导数常用的一些技巧和结论.docx

导数常用的一些技巧和结论.docx

《导数常用的一些技巧和结论.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《导数常用的一些技巧和结论.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

导数常用的一些技巧和结论导数常用的一些技巧和结论导数常用的一些技巧和结论、基础练习题：

1.讨论函数f（x）2e2-（X0）的零点的个数；x2.讨论函数/（x）=e1（1-x2-2x）-a,（x0）的零点的个数;3讨论函数/（x）=-二,的零点的个数；4讨论函数/（x）=Inx+丄-口,的零点的个数；x5j寸论函数x0,/（x）=e-ax.的零点的个数;6.*丄时，讨论函数f（x）=nx-ax的零点的个数；e12（x-l）111.关系式为杯加”型/（x）+/（x）0构造k/（x）feJ|/（x）+/（x）xf（xf（x）Q构造寸（列=幼&）+/（兀）xf（x）+nf（x）OPJiSx,:

/（x）|=x/（.Y）+?

/（x）=（x）j2f（x）j（注意对x的符号imi论

（1）/（xII-fx）0构造

（2）xf（x）-/（x）0构造罟卜/）2关系武为嘟型xf（xnf（x）Q构造J_Ff（Q-nxV（x）_寸一寸（x）厂（町（注意对X的符号逍行讨论lxln（2：

+1）Wx（x1）2、b$+gR）3k1113：

Ina:

啦弓啦弓（OGS）5、11尹-,）（21）6xlnrr2（a;-丄）（01）7、疋2ln（l+x）x（x20）2（2017年全国新课标1理21）已知fxae2xa2exx.

（1）讨论fx的单调性；

（2）若fx有两个零点，求a的取值范围解析：

（1）fx2ae2xa2ex12ex1aex10恒成立，所以fx在R上递减;0，得1-,xaIn1.a1,In上递减;aIn时,a所以罷,a上递增综上，当a0时,fx在R上递减；当a0时,In丄a、1上递减，在In,a上递增

（2）fx有两个零点，必须满足Xmin0,即0,且fXminInaIn10.a构造函数gInx，x0.易得g0,所以gInx单调递减.又因为g10，所以In-aF面只要证明当01时,有两个零点即可,为此我们先证明当0时,事实上，构造函数Inx，易得hx11，:

inh1，所以hx0，即xInx.当0a1时，f2caeae220,efInaIn其中1InInda1,lnIn-,Ina上各有一个零点故a的取值范围是0,1注意：

取点过程用到了常用放缩技巧。

2x方面：

ae2xaexaexIn-1；a另一方面：

x0时,2xaex1（目测的）第一组：

对数放缩（放缩成一次函数）Inx（放缩成双撇函数）Inx常用的放缩公式常用的放缩公式（考试时需给出证明过程）（考试时需给出证明过程）1,InIn，Inx_1InxxxVxInx（放缩成二次函数）Inxx，InIn（放缩成类反比例函数）InxInxIn1x，In2x1xIn1x2x1x第二组：

指数放缩（放缩成一次函数）xxxex1,ex,eex,（放缩成类反比例函数）（放缩成二次函数）xe1x-x2x0，ex1x!

x213x，226第三组：

指对放缩exlnxx1x12第四组:

三角函数放缩sinxxtanxx0，sinxx!

x2，112xcosx1-sin2x222第五组：

以直线yx1为切线的函数几个经典函数模型几个经典函数模型经典模型一：

lnx亠xy或yxlnx【例1】讨论函数fxlnxax的零点个数

（1）a时，无零点xmaxe

（2）a（3）当11时，1个零点.e1时，2个零点.e0（目测）xmaxfelne10.In0，其中1ae.（放缩）ea0.其中e.（用到了Inx（4）当【变式】1.讨论2.讨论3.讨论4.讨论5.讨论6.讨论0时,1个零点.单调递增（经过换元和等价变形之后均可以转化到例aaeInxax）:

0.Inxm.x的零点个数（令、.xa）；xminx的零点个数（令丄a）；mxInxmx的零点个数（考虑gxInx=mx的零点个数（Inxmx2的零点个数（axex的零点个数（令fxx）；考虑gx.xfx，令t2令tx，2ma）；ext）.a）；经典模型二：

y巳或x【例2】讨论函数fxax的零点个数.

（1）0时，1个零点exax单调递增

（2）（3）（4）0时，无零点.ae时，无零点e时，2个零点.fXmin【变式】（经过换元和等价变形之后均可以转化到例题1.讨论fx2xemx的零点个数（令2xt，2.讨论fxmm的零点个数（去分母后与e3.讨论fx4.讨论fxIna0，所以在0恒成立;Ina0，f2ln1-,0上有一个零点;aa2Inaae202：

fxexax）:

1等价）;m.x的零点个数（移项平方后与1等价）;mx2的零点个数（移项开方后换元与1等价）；5.讨论fxexmx的零点个数（乘以系数e,令ema）；6.讨论fx-lnxmx的零点个数（令xet，转化成2）x7.讨论fxex1mxm的零点个数（令x1t,马a）；e经典模型三:

xlnx或yxxe

（1）讨论函数fxInx-的零点个数x0时，1个零点.xa2_xaInx单调递增.x

（2）0时，1个零点（x01）.（3）1时，无零点eInXmin（4）a1时，1个零点.e1（5）a0时，2个零点.efa2121Ina1a1a0，111ea0，f1a0，aaae111x0.fXminfln10eee【变式】（经过换元和等价变形之后均可以转化到例题3：

fxInx-）：

x11.讨论fxaInx的零点个数；xax3.讨论fxx的零点个数（令et）；exa4.讨论fxe的零点个数；x1UA収时Ina找点问题中的常见函数模型之间的关系11Vv-xeV=y/xnxv三jdnx厂31.1呑rJt同理，町以转化成的儿他任怠次鼻，剌下的四个函数亦然t1练习题练习题x21.已知函数fxx2eax1有两个零点，求a的取值范围3.已知函数fxx1exax2有两个零点，求a的取值范围4.已知函数x的零点的个数xexmx2mx1.当m0时，试讨论y2