因式分解培优题超全面详细分类.docx

1、因式分解培优题超全面详细分类因式分解专题培优把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解 .因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下：因式分解的一般方法及考虑顺序：1、 基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法.2、 常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法.3、 考虑顺序：(1)提公因式法；(2)公式法；(3)十字相乘法；(4)分组分解法.一、运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用， 即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2 b2=(a+b)(a b);(2)a2 坦ab+b2=

2、(a 比)2;(3)a3+ b3=(a+b)(a2 ab+b2)；(4)a3 b3=(a b)(a2+ab+b2).下面再补充几个常用的公式：(5)a2+ b2+c2+2 ab+2 bc+2 ca=( a+b+ c)2;3 I 3 3 / 、/ 2.22 、(6)a + b +c 3abc=(a+b+c)(a +b +c ab bc ca)； n n / 、/ n 1 n 2 n 3- 2 . n 2 . n 1、 r- , r , 、了 一l 七今(7)a b =(a b)(a +a b+a b + - +ab +b )，其中 n 为正整效;(8)an bn=(a+b)(an 1 an 2b

3、+an 3b2- +abn 2 bn1),其中 n 为偶数;(9)an+bn=(a+b)(an 1 an 2b+an 3b2 abn 2+bn1),其中 n 为奇数.运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号 等正确恰当地选择公式.例题1 分解因式:(1)-2x5n1yn+4x3n1yn+2 2xn1yn+4;(2)x 8y3 z3 6xyz;(3)a2+ b2+c2 2bc+2ca- 2ab;7 5 2 2 5 7(4)a ab +ab b .例题2 分解因式：a3+ b3+c3- 3abc.物惺页 3 演日因 乂佑+x+x + - - + x+x+11/ J /t

4、zi U yj用+ . 人丁人丁人丁 丁人丁 x丁 I.对应练习题分解因式:2n n 1 2 1(1)x x -y9 4(2) x10+x - 2(3)x4 2x2y2 4xy3 4x3y y2(4 x2 3 y2)4(5) 9(a- b)2+12(a2- b2)+4(a+ b)2(a- b)2- 4(a- b- 1) 3 _ ,(7) (x+ y) +2xy(1 x y) 1二、分组分解法（一）分组后能直接提公因式例题1 分解因式：am an bm bn分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局 部”看，这个多项式前两项都含有 a,后两项都含有b,因此

5、可以考虑将前两项分为一组，后 两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系 .此类型分组的关键：分组后，每组可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提 例题2 分解因式：2ax 10ay 5by bx对应练习题分解因式:1、a2 ab ac bc 2、xy x y 1（二）分组后能直接运用公式例题3 分解因式：x2 y2 ax ay例题4 分解因式：a2 2ab b2 c2对应练习题分解因式：3、x2 x 9y2 3y 4、x2 y2 z2 2yz综合练习题分解因式:3(1) x22 x y xy22(2) ax bx bx ax a b(3) x2 6xy 9y2 16a2 8a

6、 1(4) a2 6ab 12b 9b2 4a(9) y(y2) (m1)(m 1)(10) (ac)(ac)b(b 2 a)11)43a 2a ba2(b 3a2b2c)2ab3b2(ab4.c)c2 (a b)2abc12 )2(13) (ax by)(ay成)23(14) xyz(x3、 3 3z) yz33 33zx xy42(15) x4 2ax22 xa32(16) x 3x (a 2)x 2a(17) (x 1)3 (x3)34(3x5)三、十字相乘法1、十字相乘法（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式2x (p q)x pq (x p)(x q)进仃分解.特点：（1）二次

7、项系数是1;(2)常数项是两个数的乘积；(3)一次项系数是常数项的两因数的和例题1 分解因式：x 5x 6例题2 分解因式：x2 7x 6对应练习题分解因式： x2 14x 24 a2 15a 36 (3) x2 4x 524(4) x2 x 2 (5)y2 2y 15 x2 10x二次项系数不为1的二次三项式ax2成cc)(a2x c2)10条件：(1) a a1a2(2)c c1c2(3)b a1c2 a2q2分解结果： ax bx c= (a1x例题3 分解因式：3x2 11x对应练习题分解因式:(1) 5x2 7x 6(2)3x2 7x 2(3)二次项系数为1的齐次多项式例题4 分解因

8、式：a2 8ab 128b2分析：将b看成常数，把原多项式看成关于 a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解1 - 8b1 16b8b+( - 16b)= - 8b对应练习题分解因式： x2 3xy 2y2 (2) m2 6mn 8n2 a2 ab 6b2(4)二次项系数不为1的齐次多项式例题5 分解因式：2x2 7xy 6y2 例题6 分解因式：x2y2 3xy对应练习题分解因式：(1) 15x2 7xy 4y2 (2) a2x2 6ax 8综合练习题分解因式：(3) (x y)2 3(x y) 10 (4) (a b)2 4a 4b 35x2y 6x24mn 4n2 3m 6n 24xy4y

9、2 2x4y5(ab)2 23( a2b2) 10(a b)24x24xy6x 3y10， 、 一， 、2(10) 12(x y)11(x22 . 2y ) 2(x y) . 2 , 2. 2 2 . .思考：分解因式： abcx (a b c )x abc2、双十字相乘法定义：双十字相乘法用丁对Ax2Bxy_ 2 Cy Dx Ey F型多项式的分解因式.条件：(1) A aa2, C cq , F f2(2) a1c2 a2c1E , a1 f2 a2 f1则Ax2a/2 a?。2Bxy Cy例题7分解因式:解：应用双十字相乘法:c2f1B ， Gf2a2f2f1B,DxG f2Eyc2 f

10、1 E , a1 f2 a2 f1 D(ax Gy f)(a2x qy fz)(1)2 x2 x3xy(2)3xy 10y x10y2 x 9y 26y2 x 13y 62xyx 9y 25yc22y 1原式=(x 5y 2)( x 2y 1)3xy 2xy xy , 4y 9y 13y, 2x 3x x.原式=(x 2y 3)(x 3y 2)对应练习题分解因式：(1) x2 xy 2y2 x 7y 6 (2) 6x2 7xy 3y2 xz 7yz 2z23、十字相乘法进阶例题 8 分解因式：y(y 1)(x2 1) x(2y2 2y 1)例题9分解因式： ab(x2 y2) (a2 b2 )

11、(xy 1) (a2 b2 )(x y)四、主元法例题分解因式：x2 3xy 10y2 x 9y 2对应练习题分解因式:五、换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体， 并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰.例题 1 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2) 12 .例题 2 分解因式：(x2 4x 8)2 3x(x2 4x 8) 2x2例题 3 分解因式：(x 1)(x 1)(x 3)(x 5) 9分析：型如abcd e的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘例题4 分解因式：(x2 7x 6)(x2 x 6) 56.例题 5 分解因式：(x

12、2+3x+2)(4x2+8x+3) 90.例题 6 分解因式：4(3x2 x 1)(x2 2x 3) (4x2 x 4)222 2B.提示：可设 3x x 1 A,x 2x 3 B，则 4x x 4 A例题7分解因式：x6 28x3 27例题 8 分解因式：(a b)4 (a b)4 (a2 b2)2例题9 分解因式：(y 1)4 (y 3)4 272例题9对应练习 分解因式：a4 44 (a 4)4例题 10 分解因式：(x2+xy+y2)2 4xy(x2+y2).分析：本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式.对于较难分解的二元对称式，经常令

13、 u=x+y, v=xy,用换元法分解因式.例题11 分解因式：2x4 x3 6x2 x 2分析：此多项式的特点一一是关于 x的降藉排列，每一项的次数依次少 1,并且系数成“轴对称”.这种多项式属于“等距离多项式”.方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法 例题11对应练习 分解因式：6x4+7x3 36x2 7x+6 .例题11对应练习 分解因式：x4 4x3 x2 4x 1对应练习题分解因式:(1) x4+7x3+14x2+7x+1(2) x4 2x3 x2 1 2(x x2)(3) 2005x2 (20052 1)x 2005(4)(x 1)(x 2)(x 3)(x 6)

14、 x2(5)(x 1)(x 3)(x 5)(x 7) 15(6)(a 1)(a 2)(a 3)(a 4) 242(7)(2a 5)(a2 9)(2a 7) 91一、 一 2 一(8)(x+3)(x 1)(x+5) 202 2 2 2 2 .2(9)(a 1) (a 5) 4(a 3)(10)( 2x2- 3x+1)2- 22x2+33x- 1，、 3 3 3(11)(a 2b c) (a b) (b c)/ 、 1 2(12)xy(xy 1) (xy 3) 2(x y -) (x y 1)2(13)(a b 2ab)(a b 2) (1 ab)2六、添项、拆项、配方法因式分解是多项式乘法的逆运算. 在多项式乘法运算时， 整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零. 在对某些多项式分解因式时， 需号恢复那些被合并或相互抵消的项， 即把多项式中的某一项拆成两项或多项， 或者在多项式中 添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后