即
形
平行四边形
你理解它们之间的关系吗？
你有更好的方法来描述它们之间的关系吗？
试把你的方法写在下面空白处，并与同伴交流.
互相垂直的平行四边形是菱形.
三.练习:
（一）填空
1.如图1,在C^ABCD中，对角线相交于点0,AC_LCD,
AO=3,BO=5,则C0=.
2.如图2,在/Z7ABCD中，AB、BC、CD的长度分别为2x+L
3x,x+4,贝IJAVABCD的周长是.
3.
在ZkABC中，D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，若Z\ABC的周长为30cm,则ZkDCE的周长为
4.
在等腰梯形ABCD中，AD//BC,AB=CD,ZB=40°,则ZA=
5.
菱形的对角线长分别为24和10,则此菱形的周长为.
，面积为.
6.
已知^VABCD中，ZA-ZB=30°,贝|JZC=
7.
判定一个四边形是正方形主要有两种方法，一是先证明它是矩形，然后证明
明它是一个菱形，再证明
8.如图3,已知四边形ABCD是一个平行四边形，贝U只须
补充条件.
就可以判定它是一个菱形
（二）选择题
1.下列命题中错误的是
A.
平行四边形的对角线互相平分;
B.
一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形;
C.
等腰梯形的对角线相等;
D.
两对邻角互补的四边形是平行四边形.
2.菱形具有而平行四边形不具有的性质是
A.内角和是360°；
B.对角相等；C.对边平行且相等;
D.对角线互相垂直.
3.平行四边形各内角的平分线围成一个四边形，则这个四边形一定是
A.矩形;
B.平行四边形;
C.菱形;
D.正方形
4,如图4,在等腰梯形ABCD中，AB〃CD,AD=BC=acm,
ZA=60°,BD平分ZABC,则这个梯形的周长
A.4acm；B.5acm；
C.6acm；D.7acm；
（三）解答、证明
1.已知：
菱形ABCD中，对角线AC=16cm,BD=12cm,DE±BC于点E,求菱形ABCD的面积和BE的长.
图5
2.
如图6,四边形ABCD中，AB=8cm,CD=9cm,E、F、G、H分别是AD、
BC、BD、AC的中点，求四边形
EGFH的周长.
求证：
四边形AMCN是平行四边形.
22
3,如图7,在Z^/ABCD中，AM=§AB,CN=§CD,
4.已知菱形ABCD中,E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF。
求证：
⑴左ABE^AADF；
（2）ZAEF=
ZAFEo
5.已知：
如图在梯形ABCD中，AB=CD,E是AD的中点，求证：
EB=EC。
6.
如图，在二BCD中，E、F是AC上的两点，且AE=CF.
求证：
DE=BF.
7.已知：
平行四边形ABCD中，AB+BC=llcm,ZB=30°,平行四边形ABCD的面积是15揶,求AB,BCo
8.已知如图，在矩形ABCD中，E为BC上的一点，且DE=BC,AF±DE于点F,求证:
EF=BE
9、如图，正方形ABCD中，过D做DE〃AC,ZACE=30°,CE交AD于点F,求证：
AE=AF；
E
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.下面给出的条件中，能判定一个四边形是平行四边形的是（）。
A.一组邻角互补，一组对角相等。
B.一组对边平行，一组邻角相等。
C.一组对边相等，一组对角相等。
D.一组对边相等，一组邻角相等。
2.顺次连接矩形四条边的中点，所得到的四边形一定是（）。
A.矩形B.菱形C.正方形D.平行四边形
3.下列说法错误的是（）=
A.有一组对边平行但不相等的四边形是梯形。
B.有一个角是直角的梯形是直角梯形。
C.等腰梯形的两底角相等。
D.直角梯形的两条对角线不相等。
4.如图1把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D'、C的位置。
若ZEFB=65°,则ZAEDZ等于（）。
A.50°B.55°C.60°D.65°
5.QABCD中，。
是对角线的交点，不能判定这个平行四边形是正方形的是（
A.ZBAD=90°,AB=AD
B.ZBAD=90°,ACXBD
C.ACXBD,AC=BD
D.AB=AC,ZBAD=ZBCD
6.如图2,OABCD中，EF过对角线的交点0,AB=4,AD=3,0F=1.3,则四边形BCEF的周长为（）
A.8.3B.9.6C.12.6D.13.6
7.给出下列命题:
①四条边相等的四边形是正方形；②两组邻边分别相等的四边形是平行四边形；③有一个角是直角的平行四边形是矩形；④矩形、线段都是轴对称图形.其中错误命题的个数是
（）
C.3
D.4
8、
A
9、
菱形具有而平行四边形不具有的性质是
C.
在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,
A.内角和是360°；B.对角相等;
10、如图3,
（）
A13
A,—
5
对边平行且相等；D,对角线互相垂直.
P是AD上的动点，PEXAC于E,
PFXBD于F,则PE+PF的值为
C.2
12D.——5
耐心填一填:
（把答案填放相应的空格里。
每小题3分，共24分）
平行四边形的两条对角线将此平行四边形分成全等二角形的对数是（
2对B3对C
11.
12.
已知Z\ABC中，AB=12cm,BC=10cm,AC=8cm,D、E^
F分别为AB、BC、
AC边上的中点，则ADEF的周
长为.
cm。
13.
菱形ABCD中，对角线AC、BD的长分别为6cm和10cm,
则菱形的面积是.
cm2o
14.
如图2,在矩形ABCD中,AC、BD相交于点0且AC=8,
如果ZAOD=60°,那么AD=
15.
16.
已知正方形ABCD的对角线长为9cm,则正方形ABCD的面积为
〜2
cmo
菱形ABCD中，若周长是20cm,对角线AC=6cm,则对角线BD=
cmo
在OABCD中，已知ZABC=60°,则ZBCD=
17.
如图3,直线1是四边形ABCD的对称轴,若AB=CD,则下面的结论：
①AO=CO；②AB〃CD；③ACXBD；④
ABXBCo其中正确的结论有:
就可以判定它是一
18、如图4,已知四边形ABCD是一个平行四边形，则只须补充条件
个菱形
三、细心做一做：
（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
19、求以长为8,宽为6的矩形各边中点为顶点的四边形的周长。
20、
矩形ABCD中，AB=8,BC=6,E、F是AC的三等分点，求Z\BEF的面积。
21、
（2）BC的长？
矩形ABCD的周长是56cm,它的两条对角线相交于0,AA0B的周长比的周长短4cm,求
（1）AB,
22、若等腰梯形两底的差等于一腰的长，求最小的内角是。
23、如图8,矩形ABCD的对角线AC、BD交于点0,ZA0D=60°,AB=2JJ,AE±BD于点E,求0E的长？
四、勇敢闯一闯：
（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
24、如图9,点D是ZXABC中BC边上的中点，DF±AC,DEXAB,
垂足分别为E、F,且BE=CF。
（1）求证:
△ABC是等腰二角形；
图9
形，证明你的结
（2）当ZA=90°时，试判断四边形AEDF是怎样的四边论。
25、如图10,正方形ABCD边长为1,G为CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF,连接DE交BG的延长线于点H。
（1）求证：
①左BCG^ADCE；②BH±DE=
（2）当点G运动到什么位置时，BH垂直平分DE?
请说明理由。
（证明二和证明三）
一、选一选
1.下列判断正确的是（）
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