高数各章精选习题.docx
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高数各章精选习题
1.设f（x）=
sin（x+1）
1+x2
第一章
-∞A、有界函数B、奇函数C、偶函数D、周期函数
2.设f（x）=ln（x+1），则f（f（x））的定义域是（）
A、（0,+∞）
B、⎛1-1,+∞⎫
C、（1,+∞）
D、（0,e）
ç⎪
⎝e⎭
3.f（x）=
xsinxecosx在（-∞,+∞）上是（）
A、有界函数B、偶函数C、单调函数D、周期函数
4.limx-1的值是（）
x→1
A、1B、-1
C、0D、不存在
5.f（x）=arctan
1
1-x
，当x→1时的极限值是（）
ππ
A、B、-C、0D、不存在
22
x-1
6.y=sinln
x+1
（x>1）是（）
A、单调函数B、有界函数C、周期函数D、非奇非偶函数
7.y=π+arctanx的反函数是（）
2
A、y=2tan（x-π）,x∈⎛π,3π⎫
B、y=
x∈⎛π,3π⎫
ç⎪
⎝22⎭
tan,x
2
ç⎪
⎝22⎭
C、y=
2tan
x,x
2
∈（-π,π）
D、y=1tanx,x∈（-π,π）
2
8.x→0时，（1-cosx）2是sin2x的（）
A、高阶无穷小B、同阶无穷小，但不是等价无穷小
C、低阶无穷小D、等价无穷小
9.y=sin
x+1-x2
的连续区间
10.limx
x→+∞
x2+2x+5-（x+1）]=
11.limsin3x=
x→∞x
x2-1
12.f（x）=
x2-3x+2
的连续区间为
13.f（x）=⎧1,
⎩0,
⎨
14.y=⎧x-1,
⎩sinx,
x≤1，则f（f（x））=
x>1
x>0
的间断点是
x≤0
15.y=的定义域
16.lim=
x→2x2-4
⎧⎪ln（1+2x）,x≠0
17.若f（x）=⎨x
⎪⎩a,
x=0
在x=0处连续，则a=
⎛x2+1
18.limç
-x+b⎫=0，则b=
x→∞⎝
x+1⎭
19.
⎪
f（x）=arccos
⎨
⎧tan2x,
的定义域是
π
20.f（x）=⎪
⎪⎩
x
（x+k）2,
-
4x≥0
21.证明：
方程x=cosx在⎛0,π⎫内至少有一个实根.
ç⎪
⎝2⎭
f（x+h）-f（x）
22.设fx，求lim.
h→0h
23.已知（）=
ln（en+xn）（>
），求f（x）.
fxlimx0
n→∞n
⎧⎛arctan1⎫sinx+1ln（1+3x）,-124.设f（x）=⎪ç
⎪⎩
⎪
⎨⎝
x
x
⎭3
a,x≥0
，若f（x）在x=0处连续，求a的
值.
第二章一元函数微分学
1.若y=
f（x）满足f'（x）=2，则当∆x→0时，y=
f（x）在x=x处的微分dy是（）
A、与∆x等价的无穷小B、与∆x同阶的无穷小
C、比∆x低阶的无穷小D、比∆x高阶的无穷小
2.若f（x+1）=af（x）总成立，且f'（0）=b（a,b为非零常数），则f（x）在x=1处（）
A、可导且f'
（1）=ab
C、可导且f'
（1）=b
B、可导且f'
（1）=a
D、不可导
3.设y=
f（sinx），则dy=（）.
A、f'（sinx）（sinx）'dx
C、f'（sinx）sinxdx
B、f'（sinx）dx
D、f'sinxcosx
4.若f（x）为可微函数，则dy=（）
A、与∆x无关B、为∆x的线性函数
C、当∆x→0时为∆x的高阶无穷小D、与∆x为等价无穷小
⎪x
⎧
1
2
5.f（x）=⎨
sinx,x≠0在x=0处导数为（）
A、-1
⎪⎩0,
x=0
B、0C、1D、不存在
6.已知y=sinx，则y（10）=（）
A、sinx
B、cosx
C、-sinx
D、-cosx
7.设f（x）在点x=a处可导，则limf（a+x）-f（a-x）=（）
x→0x
A、2f'（a）B、f'（a）C、f'（2a）D、0
8.过曲线y=x+sinx上的点⎛π,1+π⎫处的切线方程.
ç⎪
⎝22⎭
9.设
f（x）
在（-∞,+∞）内处处可导，且
limf'（x）=k
x→∞
，则当
a,k
为常数时
lim[f（x+a）-f（x）]=.
x→∞
10.已知f'（3）=2，则limf（3-2h）-f（3）=.
h→0h
11.若函数y=y（x）由y=1+xey所确定，则y'=.
12.设y=ex+e-x，则y（n）=.
13.设y=10x9+8x7+1，则y（9）=
14.设f（x）在点x可导，a,b为常数，则lim
.
f（x+a∆x）-f（x-b∆x）
.
0∆x→0∆x
15.设f（x）=x（1+x）（2+x）（2010+x），则f'（10）=.
16.
y=x-1的不可导点为.
17.f（u）可导，且y=
f（ex），则dy=.
00
18.设对于任意的x，都有f（-x）=-f（x），f'（-x）=-k≠0，则f'（x）=.
19.已知y=xlnx，则y（10）=.
⎧x=1+t2
20.曲线⎨
⎩
y=t3
在t=2处的切线方程为.
21.已知y=
f⎛3x-2⎫，f'（x）=arctanx2，则=.
ç⎪
3x+2
x=0
⎝⎭
22.f（x）=e2x-2x在区间单调增加.
23.
2
lim（1+3x）sinx=.
x→0
24.设y=xey+1，求y'（0）.
25.设曲线f（x）=xn在点（1,1）处的切线与x轴的交点为（ξ,0），求limf（ξ）.
nn→∞n
26.已知
f（0）=0，
f（x）在区间[0,+∞）上连续，
f'（x）在[0,+∞）单调增加，证明：
g（x）=
f（x）在[0,+∞）内也单调增加.
x
27.设（）
⎧1-e2x,
x≤0
，求
'（）.
fx=⎨
⎩
x2,
x>0fx
28.求y=
3
x2-2x+4
图形的拐点与凹凸区.
29.讨论方程x2=xsinx+cosx的根的个数.
cosx
ln1
x
3sinx+x2cos1
x→0
1
30.求lim（+
）（+x）.
2x2
31.求y（1-x）2的单调区间、极值，及其图形的凹凸区间和拐点.
⎧1ln（1+x）,0x
32.设f（x）=⎪a,x=0
，问当a和k取何值时，f（x）在x=0处连续.
⎪sinkx,
x<0
⎩⎪x
33.设y=（1+x）ln（1+x+
2x+x2）-
，求dy.
34.设
f'（0）=0,f（0）=
⎛
0,limç1
1
+（）=e
1-cosfx⎫x
⎪
，求f'（0）.
x→0⎝
sinx⎭
ç
.
⎪
35.求lim⎛1-1⎫
x
x→0⎝x
e-1⎭
36.设y=y（x）由方程ey+xy=e所确定，求y'（0）.
37.求证：
当x∈（0,1）时，（1+x）ln2（1+x）38.设a>b>e，证明：
ab
39.设ex-ey=sinxy，求y'与y'.
40.已知f（x）=⎧ln（1+x）,x≥0，求f'（x）.
⎨sinx
⎩e,
x<0
41.讨论f（x）=2x+33
x2的增减性，凹凸性并求极值.
42.讨论3x2-1=cosx根的个数.
第三章一元函数积分学
xf
1.设f（x）满足f（0）=1,f
（2）=3,f'
（2）=5,f'（x）连续，则⎰2
'（x）dx=（）.
0
A、10B、9C、8D、7
2.由曲线y=x,y=1,x=4所围成的平面图形的面积是（）
A、4B、5C、7D、16
3333
3.下列等式成立的是（）
A、⎰f'（x）dx=
f（x）
B、⎰df（x）=
f（x）
C、d
dx
⎰f（x）dx=
f（x）
D、d⎰f（x）dx=
f（x）
4.若⎰f（x）dx=F（x）+c，则⎰f（ax2+b）xdx=（）
A、F（ax2+b）+c
B、12a
F（ax2+b）
C、12a
F（ax2+b）+c
D、2aF（ax2+b）+c
5.若f'（x2）=1（x>0），则f（x）=（）
x
A、2x+c
B、lnx+c
C、2+c
D、1+c
x
6.若f（x）=d⎰（-x）dt，则（）
sint
dx0
A、f（x）=-sinx
B、f（x）=-1+cosx
C、f（x）=sinx
D、f（x）=1-sinx
7.设f（x）连续，则limx⎰xf（t）dt的值为（）
x→ax-aa
A、0B、aC、f（a）D、af（a）
8.设f（x）连续，则d
dx
⎰
A、bf（x+y）dy
a
C、f（x+a）
bf（x+y）dy等于（）
⎰
a
B、f（x+b）-f（x+a）
D、f（x+b）
9.y=x+1,y=x2（x≥0）,x=1与y轴所围平面图形的面积等于（）
A、7B、2C、1D、4
6323
10.曲线y=x2-2x,y=0,x=1,x=3所围平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为
（）
A、11π
6
B、43π6
C、46π15
D、32π6
11.⎰
cos2x
dx.
sinx
12.极限lim1（+
n→∞n
++
n）用定积分表示.
13.⎰x2lnxdx=.
4
14.⎰-1x
xdx=.
⎰
15.1dx=.
0
16.⎰1dx=.
⎰
17.0exdx=.
⎰
-∞
18.
sin2x1+sin2x
dx=.
⎰
19.+∞e-xdx=.
0
⎰
20.设f（x）的原函数为sinx，则xf'（x）dx=.
x
21.⎰e3x2xdx=.
⎰
⎛1-x⎫2
22.ç
⎝
⎪dx=.
x⎭
23.
π
⎰-π
2（2.）x+cosxsinxdx=
2
24.
+∞dx=.
2x2+x-2
25.4x2-3x+2dx=.
1
26.设fx是连续函数，且⎰（）
=，则（）=.
27.y=1,y=x及x=2所围成的平面图形的面积.
x
28.由y=sinx,x∈[-π,π]与x轴所围平面图形面积为，这一图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积为.
（）1n⎛
b-a⎫
29.设f
x在[a,b]上连续，将limn∑fça+
k⎪用定积分表示.
n
n→∞
k=1⎝⎭
⎰
30.设f（x）=3x2-1f（x）dx，求f（x）.
0
⎰
31.计算3xdx.
0
2
32.计算⎰-1x
xdx.
2x+x
33.求⎰-22+x2dx.
⎰
34.求+∞e-xdx.
0
35.计算⎰43
xlnxdx.
12
36.若f（x）在[0,1]上是连续的.
πππ
（1）证明⎰0xf（sinx）dx=2⎰0f（sinx）dx.
πxsin3x
（2）求⎰01+cos2xdx.
第四章微分方程
1.设线性无关函数y1,y2,y3都是二阶非齐次线性微分方程y'+p（x）y'+q（x）y=
f（x）的解，
C1,C2是待定常数，则此方程的通解是（）
A、Cy+Cy+y
B、Cy+Cy
-
（C
+
C）y
11223
1122
233
C、Cy+Cy
-（1-C-C）y
D、Cy+Cy
+（1-C-C）y
1122
123
1122
123
2.已知二阶微分方程y'+2y'+2y=e-xsinx，则其特解形式为（）
A、e-x（acosx+bsinx）
C、xe-x（acosx+bsinx）
B、ae-xcosx+bxe-xsinx
D、axe-xcosx+be-xsinx
ç
⎪dt
3.若连续函数f（x）满足f（x）=⎰2xf⎛t⎫
+ln2，则f（x）=（）
A、exln2
B、e2xln2
0⎝2⎭
C、ex+ln2
D、e2x+ln2
4.一阶线性微分方程y'+p（x）y=Q（x）的通解为.
5.dy+x=0的通解为.
dxy
6.y'-y=0的通解.
ç
⎪
7.设f（x）为连续函数，且f（x）=⎰2xf⎛t⎫dt+1，求f（x）.
0⎝2⎭
dyy2+1
8.求dx=y（x2-1）的通解.
9.求y'+3y'+2y=3xe-x的通解.
10.y'+1y=（1
）的通解.
1.x
n=1n
的收敛区间为（）
第五章无穷级数
A、（-1,1）
B、[-1,1]
C、（-1,1]
D、[-1,1）
∞xn
2.级数∑n的收敛区间是.
n=0
∞∞
3.若级数∑an=S，则∑（an-2an+1）=.
n=1n=1
∞⎛1⎫n-1
4.级数∑ç2⎪=.
n=2⎝⎭
∞
n
5.级数∑3xn的收敛半径R=.
n=1n+3
6.函数lnx在x=1的幂级数展开式为.
7.将f（x）=ln（1-x-2x2）展开成x的幂级数，并指出收敛域.
1
∞
2n-1
3
8.求幂级数∑nx的收敛域.
n=1
∞nxn
9.求幂级数∑（-1）
n=1
的收敛半径及收敛区间.
nn
∞
10.判定级数∑1
n=1
的敛散性.
11.将f（x）=
1
x2-3x+2
展开成x的幂级数，并指出收敛区间.
第六章向量代数与空间解析几何
L⎧x+3y+2z+1=0
⎩
1.已知直线
（）
：
⎨2x-y-10z+3=0
及平面∏:
x-2y+z=1，则直线L与∏的关系是
A、L⊥∏B、L//∏,但L不在∏内C、但L在∏内D、L与∏斜交
2.在xoy平面上与向量a=（4,-3,7）垂直的单位向量是.
3.平面2x+y-z-1=0与平面2x+y-z+3=0之间的距离等于.
4.直线
x-2=
3
y-1=
-1
z到平面x-y-4z-2=0的距离为.
1
1212
5.已知两点M（0,1,2）和M（1,-1,0），则与向量MM同方向的单位向量a=.
6.向量b=（1,1,-4）在向量a=（2,-2,1）上的投影等于.
7.要使直线
x-a
3
=y=
-2
z+1
a
在平面3x+4y-az=3a-1上，求a.
8.已知直线L⎧
x-y=3
及点P（1,0,-1）.求P到直线的距离.
：
⎨00
⎩3x-y+z=1
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