LindoLingo软件基本知识.docx

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LindoLingo软件基本知识

Lindo/Lingo软件基本知识

Lindo/Lingo软件是美国Lindo系统公司开发的一套专门用于求解优化模型的软件。

一．Lingo入门

1．编写简单的Lingo程序

Lingo程序：

在“模型窗口”中，按Lingo语法格式，输入一个完整的优化模型。

（注意：

一个程序就是一个优化模型）

例1要求解线性规划问题

输入程序：

max=2*x+3*y;

4*x+3*y<=10;

3*x+5*y<=12;

例2求解

输入程序：

max=98*x1+277*x2-x1^2-0.3*x1*x2-2*x2^2;

x1<=2*x2;x1+x2<=100;

@gin（x1）;@gin（x2）;

2．语法格式

（1）目标函数max=或min=

（2）每个语句的结尾要有“；”

（3）程序中，各个语句的先后次序无关

（4）自动默认各个变量均为大于等于零的实数

（5）不区分大写、小写

（6）程序中的“<=”、“<”等同于原模型中的“

”

程序中的“>=”、“>”等同于原模型中的“

”

（7）对一个特定的变量x，进行限制：

@free（x）：

把x放宽为任意实数

@gin（x）：

限制x为整数

@bin（x）：

限制x只能取0或1

@bnd（-6,x,18）：

限制x为闭区间[-6,18]上的任意实数

例3：

某学校游泳队要从5名队员中选4名参加4乘100米混合泳接力赛。

5名队员4种泳姿的百米成绩（单位：

秒）

-----------------------------------------------------------------------------------

李王张刘赵

蝶泳66.857.2787067.4

仰泳75.66667.874.271

蛙泳8766.484.669.683.8

自由泳58.65359.457.262.4

-----------------------------------------------------------------------------------

如何选拔？

（1）请建立“0----1规划”模型；

（2）用Lingo求解。

解：

若第i名队员参加第j种泳姿比赛，则令

；否则令

；共有20个决策变量

。

第i名队员的第j种泳姿成绩记为

，则

目标函数为：

约束条件有：

每名队员顶多能参加一种泳姿比赛

；

每种泳姿有且仅有一人参加

这样就能建立如下“0----1规划”模型：

s.t.

Lingo程序如下：

min=66.8*x11+57.2*x21+78*x31+70*x41+67.4*x51+75.6*x12+66*x22+67.8*x32+74.2*x42+71*x52+87*x13+66.4*x23+84.6*x33+69.6*x43+83.8*x53+58.6*x14+53*x24+59.4*x34+57.2*x44+62.4*x54;

x11+x12+x13+x14<=1;

x21+x22+x23+x24<=1;

x31+x32+x33+x34<=1;

x41+x42+x43+x44<=1;

x51+x52+x53+x54<=1;

x11+x21+x31+x41+x51=1;

x12+x22+x32+x42+x52=1;

x13+x23+x33+x43+x53=1;

x14+x24+x34+x44+x54=1;

@bin（x11）;@bin（x21）;@bin（x31）;@bin（x41）;@bin（x51）;

@bin（x12）;@bin（x22）;@bin（x32）;@bin（x42）;@bin（x52）;

@bin（x13）;@bin（x23）;@bin（x33）;@bin（x43）;@bin（x53）;

@bin（x14）;@bin（x24）;@bin（x34）;@bin（x44）;@bin（x54）;

答：

均等于1，即，依次取第2个人王、第3个人张、第4个人刘、第1个人李参加蝶泳、仰泳、蛙泳、自由泳，成绩为253.2秒。

再介绍本题的另一个解法：

用遍历法求出最佳组队方案。

从5人中任取4人，随意安排各人的泳姿，则共有5!

=120种方案，取成绩最佳的方案。

Matlab程序为

clear

c=[66.8,75.6,87,58.6;57.2,66,66.4,53;78,67.8,84.6,59.4;70,74.2,69.6,57.2;67.4,71,83.8,62.4];

zxcj=888;

fora1=1:

5

fora2=1:

5

fora3=1:

5

fora4=1:

5

aabb=（a1-a2）*（a1-a3）*（a1-a4）*（a2-a3）*（a2-a4）*（a3-a4）;

ifaabb~=0

cj=c（a1,1）+c（a2,2）+c（a3,3）+c（a4,4）;

ifcj

zxcj=cj;

fa=[a1,a2,a3,a4];

end

end

end

end

end

end

fa,zxcj

执行结果：

fa=2341zxcj=253.2000

二．Lingo中使用集合

前面题3中的Lingo程序，其目标函数含有大规模的变量（20个），约束条件也很繁琐。

现在，利用集合的概念，可使程序大大简化。

例4：

某帆船制造公司要决定下两年八个季度的帆船生产量。

八个季度的帆船需求量分别是40条、60条、75条、25条、30条、65条、50条、20条，这些需求必须按时满足，既不能提前也不能延后。

该公司每季度的正常生产能力是40条帆船，每条帆船的生产费用为400美圆。

如果是加班生产的，则每条生产费用为450美圆。

帆船跨季度库存的费用为每条20美圆。

初始库存是10条帆船。

如何生产？

（注：

本题当然可以用动态规划方法求解；接下来你将看到，建立优化模型用Lingo软件求解比较省事。

）

解：

八个季度的需求量数组记为xq，则xq=[40,60,75,25,30,65,50,20].类似地，用数组zc,jb,kc分别表示八个季度的正常生产量、加班生产量、季度末库存量。

目标函数是全部费用之和：

约束条件：

生产能力

；

数量平衡

以上是模型。

怎样用Lingo编程呢？

把下标的范围当作集合，本题的集合是{1,2,3,4,5,6,7,8}；定义在集合上的一个个数组，都分别称为该集合的属性，本题这个集合有四个属性，分别是xq,zc,jb,kc.

先看本题的Lingo程序，再看注解：

model:

sets:

jihe/1..8/:

xq,zc,jb,kc;

endsets

data:

xq=40,60,75,25,30,65,50,20;

enddata

min=@sum（jihe:

400*zc+450*jb+20*kc）;

@for（jihe:

zc<=40）;

kc

（1）=10+zc

（1）+jb

（1）-xq

（1）;

@for（jihe（i）|i#gt#1:

kc（i）=kc（i-1）+zc（i）+jb（i）-xq（i））;

end

注解：

（1）一个完整的Lingo程序必然以“model:

”开始，以“end”结束。

（2）集合定义部分（从“sets:

”到“endsets”）：

内容是定义集合及其属性，命令格式为“集合名/集合的全部元素/:

全体属性”。

本程序中jihe/1..8/:

xq,zc,jb,kc;，这里的“1..8”等同于“1,2,3,4,5,6,7,8”。

（3）数据输入部分（从“data:

”到“enddata”）：

内容是输入已知数据。

（4）其它部分：

包括目标函数、约束条件。

本程序中，@sum（jihe:

400*zc+450*jb+20*kc），是求和函数，

@for（jihe:

zc<=40），是循环函数，zc的所有分量都不大于40，

@for（jihe（i）|i#gt#1:

kc（i）=kc（i-1）+zc（i）+jb（i）-xq（i）），表示对集合jihe中的所有大于1的i，都满足该项约束。

答：

八个季度正常生产量zc=[40,40,40,40,40,40,40,20]

八个季度加班生产jb=[0,10,35,0,0,0,10,0]最小成本为145750.0美圆。

练习题：

解线性规划问题

三．Lingo中的基本集合与派生集合

例5：

料场选址问题

六个建筑工地的位置（用平面坐标a、b表示，距离单位：

km）及其对水泥的日用量（用d表示，单位：

t）由下表给出：

工地的位置（a，b）及水泥日用量d

--------------------------------------------------------------------------------------------------

工地编号123456

a1.258.750.55.7537.25

b1.250.754.7556.57.75

d3547611

--------------------------------------------------------------------------------------------------

现有两个临时料场位于P（5,1）,Q（2,7），每日提供水泥的最大能力分别为20t.假设从料场到各工地均有直线道路连接，运输费用与距离、重量成正比。

（1）请制定运输计划，使总运费尽量低。

（2）进一步调整这两个临时料场的位置，使总运费最低。

解：

第i号工地：

位置

，水泥日用量

，i=1,2,3,4,5,6.

第j号料场：

位置

，水泥日供应能力

，j=1,2.

从j号料场向i号工地的日运输水泥量记为

.

注意：

在问题

（1）中，

为已知数据，故决策变量为

，共12个；

在问题

（2）中，

待定，故决策变量为

，共16个。

从j号料场到i号工地，距离为

，送去重量为

的水泥，二者乘积即为运输费。

目标函数：

约束条件：

满足需求：

供应能力：

，j=1,2

非负性：

这就是本题的优化模型。

尝试用Lingo求解该模型时，六个建筑工地作为一个集合gdjh，两个料场作为一个集合lcjh。

接下来就会遇到困难：

决策变量

不仅是依赖于集合gdjh的属性，而且是依赖于集合lcjh的属性，这样的属性应该如何定义呢？

根据两个基本集合gdjh与lcjh构造一个派生集合gdlcjh，再把

定义为这个集合的属性。

先看本题第

（1）问的Lingo程序，再看注解：

model:

sets:

gdjh/1..6/:

a,b,d;

lcjh/1,2/:

x,y,e;

gdlcjh（gdjh,lcjh）:

c;

endsets

data:

a=1.25,8.75,0.5,5.75,3,7.25;

b=1.25,0.75,4.75,5,6.5,7.75;

d=3,5,4,7,6,11;

x,y=5,1,2,7;e=20,20;

enddata

min=@sum（gdlcjh（i,j）:

c（i,j）*（（x（j）-a（i））^2+（y（j）-b（i））^2）^0.5）;

@for（gdjh（i）:

@sum（lcjh（j）:

c（i,j））=d（i））;

@for（lcjh（j）:

@sum（gdjh（i）:

c（i,j））<=e（j））;

end

注解：

（1）定义派生集合及其属性的命令格式为

派生集合名（基本集合1，基本集合2）：

属性

（2）赋值语句“x,y=5,1,2,7”的赋值顺序是“x

（1）=5,y

（1）=1,x

（2）=2,y

（2）=7”，而不是“x

（1）,x

（2）,y

（1）,y

（2）”；在程序中，该语句可换成“x=5,2;y=1,7”，功能相同。

（3）当表达式中出现的下标符号多于1个时，必须指明针对哪个符号做运算。

答：

从1号料场分别向第1、2、4、6号工地运输水泥3571；

从2号料场分别向3、5、6号工地运输水泥4610；

可以使总运输量（质量乘距离）达到最小136.2275（t*km）.

再来解决本题第

（2）问，料场位置

也是需要优化的决策变量。

先看Lingo程序，再看注解：

model:

sets:

gdjh/1..6/:

a,b,d;

lcjh/1,2/:

x,y,e;

gdlcjh（gdjh,lcjh）:

c;

endsets

data:

a=1.25,8.75,0.5,5.75,3,7.25;

b=1.25,0.75,4.75,5,6.5,7.75;

d=3,5,4,7,6,11;

e=20,20;

enddata

init:

x,y=5,1,2,7;

endinit

min=@sum（gdlcjh（i,j）:

c（i,j）*（（x（j）-a（i））^2+（y（j）-b（i））^2）^0.5）;

@for（gdjh（i）:

@sum（lcjh（j）:

c（i,j））=d（i））;

@for（lcjh（j）:

@sum（gdjh（i）:

c（i,j））<=e（j））;

@for（lcjh:

@free（x）;@free（y））;

end

注解：

（1）编写Lingo程序时，应尽可能地为决策变量提供初始值，这样可以节省机器工作量。

（2）初始值部分（从“init:

”到“endinit”）：

内容是给决策变量赋初值。

本程序中，把原来的料场位置（5,1）,（2,7）作为初值。

重新解前面例3之“0----1规划”模型：

（第i名队员的第j种泳姿成绩记为

表示第i名队员参加第j种泳姿比赛）

s.t.

程序如下：

model:

sets:

dyjh/1..5/;

yzjh/1..4/;

cjjh（dyjh,yzjh）:

c,x;

endsets

data:

c=66.8,75.6,87,58.6,57.2,66,66.4,53,78,67.8,84.6,59.4,70,74.2,69.6,57.2,67.4,71,83.8,62.4;

enddata

min=@sum（cjjh:

c*x）;

@for（dyjh（i）:

@sum（yzjh（j）:

x（i,j））<=1）;

@for（yzjh（j）:

@sum（dyjh（i）:

x（i,j））=1）;

@for（cjjh:

@bin（x））;

end

四．稠密集合与稀疏集合

前面例4中，由两个基本集合gdjh与lcjh，构造了一个派生集合gdlcjh，这里gdlcjh的元素定义为gdjh与lcjh的笛卡儿积，即包含了两个基本集合构成的所有二元有序对，这种派生集合称为稠密集合（简称稠集）。

在实际应用中，某些时候，有的属性只在笛卡儿积的一个真子集上定义，而不是在整个稠集上定义。

Lingo允许把一个派生集合定义为笛卡儿积上的真子集，这种派生集合称为稀疏集合（简称疏集）。

例6：

最短路问题

在纵横交错的公路网中，货车司机希望找到一条从一个城市到另一个城市的最短路。

下图标出9个城市：

A1B1C1

SA2B2C2T

A3

城市之间的公路有：

S----A1：

60kmS----A2：

30kmS----A3：

30km

A1----B1：

60kmA1----B2：

50kmA2----B1：

80km

A2----B2：

60kmA3----B1：

70kmA3----B2：

40km

B1----C1：

60kmB1----C2：

70kmB2----C1：

80km

B2----C2：

90kmC1----T：

50kmC2----T：

60km

求从S到T的最短路。

说明：

就这个小题而言，我们很容易用“动态规划”或“图论”的方法求出最短路。

这里的目的不是这个题本身，而是要借用本题介绍“在Lingo中使用稀疏集”。

定义一个集合city，其元素就是这9个城市，从S到每个城市的最短距离定义为该集合的属性，记为

。

先看程序，再看注解：

model:

sets:

city/s,a1,a2,a3,b1,b2,c1,c2,t/:

l;

gljh（city,city）/s,a1s,a2s,a3a1,b1a1,b2a2,b1a2,b2a3,b1a3,b2b1,c1b1,c2b2,c1b2,c2c1,tc2,t/:

d;

endsets

data:

l=0,,,,,,,,;

d=60,30,30,60,50,80,60,70,40,60,70,80,90,50,60;

enddata

@for（city（i）|i#gt#1:

l（i）=@min（gljh（j,i）:

l（j）+d（j,i）））;

end

注解：

（1）根据基本集合city生成一个派生集合gljh用来表示城市之间的一条条公路，因为并不是每两个城市之间都直接有公路相连（如：

从A2到C1），所以这个派生集合不能定义为稠密集。

本程序中，用枚举法列出了稀疏集gljh的全部15条公路，d是其属性，代表每条公路的长度。

（2）l（i）表示集合city中第i个元素的属性，即从S到第i个城市的最短距离，显然l

（1）=0，而其余的l（i）正是本题所要求的，

。

程序中，对l赋值时，第一个数是0，其余8个未知数必须用逗号给空出来。

（3）Lingo程序中，允许没有目标函数。

此例中，稀疏集的元素是用枚举法给出的，若元素较多，就太麻烦了。

Lingo提供了另一种方法：

“元素过滤”法，能够从稠密集中系统地过滤出部分真正需要的元素构成稀疏集。

请看下面例子。

例7：

现要将8名同学分成4个调查队（每组2人）前往4个地区进行社会调查。

假设他们任意两人组成一队的工作效率为已知，见下表（由于对称性，只须列出上三角部分）：

任意两人组成一队的工作效率

学生S1S2S3S4S5S6S7S8

S19342156

S2173521

S344292

S41552

S5876

S623

S74

问如何组队可以使总效率最高？

解：

构造一个效率集合xljh，其属性xl就是上表中那28个数据，如：

xl（S1,S5）=2,xl（S3,S7）=9。

用y（Si,Sj）=1表示Si与Sj组成一个队；用y（Si,Sj）=0表示Si与Sj不是一个队。

目标函数：

约束条件：

每名学生必须且只能参加某一个队，即，对于第k名同学而言，他与其他人所组成的队的个数必须等于1，故有

，k=1,2,3,…,8

另外，

（以上就是本题的优化模型，是“0----1线性规划”）

model:

sets:

xsjh/1..8/;

xljh（xsjh,xsjh）|&2#gt#&1:

xl,y;

endsets

data:

xl=9,3,4,2,1,5,6,1,7,3,5,2,1,4,4,2,9,2,1,5,5,2,8,7,6,2,3,4;

enddata

max=@sum（xljh（i,j）:

xl（i,j）*y（i,j））;

@for（xsjh（k）:

@sum（xljh（i,j）|（i#eq#k）#or#（j#eq#k）:

y（i,j））=1）;

@for（xljh（i,j）:

@bin（y（i,j）））;

end

注解：

（1）根据基本集合xsjh构造效率集合xljh时，我们只需要二元对（i,j）中那些当i

这里，若你坚持不用“元素过滤”法而用枚举法，则命令为xljh（xsjh,xsjh）/1,21,31,41,51,61,71,82,32,4（太长了，你得把28个下标对一一列出）7,8/:

xl,y;。

（2）过滤命令（i#eq#k）#or#（j#eq#k）表示i=k或j=k.

五．集合的使用小结

1．集合的不同类型及其关系

集合

基本集合派生集合

稠密集合稀疏集合

直接列举法隐式列举法枚举法元素过滤法

2．基本集合的定义格式

（以下命令格式中，凡是在方括号“[]”中的内容，就表示在语法上是可有可无的）

集合名/元素列表/[：

属性列表]；

其中：

（1）元素列表可以是直接列举（列出全部元素，元素间用逗号分开），也可以隐式列举；

（2）属性列表可以缺省，缺省时，对应的集合只用来作循环变量或用来做父集合。

3．派生集合的定义格式

（以下命令格式中，凡是在方括号“[]”中的内容，就表示在语法上是可有可无的）

集合名（父集合列表）[/元素列表/][：

属性列表]；

其中：

（1）当“/元素列表/”缺省时，表示稠密集合；

（2）元素列表可以是用枚举法或元素过滤法。

六．运算符和函数

1．运算符及其优先级

算术运算符：

（数与数之间的运算，结果还是数）+-*/^.

逻辑运算符：

Lingo中的逻辑运算通常作为过滤条件来使用，分两类

第一类：

#and##or##not#

与或非

（逻辑值与逻辑值之间的运算，结果还是逻辑值）

第二类：

#eq##ne##gt##ge##lt##le#

等于不等于大于大于等于小于小于等于

（数与数之间的运算，结果是逻辑值）

关系运算符：

<=>

小于等于等于大于等于

（Lingo中的关系运算式通常作为约束条件来使用，用来规定数与数之间的大小关系）

优先级：

#not#-（负号）

^

*/

+-

#eq##ne##gt##ge##lt##le#

#and##or#

<=>

2．基本的数学函数（对于给定的数x，可以计算其函数值）

sin（x）cos（x）tan（x）exp（x）log（x）sqrt（x）abs（x）

3．集合循环函数

（下面5个函数，其括号中的格式为集合名：

表达式）

@for（）@sum（）

@max（）@min（）@prod（）

积

4．变量定界函数

@free（x）：

把x放宽为任意实数

@gin（x）：

限制x为整数

@bin（x）：

限制x只能取0或1

@bnd（-6,x,18）：

限制x为闭区间[-6,18]上的任意实数

七．练习题

题1.总运力问题

某卡车公司拨款800万元用于购买新的运输工具，有3种运输工具可供选择：

A的载重量10吨，平均时速45千米，价格26万元；

B的载重量20吨，平均时速40千米，价格36万元；

C的载重量18吨，平均时速40千米，价格42万元。

其中，C是B的变种，新设了一个卧铺，所以载重降低了、价格上升了。

A需要1名司机，如果每天三班工作，每天可运行18小时.当地法律规定B和C均需要两名司机，如果三班工作，B每天可运行18小时，C可运行21小时.该公司目前每天有150名司机可用，短期内无法招募到其他训练有素的司机。

当地工会禁止司机每天工作超过一个班次。

此外，受维修保障能力的限制，公司最多能拥有30辆