导数常用的一些技巧和结论.docx

1、 导数常用的一些技巧和结论导数常用的一些技巧和结论 导数常用的一些技巧和结论 、基础练习题：1.讨论函数 f(x)2e2-(X 0)的零点的个数；x 2.讨论函数/(x)=e1(1-x2-2x)-a,(x 0)的零点的个数;3讨论函数/(x)=-二,的零点的个数；4讨论函数/(x)=Inx+丄-口,的零点的个数；x 5j寸论函数 x 0,/(x)=e-ax.的零点的个数;6.*丄时，讨论函数 f(x)=nx-ax的零点的个数；e 1 2(x-l)1 1 1.关系式为杯加”型 /(x)+/(x)0 构造 k/(x)feJ|/(x)+/(x)xf(xf(x)Q 构造寸(列=幼&)+/(兀)xf(x

2、)+nf(x)O PJiS x,:/(x)|=x/(.Y)+?/(x)=(x)j2f(x)j(注意对 x的符号 i mi论(1)/(x II-fx)0 构造(2)xf(x)-/(x)0 构造罟卜/)2 关系武为嘟型 xf(xnf(x)Q 构造 J _ Ff(Q-nxV(x)_ 寸一寸(x)厂(町 (注意对 X 的符号逍行讨论 lx ln(2：+1)W x(x 1)2、b$+g R)3k 111 3：Ina:啦弓啦弓(OGS)5、1 1 尹-,)(2 1)6x lnrr 2 (a;-丄)(0 1)7、疋 2 ln(l+x)x(x 2 0)2 (2017年全国新课标 1 理 21)已知 f x a

3、e2x a 2 ex x.(1)讨论 f x的单调性；(2)若 f x有两个零点，求 a的取值范围 解析：(1)f x 2ae2x a 2 ex 1 2ex 1 aex 1 0恒成立，所以 f x在 R 上递减;0，得 1-,x a In1.a 1,In 上递减;a In 时,a 所以 罷,a 上递增 综上，当 a 0时,f x在 R 上递减；当 a 0时,In丄 a、1 上递减，在 In,a 上递增(2)f x 有两个零点，必须满足 X min 0,即 0,且 f X min In a In1 0.a 构造函数 g In x，x 0.易得 g 0,所以 g In x单调递减.又因为 g 1

4、0，所以 In-a F面只要证明当 0 1时,有两个零点即可,为此我们先证明当 0时,事实上，构造函数 In x，易得 h x 1 1，:in h 1，所以 h x 0，即 x In x.当 0 a 1时，f 2 c a ea e 2 2 0,e f In a In 其中 1 In Ind a 1,ln In-,In a 上各有一个零点 故 a的取值范围是 0,1 注意：取点过程用到了常用放缩技巧。2x 方面：ae 2x ae x ae x In-1；a 另一方面：x 0时,2x ae x 1（目测的）第一组：对数放缩（放缩成一次函数）In x（放缩成双撇函数）In x 常用的放缩公式常用的放

5、缩公式（考试时需给出证明过程）（考试时需给出证明过程）1,In In，In x _ 1 In x x x Vx In x（放缩成二次函数）In x x，In In（放缩成类反比例函数）In x In x In 1 x，In 2x 1 x In 1 x 2x 1 x 第二组：指数放缩 （放缩成一次函数）x x x e x 1,e x,e ex,（放缩成类反比例函数）（放缩成二次函数）x e 1 x-x2 x 0，ex 1 x!x2 1 3 x，2 2 6 第三组：指对放缩 ex lnx x 1 x 1 2 第四组:三角函数放缩 sinx x tanx x 0，sinx x!x2，1 1 2 x

6、cosx 1-si n2x 2 2 2 第五组：以直线 y x 1为切线的函数 几个经典函数模型几个经典函数模型 经典模型一：ln x 亠 x y 或 y x lnx 【例 1】讨论函数 f x lnx ax的零点个数（1）a 时，无零点 x max e(2)a(3)当 1 1时，1个零点.e 1 时，2个零点.e 0（目测）x max f e lne 1 0.In 0，其中 1 a e.（放缩）ea 0.其中 e.(用到了 In x（4）当【变式】1.讨论 2.讨论 3.讨论 4.讨论 5.讨论 6.讨论 0时,1个零点.单调递增（经过换元和等价变形之后均可以转化到例 a ae In x a

7、x):0.In x m.x的零点个数（令、.x a)；x minx的零点个数（令丄 a）；m x In x mx的零点个数（考虑 g x In x=mx的零点个数（In x mx2的零点个数（ax ex的零点个数（令 f x x)；考虑 g x.x f x，令 t 2 令 t x，2m a)；ex t).a)；经典模型二：y 巳或 x【例 2】讨论函数 f x ax的零点个数.(1)0时，1个零点 ex ax单调递增(2)(3)(4)0时，无零点.a e时，无零点 e时，2个零点.f X min【变式】（经过换元和等价变形之后均可以转化到例题 1.讨论 f x 2x e mx的零点个数（令 2

8、x t，2.讨论 f x mm的零点个数（去分母后与 e 3.讨论 f x 4.讨论 f x In a 0，所以在 0恒成立;Ina 0，f 2ln 1-,0上有一个零点;a a 2In a a e 2 0 2：f x ex ax):1等价）;m.x的零点个数（移项平方后与 1等价）;mx2的零点个数（移项开方后换元与 1等价）；5.讨论 f x ex mx的零点个数（乘以系数 e,令 em a）；6.讨论 f x-lnx mx的零点个数（令 x et，转化成 2）x 7.讨论 f x ex 1 mx m的零点个数（令 x 1 t,马 a）；e 经典模型三:xln x或 y x xe(1)讨论

9、函数 f x In x-的零点个数 x 0时，1个零点.x a 2_ x a In x 单调递增.x (2)0时，1个零点（x0 1).(3)1时，无零点 e In X min（4）a 1时，1个零点.e 1(5)a 0时，2个零点.e f a2 1 2 1 In a 1 a 1 a 0，1 1 1 ea 0，f 1 a 0，a a a e 1 1 1 x0.f X min f ln 10 e e e【变式】（经过换元和等价变形之后均可以转化到例题 3：f x In x-)：x 1 1.讨论 f x a In x的零点个数；x a x 3.讨论 f x x 的零点个数（令 e t）；e x a 4.讨论 f x e 的零点个数；x 1UA 収时 In a 找点问题中的常见函数模型之间的关系 1 1V v-xe V=y/xnx v 三 jdn x 厂 31.1 呑 r Jt 同理，町以转化成的儿他任怠次鼻，剌下的四个函数亦然 t 1 练习题练习题 x 2 1.已知函数 f x x 2 e a x 1有两个零点，求 a的取值范围 3.已知函数 f x x 1 ex ax2有两个零点，求 a的取值范围 4.已知函数 x的零点的个数 x ex mx2 mx 1.当 m 0时，试讨论 y 2