∴。
（1）当时，
（2）∴∴，结合前提得：
。
综合得原不等式的解集为
第3变解含参绝对值不等式
［变题3］解关于x的不等式
［思路］本题若从表面现象看当含一个根号的无理根式不等式来解，运算理较大。
若化简成，则解题过程更简单。
在解题过程中需根据绝对值定义对的正负进行讨论。
［解题］原不等式等价于
当即时，
∴
当即时，∴x≠-6
当即时，x∈R
［请你试试4—3］
1．解关于的不等式：
分析：
本例主要复习含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想。
本题的关键不是对参数进行讨论，而是去绝对值时必须对末知数进行讨论，得到两个不等式组，最后对两个不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集。
解：
当
。
2．关于的不等式|－1|≤5的解集为{|－3≤≤2}，求的值。
按绝对值定义直接去掉绝对值符号后，由于值的不确定，要以的不同取值分类处理。
解：
原不等式可化为－4≤≤6
当>0时，进一步化为，依题意有，此时无解。
当=0时，显然不满足题意。
当<0时，，依题意有
综上，=－2。
第4变含参绝对值不等式有解、解集为空与恒成立问题
［变题4］若不等式|－4|+|3－|<的解集为空集，求的取值范围。
［思路］此不等式左边含有两个绝对值符号，可考虑采用零点分段法，即令每一项都等于0，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集，这是按常规去掉绝对值符号的方法求解，运算量较大。
若仔细观察不等式左边的结构，利用绝对值的几何意义用数形结合方法或联想到绝对值不等式|+|≤||+||，便把问题简化。
［解题］解法一
（1）当≤0时，不等式的解集是空集。
（2）当>0时，先求不等式|－4|+|3－|<有解时的取值范围。
令－4=0得=4，令3－=0得=3
1当≥4时，原不等式化为－4+－3<，即2－7<
解不等式组，∴>1
2当3<<4时，原不等式化为4－+－3<得>1
3当≤3时，原不等式化为4－+3－<即7－2<
解不等式，∴>1
综合①②③可知，当>1时，原不等式有解，从而当0<≤1时，原不等式解集为空集。
由
（1）
（2）知所求取值范围是≤1
解法二由|－4|+|3－|的最小值为1得当>1时，|－4|+|3－|<有解
从而当≤1时，原不等式解集为空集。
解法三：
∵>|－4|+|3－|≥|－4+3－|=1
∴当>1时，|－4|+|3－|<有解
从而当≤1时，原不等式解集为空集。
［请你试试4—4］
1．对任意实数，若不等式|+1|－|－2|>恒成立，求的取值范围。
思维点拨：
要使|+1|－|－2|>对任意实数恒成立，只要|+1|－|－2|的最小值大于。
因|+1|的几何意义为数轴上点到－1的距离，|－2|的几何意义为数轴上点到2的距离，|+1|－|－2|的几何意义为数轴上点到－1与2的距离的差，其最小值可求。
此题也可把不等式的左边用零点分段的方法改写成分段函数，通过画出图象，观察的取值范围。
解法一根据绝对值的几何意义，设数，－1,2在数轴上对应的点分别为P、A、B，则原不等式即求|PA|－|PB|>成立
∵|AB|=3，即|+1|－|－2|≥－3
故当<－3时，原不等式恒成立
解法二令=|+1|－|－2|，则
要使|+1|－|－2|>恒成立，从图象中可以看出，只要<－3即可。
故<－3满足题意。
2．对任意实数x，不等式|x+1|+|x-2|>a恒成立，求实数a的取值范围。
分析：
经过分析转化，实质上就要求|x+1|+|x-2|的最小值，a应比最小值小。
解：
由绝对值不等式：
|x+1|+|x-2||（x+1）-（x-2）|=3，当且仅当（x+1）（x-2）0,即
时取等号。
故a<3
说明：
转化思想在解中有很重要的作用，比如：
恒成立问题、定义域为R等问题都可转化为求最大、最小值问题。
（在这些问题里我们要给自己提问题，怎样把一般性的问题转化到某个特殊的值的问题，常问的问题是：
要使……，只要……）
3．已知a>0,不等式|x-4|+|x-3|分析
（一）|x-4|+|x-3||x-4—（x-3）|=1
当|x-4|+|x-3|1
（二）如图，实数x、3、4在数轴上的对应点分别为P、A、B则有：
y=|x-4|+|x-3|=|PA|+|PB|
|PA|+|PB|1恒有y1
数按题意只须a>1ABP
034x
（四）考虑|z-4|+|z-3|（五）可利用零点分段法讨论.
以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为a>1.
变题：
1、若不等式|x-4|+|x-3|>a对于一切实数x恒成立，求a的取值范围
2、若不等式|x-4|-|x-3|3、若不等式|x-4|-|x-3|>a在R上恒成立，求a的取值范围
第5变绝对值三角不等式问题
［变题5］已知函数，当时，求证：
；
，则当时，求证：
。
［思路］本题中所给条件并不足以确定参数，的值，但应该注意到：
所要求的结论不是的确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以用、、来表示,。
因为由已知条件得，，。
［解题］证明：
（1）由，从而有
（2）由
从而
将以上三式代入，并整理得
［请你试试4—5］
1．已知函数f（x）=，a,bR，且，求证|f（a）-f（b）|<|a-b|。
分析：
要证，考察左边，是否能产生|a-b|。
证明：
|f（a）-f（b）|=
（其中，同理∴）
高中不等式习题精选精解
一、求取值范围
2、已知，且，求的取值范围。
解：
由已知条件，显然
综上所述的取值范围是
3、正数满足，求的最小值。
解：
（为正数）
5、已知函数满足，，求的取值范围。
解：
由习已知得：
设：
所以的取值范围是
8、若关于的方程有实数解，求实数的取值范围。
解一：
设，，原题转换为求方程在上有解。
共有两种情况，一种是有两个根，一种是只
有一个根（如图所示），由二次函数的图像和
性质，得方程在上
有实数解的充要条件为：
注：
两组不等式分别对应两个图
解得
所以的取值范围是
解二：
由方程得
函数的值域就是的取值范围。
所以的取值范围是
二、解不等式
1、
解：
不等式与或同解，也可以这样理解：
符号“”是由符号“>”“=”合成的，故不等式可转化为或。
解得：
原不等式的解集为
2、.
解：
+
，用根轴法（零点分段法）画图如下：
原不等式的解集为。
3、
解：
原式等价于
，即注：
此为关键
原不等式等价于不等式组解得：
4、
解：
当时，原不等式化为，得；
当时，原不等式化为，得；
当时，原不等式化为，得；
当时，原不等式化为，得；
当时，原不等式化为，得
综合上面各式，得原不等式的解集为：
5、关于的不等式的解集为，求的解集。
解：
由题意得：
，且
则不等式与不等式组同解
得所求解集为
6、已知且，关于的不等式的解集是，解关于的不等式的解集。
解：
关于的不等式的解集是，
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