因式分解培优题超全面详细分类.docx
《因式分解培优题超全面详细分类.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《因式分解培优题超全面详细分类.docx（17页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
因式分解培优题超全面详细分类
因式分解专题培优
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分
解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下：
因式分解的一般方法及考虑顺序：
1、基本方法：
提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法.
2、常用方法与技巧：
换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法.
3、考虑顺序：
（1）提公因式法；
（2）公式法；（3）十字相乘法；（4）分组分解法.
一、运用公式法
在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用
的公式，例如：
（1）a2—b2=（a+b）（a—b）;
（2）a2坦ab+b2=（a比）2;
（3）a3+b3=（a+b）（a2—ab+b2）；
（4）a3—b3=（a—b）（a2+ab+b2）.
下面再补充几个常用的公式：
（5）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=（a+b+c）2;
3I33/■、/2.22■■、
（6）a+b+c—3abc=（a+b+c）（a+b+c—ab—bc—ca）；
\n■n/■、/n—1n—2n—3-2.n—2.n—1、[r-,r,、了一l七今
（7）a—b=（a—b）（a+ab+ab+-+ab+b），其中n为正整效;
（8）an—bn=（a+b）（an1—an2b+an3b2—-+abn2—bn1）,其中n为偶数;
（9）an+bn=（a+b）（an1—an2b+an3b2—•—abn2+bn1）,其中n为奇数.
运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式.
例题1分解因式:
（1）-2x5n1yn+4x3n1yn+2—2xn1yn+4;
（2）x—8y3—z3—6xyz;
（3）a2+b2+c2—2bc+2ca-2ab;
752257
（4）a—ab+ab—b.
例题2分解因式：
a3+b3+c3-3abc.
物惺页3演日因乂佑+x"+x"+--+x^+x+1
1/J/tziUyj用+.人丁人丁人丁丁人丁x丁I.
对应练习题分解因式:
2nn121
（1）xx-y
94
（2）x10+x-2
（3）x42x2y24xy34x3yy2（4x23y2）
4
（5）9（a-b）2+12（a2-b2）+4（a+b）2
⑹（a-b）2-4（a-b-1）
—3_,
（7）（x+y）+2xy（1—x—y）—1
二、分组分解法
（一）分组后能直接提公因式
例题1分解因式：
amanbmbn
分析：
从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a,后两项都含有b,因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系.此类型分组的关键：
分组后，每组可以
提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提^
例题2分解因式：
2ax10ay5bybx
对应练习题分解因式:
1、a2abacbc2、xyxy1
（二）分组后能直接运用公式
例题3分解因式：
x2y2axay
例题4分解因式：
a22abb2c2
对应练习题分解因式：
3、x2x9y23y4、x2y2z22yz
综合练习题分解因式:
3
（1）x
22xyxy
22
（2）axbxbxaxab
（3）x26xy9y216a28a1
（4）a26ab12b9b24a
（9）y（y
2）（m
1）（m1）
（10）（a
c）（a
c）
b（b2a）
11）
43
a2ab
a2（b3a2b2
c）
2ab3
b2（a
b4.
c）
c2（ab）
2abc
12）
2
（13）（axby）
（ay
成）2
3
（14）xyz（x
3、33
z）yz
3333
zxxy
42
（15）x42ax2
2xa
32
（16）x3x（a2）x2a
（17）（x1）3（x
3）3
4（3x
5）
三、十字相乘法
1、十字相乘法
（一）二次项系数为1
的二次三项式
直接利用公式
2
x（pq）xpq（xp）（xq）进仃分解.
特点：
（1）二次项系数是1;
（2）常数项是两个数的乘积；
（3）一次项系数是常数项的两因数的和
例题1分解因式：
x5x6
例题2分解因式：
x27x6
对应练习题分解因式：
⑴x214x24⑵a215a36（3）x24x5
24
（4）x2x2（5）y22y15⑹x210x
二次项系数不为1的二次三项式——ax2成c
c〔）（a2xc2）
10
条件：
（1）aa1a2
（2）cc1c2
（3）ba1c2a2q
2
分解结果：
axbxc=（a1x
例题3分解因式：
3x211x
对应练习题分解因式:
（1）5x27x6
（2）3x27x2
（3）二次项系数为1的齐次多项式
例题4分解因式：
a28ab128b2
分析：
将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解
1-8b
1—16b
8b+（-16b）=-8b
对应练习题分解因式：
⑴x23xy2y2
（2）m26mn8n2⑶a2ab6b2
（4）二次项系数不为1的齐次多项式
例题5分解因式：
2x27xy6y2例题6分解因式：
x2y23xy
对应练习题分解因式：
（1）15x27xy4y2
（2）a2x26ax8
综合练习题分解因式：
（3）（xy）23（xy）10（4）（ab）24a4b3
5x2
y6x2
4mn4n23m6n2
4xy
4y22x
4y
5（a
b）223（a2
b2）10（ab）2
4x2
4xy
6x3y
10
，、一，、2
（10）12（xy）
11（x2
2.2
y）2（xy）
.2,2.22..
思考：
分解因式：
abcx（abc）xabc
2、双十字相乘法
定义：
双十字相乘法用丁对Ax2
Bxy
_2———
CyDxEyF
型多项式的分解因式.
条件：
（1）Aa〔a2,Ccq,Ff』2
（2）a1c2a2c1
E,a1f2a2f1
则Ax2
a/2a?
。
2
BxyCy
例题7
分解因式:
解：
应用双十字相乘法:
c2f1
B，Gf2
a2
f2
f1
B,
Dx
Gf2
Ey
c2f1E,a1f2a2f1D
（a〔xGyf〔）（a2xqyfz）
（1）
2x
2x
3xy
（2）
3xy10yx
10y2x9y2
6y2x13y6
2
xy
x9y2
5y^c2
2y~1
原式=（x5y2）（x2y1）
3xy2xyxy,4y9y13y,2x3xx
.•原式=（x2y3）（x3y2）
对应练习题分解因式：
（1）x2xy2y2x7y6
（2）6x27xy3y2xz7yz2z2
3、十字相乘法进阶
例题8分解因式：
y（y1）（x21）x（2y22y1）
例题9分解因式：
ab（x2y2）（a2b2）（xy1）（a2b2）（xy）
四、主元法
例题分解因式：
x23xy10y2x9y2
对应练习题分解因式:
五、换元法
换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替
代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰.
例题1分解因式：
（x2+x+1）（x2+x+2）—12.
例题2分解因式：
（x24x8）23x（x24x8）2x2
例题3分解因式：
（x1）（x1）（x3）（x5）9
分析：
型如abcde的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘
例题4分解因式：
（x27x6）（x2x6）56.
例题5分解因式：
（x2+3x+2）（4x2+8x+3）—90.
例题6分解因式：
4（3x2x1）（x22x3）（4x2x4）2
222
B.
提示：
可设3xx1A,x2x3B，则4xx4A
例题7分解因式：
x628x327
例题8分解因式：
（ab）4（ab）4（a2b2）2
例题9分解因式：
（y1）4（y3）4272
例题9对应练习分解因式：
a444（a4）4
例题10分解因式：
（x2+xy+y2）2—4xy（x2+y2）.
分析：
本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样
的多项式叫作二元对称式.对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y,v=xy,用
换元法分解因式.
例题11分解因式：
2x4x36x2x2
分析：
此多项式的特点一一是关于x的降藉排列，每一项的次数依次少1,并且系数成“轴
对称”.这种多项式属于“等距离多项式”.
方法：
提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法^
例题11对应练习分解因式：
6x4+7x3—36x2—7x+6.
例题11对应练习分解因式：
x44x3x24x1
对应练习题分解因式:
（1）x4+7x3+14x2+7x+1
（2）x42x3x212（xx2）
（3）2005x2（200521）x2005
（4）（x1）（x2）（x3）（x6）x2
（5）（x1）（x3）（x5）（x7）15
（6）（a1）（a2）（a3）（a4）24
2
（7）（2a5）（a29）（2a7）91
一、一2一
（8）（x+3）（x—1）（x+5）—20
22222.2
（9）（a1）（a5）4（a3）
（10）（2x2-3x+1）2-22x2+33x-1
，…、333
（11）（a2bc）（ab）（bc）
/、12
（12）xy（xy1）（xy3）2（xy-）（xy1）
2
（13）（ab2ab）（ab2）（1ab）2
六、添项、拆项、配方法
因式分解是多项式乘法的逆运算.在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合
并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零.在对某些多项式分解因式时，需号
恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后
升级会员 