高中立体几何证明方法及例题.docx

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高中立体几何证明方法及例题

1.空间角与空间距离

在高考的立体几何试题中，求角与距离是必考查的问题，其中最主要的是求线线角、线面角、面面角、点到面的距离，求角或距离的步骤是“一作、二证、三算”，即在添置必要的辅助线或辅助面后，通过推理论证某个角或线段就是所求空间角或空间距离的相关量，最后再计算。

2.立体几体的探索性问题

立体几何的探索性问题在近年高考命题中经常出现，这种题型有利于考查学生归纳、判断等方面的能力，也有利于创新意识的培养。

近几年立体几何探索题考查的类型主要有：

（1）探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么？

（2）探索结论，即在给定的条件下命题的

结论是什么。

对命题条件的探索常采用以下三种方法：

（1）先观察，尝试给出条件再证明；

（2）先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性；（3）把几何问题转化为

代数问题，探索出命题成立的条件。

对命题结论的探索，常从条件出发，再根据所学知识，探索出要求的结论是什么，另外还有探索结论是否存在，常假设结论存在，再寻找与条件相容还是矛盾。

（一）平行与垂直关系的论证

由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：

低一级位置关系判定高一级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。

1.线线、线面、面面平行关系的转化：

//

b

a

b

a

a

b

a

//

//

//

//

a

a

b

O

b

a

a

l

l

a

b

a

a

a

l

a

a

a

a//

a,b

aPO

ab

aAO

la,l

a//b

ab

abA

面面平行性质

2.线线、线面、面面垂直关系的转化:

线面平行判定

公理4

3.平行与垂直关系的转化:

a//b

a//,b//

//

面面平行判定1

面面平行性质

a//b

三垂线定理、逆定理

面面垂直定义

l，且二面角I

成直二面角

（a//b,b//ca//c

）

PA,AO为PO

在内射影

则aOAaPO

线面平行性质

a//

面面平行性质1

线面垂直定义

面面垂直性质，推论2

面面垂直判定

a//

线面垂直判定1

线线丄

线面丄

线面//

面面//

线线//

线线//

/

面面平行判定2

面面-

线面垂直性质2

a

4.应用以上“转化”的基本思路一一“由求证想判定，由已知想性质。

5•唯一性结论:

1

应曲中常坤于"反

'证法”或“同TT

过直线外一点.有且只有一条直线与己知直线平行”

2过空间一点.有且只有一条直线与已知平面垂直

3过空间一点’有且只有一个平面与已知直线垂直

1.三类角的定义:

（1）异面直线所成的角B:

0°<0§0

（2）直线与平面所成的角:

b

（0时，b//或b）

（3）二面角：

二面角的平面角B,0°<0480

K定义法）

（三垂线定理注）

j4

0

f垂丽法，灶棱门

2.三类角的求法：

转化为平面角“一找、二作、三算”

即：

（1）找出或作出有关的角;

（2）证明其符合定义；

（3）指出所求作的角；

（4）计算大小。

（三）空间距离：

求点到直线的距离，经常应用三垂线定理作出点到直线的垂线，然后在相关三角形中求

解。

求点到面的距离，一般找出（或作出）过此点与已知平面垂直的平面利用面面垂直的性

质求之也可以利用“三棱锥体积法”直接求距离，直线与平面的距离，面面距离都可转化为

点到面的距离。

【典型例题】

（一）与角有关的问题

例1.

（1）如图,

E、F分别为三棱锥P—ABC的棱AP、BC的中点，PC=10,AB

EF=7,则异面直线

AB与PC所成的角为（

O

A.60

B.45

C.30

D.120

解：

取AC中点G,连结EG、

FG,

EG//丄PC,FG//丄AB

22

•••/EGF为AB与PC所成的角

在AEGF中，由余弦定理,

22

EGFGcosZEGF

2•EG•

EF2

FG

5232

253

72

••AB与PC所成的角为180

^20

=60

•••选A

（2）已知正四棱锥以棱长为

1的正方体的某个面为底面，且与该正方体有相同的全面

积，则这一正四棱锥的侧棱与底面所成的角的余弦值为（

13

p

A1B

D.

.26

26

设正四棱锥的高为h,斜高为h'.h21

解：

2

由题意：

丄41.h2112612

2\2

•••侧棱长PB..h2OB2

:

.cosZPBO213

pbV2613

2

•••选A

（3）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为A1D1上的一个定点，

A1B1上的任意一点，E、F为CD上任意两点，且EF的长为定值，有下列命题:

1点P到平面QEF的距离为定值；

2直线PQ与平面PEF所成的角为定值；

3二面角P—EF—Q的大小为定值；

4三棱锥P—QEF的体积为定值

其中正确命题的序号是

鉀平面QEF即是平面A1B1CD

解：

11

二A1D1上定点P到面A1B1CD的距离为定值

•••①对，②错

二面角P—EF—Q,即面PDF与面A1B1CD所成的角，且平面角/PDA1为定

值，.••③对

因为A1B1//DC,且EF为定值，•SQEF为定值

又P点到平面QEF的距离为定值，•VPqef为定值，•④对

综上，①③④正确。

例2.图①是一个正方体的表面展开图，MN和PQ是两条面对角线，请在图

（2）的正

方体中将MN，PQ画出来，并就这个正方体解答下列各题：

（1）求MN和PQ所成角的大小；

（2）求四面体M—NPQ的体积与正方体的体积之比；

（3）求二面角M—NQ—P的大小。

图①

解：

（1）如图②，作出MN、PQ

图②

••PQ//NC，又△MNC为正三角形

1

6

即四面体M—NPQ的体积与正方体的体积之比为1:

6

/•JMNC=60

PQ与MN

成角为60°

（2）Vm

NPQVQPMN

丄S

PMN

3

MQ

1

1

•2S

PMN•MQ

SPMDN°MQ

6

6

V正方体

（3）连结MA交PQ于0点，贝UMO丄PQ

又NP丄面PAQM,ANP丄MO，贝UMO丄面PNQ

过O作OE丄NQ，连结ME，贝UME丄NQ

•••JMEO为二面角M—NQ—P的平面角

在Rt△NMQ中，

MENQ=MNMQ

设正方体的棱长为

a

2a°a

ME

6、2

a,又MO2a

32

在RtMEO中，sin/MEO

MO

293

ME

62a

3

/•JMEO=60°

即二面角M—NQ—P的大小为60

例3.如图，已知四棱锥P—ABCD,PB丄AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°。

（1）求点P到平面ABCD的距离；

（2）求面APB与面CPB所成二面角的大小。

F

解：

（1）作PO丄平面ABCD，垂足为0，连结OB、OA、OD,OB与AD交于点E,

连结PE

AEfy

••AD丄PB,「.AD丄OB（根据

••PA=PD,「.0A=OD

于是OB平分AD，点E为AD中点

••PE丄AD

•••/PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角

•••zPEB=120。

，启EO=60°

—°_■3

又PE,3，二POPEsin603•-

2

即为P点到面ABCD的距离。

的正三角形

（2）由已知ABCD为菱形，及△PAD为边长为2

.•PA=AB=2，又易证PB丄BC

故取PB中点G,PC中点F

则AG丄PB,GF//BC

又BC丄PB,.GF丄PB

•••ZAGF为面APB与面CPB所成的平面角

••GF//BC//AD，./AGF=n-ZGAE

连结GE，易证AE丄平面POB

又PEBE3，G为PB中点

1

•/PEG-/PEB60°

2

•GEPEcos60°

在RtAGE中，AE

1丄AD

2

ge

•tan/GAE

AE

arctan—3

2

arctan

2

2

（2）解法2:

如图建立直角坐标系，其中O

为坐标原点,

x轴平行于DA

P（0，0，3），B（0，

3.3

飞，0）

PB的中点G的坐标为（

，连结AG

由此得到

GA

0），

3.3

2

0）

（1，

.3

4

I），

PB

（0,

3..3

2

BC（

2,

0，

于是GA

-PB

BC•PB

GA、

于是cos

PB，BC丄

PB

BC的夹角为所求二面角的平面角

GA•BC

|GA|•|BC|

•所求二面角大小为

2J7arccos—

7

（二）与距离有关的问题

例4.

（1）已知在△ABC中，AB=9，AC=15，/BAC=120°，它所在平面外一点P到厶

ABC三个顶点的距离都是14，那么点P到平面ABC的距离是（）

A.13B.11C.9D.7

解：

设点P在△ABC所在平面上的射影为O

A

C

•.PA=PB=PC,「.O为△ABC的外心

△ABC中，AB=9,AC=15，/BAC=120

i22o

二BC9152915cos12021

a

sinA

2R,二R

21

2

•••PO14273$7

（2）在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB

BC2,BB12,ZABC

90o,E、F分别为AA1>C1B1的中点，沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的

长度为

Ai5

B

解：

（采用展开图的方法）

将平面B1BCC1沿B1B旋转使两矩形A1ABB1与B1BCC1在同一平面内

连接EF,则EF为所求的最短路径

Bi

BiF6

E

C

图①

6

A]

图③

如图①，EF

A“E2A1F2

如图②展开,

EF

（2）212

2

2

22

2

如图③展开,

EF

比较这三种方式展开，可见沿表面从

E到F的最短路径长度为

点评：

此类试题，求沿表面运动最短路径，应展开表面为同一平面内，则线段最短。

但必须注意的是，应比较其各种不同展开形式中的不同的路径，取其最小的一个。

（3）

，设地

在北纬45°圈上有甲、乙两地，它们的经度分别是东经140°与西经130°

4

球半径为R，

3

2

A丄

2

&由题意ZAO1B

解:

1

0

140130

R

o

（01为小圆圆心）

又由题意0“A01B—R

112

则1AB中，ABR

■■■/AOB为正三角形（0为球心）

/•ZAOB—

3

/A、B两点球面距离为一R

3

•••选D

例5.如图，四棱锥P—ABCD,底面ABCD是矩形，PA丄平面ABCD,E、F分别是AB、PD中点。

（1）求证：

AF//平面PEC;

（2）若AD=2,CD22，二面角P—CD—B为45°，求点F到平面PEC距离。

解：

G为PC中点，连结FG、EG

又TF为PD中点

11

•FG//丄CD，又AE//丄CD

22

•FG//AE

•••四边形AEGF为平行四边形

•••AF//EG,又EG面PEC,AF面PEC

••AF//平面PEC

（2）：

CD丄AD，又PA丄面ABCD

••AD为PD在面ABCD上射影

••CD丄PD

•/PDA为二面角P—CD—B的平面角，且/PDA=45则APAD为等腰直角三角形

••AF丄PD，又CD丄平面PAD

••CD丄AF

••AF丄面PCD

作FH丄PC于H，贝UAF丄FH

又EG/AF，「.EG丄FH

••FH丄面PEC，「.FH为F到面PEC的距离

在RtA^EG中，FHPG=PFFG

•FH

-2.2彳

1

..■2222

方法2:

（体积法）

••AF//面PEC，故只要求点A到面PEC的距离d

由VV即丄S•d丄S•PA

APECPAECPECAEC

33

易证AF丄面PCD，「.EG丄面PCD

••EG丄PC

丄PC•EG丄J222皮22迈2^2

22

SaecPA

22

2*2

Saec2aeBC|^222

Spec

（三）对命题条件的探索

例6.

（1）如图已知矩形ABCD中，AB=3,BC=a，若PA丄平面ABCD，在BC边上

取点E,使PE丄DE,则满足条件E点有两个时，a的取值范围是（）

A.a6B.a6

C.0a6D.0a6

解：

TPA丄面ABCD,PE丄DE

由三垂线定理的逆定理知PE的射影AE丄BE

所以满足条件的点E是以AD为直径的圆与BC的交点，要有两个交点，则

AD>2AB=6

•••选A

（2）如图，在三棱柱ABC—A'B'C'中，点E、F、H、K分别为AC'、CB'、A'B、B'C'

的中点，G为△ABC的重心，从K、H、G、B'中取一点作为P,使得该棱柱恰有2条棱与

平面PEF平行，则P为（

A.KB.H

AB

C.G

D.B

分析：

从题目中的“中点”条件，联想到“中位线”。

而平面PEF中，EF为定直线，连BC'则F为BC'中点

故AC'B中，EF//ABAB//平面PEF,A'B'//平面PEF

考虑到若P为K点，则还有AA'、BB'、CC'都平行于FK

即它们也都平行于平面PEF,不合题意。

同理P也不能为H点，若P为B'点时，EF与B'A'共面也不符合题意（这时只有一条棱平行于平面PEF），可见只能取G点。

故选C

例7.

如图，是棱长为

1的正方体ABCD

A1B1C1D1

（1）线段A1B上是否存在一点P使得A1B丄平面PAC?

若存在，确定P的位

置；若不存在，说明理由。

（2）点P在线段A1B上，若二面角C—AP—B的大小是arctan2，求P点位

置；

（3）Q点在对角线B1D上，使A1B//平面QAC，求

B1Q

QD

Al巧

BC

解：

（1）（用反证法）

假设BA1丄面PAC，则A1B丄AC

•••A1C1//AC,易知A1B与A1C1成60°

即A1B与AC成60°角，与A1B丄AC矛盾

•••A1B不垂直于平面PAC

•••不存在点P满足题目条件

（2）过B作BH丄AP于H，连CH

BA

由于CB丄面ABB1A1，故CH丄AP

即ZBHC是二面角C—AP—B的平面角

•tanZBHC2

BH

即AB2BH

AB2

即在RtBHA中，卫旦-

/•ZBAH=30

在ABP中,

PB

AB

sin30sin105

又AB1

2

1

-pb2

4

（3）由于A,B//D,C，二A,B//面D,AC

•••点Q是直线B1D与面D1AC的交点

F面求Q点的位置。

设ACABDO,显然QODsQD1B1

B1QB1D1

QDDO

AlDi

BC

（四）对命题结论的探索

例8.

（1）正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，

并且总保持AP丄BD1,则动点P的轨迹是（）

A.线段B1C

B.线段BC1

C.BB1中点与CC1中点连成的线段

D.BC中点与B1C中点连成的线段

Di

AE

分析：

从条件AP丄BDi出发，可知AP必在过A点且与BDi垂直的平面BiAC上

•••点P必在BiC上

•••选A

（2）如图，斜三棱柱

ABC—AiBiCi中，/BAC=90°,BCi丄AC，贝UCi在底面ABC

上的射影H必在（）

A.直线AB上

C.直线CA上

B.直线BC上

D.△ABC内部

解：

连结ACi

••AC丄AB，又AC丄BCi

••AC丄面ABCi

又AC面ABC，•面ABC丄面ABCi且AB为交线

则C在面ABC上的射影必在交线AB上

•••选A

例9.在四面体ABCD中，AB丄BC,AB丄BD,BC丄CD，且AB=BC=1。

（1）求证：

平面CBD丄平面ABD;

（2）是否存在这样的四面体，使二面角C—AD—B的平面角为30°?

如果存在，求出

CD的长；如果不存在，请找出一个角使得存在这样的四面体，使二面角C—AD—B的

平面角为B。

解：

（1）VAB丄BC,AB丄BD

•••AB丄平面BCD，又AB面ABD

•••面ABD丄面CBD

CD

（2）设CD=x,在面CBD内作CE丄BD于E

由

（1）知平面ABD丄面BCD，且BD为交线

•QE丄平面ABD

作EF丄AD于F,连结CF，贝UCF丄AD

•zCFE为“二面角”C—AD—B的平面角，且/CFE=30

又在Rt少CD中，CEBD=CBCD

•••CE

x2

又VCD丄BC,

又BC为AC在面BCD

上射影

••CD丄AC

则在Rt△KCD

中，CFAD=ACCD

•CF

在RtCEF中,

sinZCFE

CE

CF

x

..x21

.2x

二―2

..x22

2•、、x212

2

解出x3，

无实数解。

故不存在这样的四面体，使二面角

C—AD—B的平面角为30°

又sinZCFE—x—

x21

•ZCFE—,—

42

故B可以取45°-90°之间的任意角。

点评：

本题是一道存在性的探索问题。

常常假定结论成立，再判断它与已知条件是否符

合

口。

【模拟试题】

二选择题。

1.PA、PB、PC是从P引出的三条射线，两两成60°,^UPC与平面PAB所成角的余弦值是（

1.3.3飞

A.2B.2C.3D.3

2.在边长为1的菱形ABCD中，/ABC=60。

，将菱形沿对角线AC折起，使折起后BD

=1，则二面角B—AC—D的余弦值为（）

1丄22.3

A.3B.2C.3D.2

3.三棱锥的三条侧棱两两垂直，底面上一点到三个侧面的距离分别是2，3，6，则这个

点到三棱锥顶点的距离是（）

A.11

B.41

C.7D.61

4.已知A、B、C是球面上的三点，且

AB=6,BC=8,AC=10，球心O至U平面ABC

的距离为、11，则球的表面积为（）

A.36

B.72

C.144D.288

5.△ABC边上的高线为AD,BD

a，CDb，且a

b，将△ABC沿AD折成大小为

COS

B的二面角B—AD—C,若

a

b，则三棱锥A—BCD的侧面△ABC是（

B.钝角三角形

A.锐角三角形

C.直角三角形

D.形状与a,b的值有关的三角形

6.有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体的下底面的四

个顶点是下层正方体上底面各边的中点,

已知最底层正方体的棱长为2,且该塔形的表面积

（含最底层正方体的底面积）超过39，则该塔中正方体的个数至少是（

A.4

B.5

/

C.6D.7

.填空题。

2，贝UPA与底

ZBAC

7.如图，在三棱锥P—ABC中，PAPBPCBC，且

面ABC所成角的大小为

当四面体的体积最

8•如图，矩形ABCD中，AB4，BC3，沿ac把ADAC折起,

大时，直线AD与平面ABG所成角的正弦值是

DiCi中占则占

I八\、：

7、」八、、

9.如图，正方体ABCDAlBlClDl棱长为1,M、N分别为BlCl

C到截面MNDB的距离是

三•解答题。

10.如图，正三角形ABC的边长为3，过其中心G作BC边的平行线，分别交AB、AC

于B!

、C!

，将AB1C1沿B1C1折起到A1B1C1的位置，使点A1在平面BB1C1C上的射影恰是线段BC的中点M，求:

（1）二面角A1BCM的大小;

（2）异面直线人*1与CC1所成角的大小。

（用反三角函数表示）

C

11.如图，已知正方形ABCD和矩形

ACEF所在的平面互相垂直，AB2,AF=1,

M是线段EF的中点。

（1）求证：

AM//平面BDE;

（2）求二面角A—DF—B的大小;

（3）试在线段AC上确定一点P,使得PF与BC所成的角是60

所做之事勿僂明夭.自己所做之爭勿倏他人.

—篇

【试题答案】

.选择题。

1.C

2.A

3.C

4.C

5.C

6.C

提示：

假设有n个正方体构成，其表面积由二部分组成:

（1）俯视图、表面只有一个正方形，

其边长为

（2）侧面则由4n个正方形构成,

且各层（从下往上看）

正方形面积构成一个首项为4,

1

公比为2

的等比数列。

1

39

表面积

39

•'•n的最小值为

二.填空题。

7.3

提示：

由题意,

P点在面ABC上的射影H是AABC外心,

ZBAC

2,.-.H为BC

中点）

8.

2

9.3

iSiSCC

提示：

VV~SMBDh—SBCDCiC

VCMDBVMCDB，即33

i

hSBCD•i

2

iii

SMBDi

•2•

5