12 命题及其关系充分条件与必要条件同名4654.docx
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12命题及其关系充分条件与必要条件同名4654
1．2 命题及其关系、充分条件与必要条件
[知识梳理]
1．命题
2．四种命题及其相互关系
（1）四种命题间的相互关系
（2）四种命题中真假性的等价关系：
原命题等价于逆否命题，原命题的否命题等价于逆命题，在四种形式的命题中真命题的个数只能是0,2,4.
（3）写一个命题的其他三种命题时，需注意：
①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；
②当命题有大前提时，写其他三种命题时需保留大前提；
③对于有多个并列条件的命题，应把其中一个作为大前提．
3．充要条件
（1）集合与充要条件
（2）充分条件与必要条件的两个特征
①对称性：
若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”．
②传递性：
若p是q的充分（必要）条件，q是r的充分（必要）条件，则p是r的充分（必要）条件，即“p⇒q且q⇒r”⇒“p⇒r”（“p⇐q且q⇐r”⇒“p⇐r”）．
[诊断自测]
1．概念思辨
（1）“x2＋2x－3<0”是命题．（ ）
（2）命题“若p，则q”的否定是“若綈p，则綈q”．（ ）
（3）若命题“若p，则q”为真命题，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真.（ ）
（4）“x>－1”是“x>0”的充分不必要条件.（ ）
答案
（1）×
（2）× （3）√ （4）×
2．教材衍化
（1）（选修A2－1P8T2）命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是（ ）
A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数
B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数
C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数
D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数
答案 C
解析 若命题为“若p，则q”，命题的逆否命题为“若非q，则非p”，所以原命题的逆否命题是“若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数”．故选C.
（2）（选修A2－1P10T4）x2－3x＋2≠0是x≠1的________条件．
答案 充分不必要
解析 若x2－3x＋2≠0，则x≠1且x≠2，此时充分性成立，当x＝2时，满足x≠1，但此时x2－3x＋2＝0成立，即必要性不成立，即x2－3x＋2≠0是x≠1的充分不必要条件．
3．小题热身
（1）（2017·浙江高考）已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 解法一：
∵数列{an}是公差为d的等差数列，
∴S4＝4a1＋6d，S5＝5a1＋10d，S6＝6a1＋15d，
∴S4＋S6＝10a1＋21d,2S5＝10a1＋20d.
若d>0，则21d>20d,10a1＋21d>10a1＋20d，
即S4＋S6>2S5.
若S4＋S6>2S5，则10a1＋21d>10a1＋20d，即21d>20d，
∴d>0.∴“d>0”是“S4＋S6>2S5”的充分必要条件．
故选C.
解法二：
∵S4＋S6>2S5⇔S4＋S4＋a5＋a6>2（S4＋a5）⇔a6>a5⇔a5＋d>a5⇔d>0，∴“d>0”是“S4＋S6>2S5”的充分必要条件．故选C.
（2）（2017·山东潍坊高三期末）命题“若x＝5，则x2－8x＋15＝0”，那么它的逆命题、否命题与逆否命题这三个命题中，真命题有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
答案 B
解析 原命题“若x＝5，则x2－8x＋15＝0”为真命题，又当x2－8x＋15＝0时，x＝3或5.
故其逆命题：
“若x2－8x＋15＝0，则x＝5”为假命题．又由四种命题之间的关系知该命题的逆否命题为真命题，否命题为假命题．故选B.
题型1 四种命题的关系及真假判断
已知：
命题“若函数f（x）＝ex－mx在（0，＋∞）上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是（ ）
A．否命题是“若函数f（x）＝ex－mx在（0，＋∞）上是减函数，则m>1”，是真命题
B．逆命题是“若m≤1，则函数f（x）＝ex－mx在（0，＋∞）上是增函数”，是假命题
C．逆否命题是“若m>1，则函数f（x）＝ex－mx在（0，＋∞）上是减函数”，是真命题
D．逆否命题是“若m>1，则函数f（x）＝ex－mx在（0，＋∞）上不是增函数”，是真命题
本题用四种命题中真假性的等价关系进行判断．
答案 D
解析 由f（x）＝ex－mx在（0，＋∞）上是增函数，则f′（x）＝ex－m≥0在（0，＋∞）上恒成立，∴m≤1.
因此原命题是真命题，所以其逆否命题“若m>1，则函数f（x）＝ex－mx在（0，＋∞）上不是增函数”是真命题．故选D.
（2018·黄梅期末）给出下列命题：
①命题“若b2－4ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）无实根”的否命题；
②命题“△ABC中，AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题；
③命题“若a>b>0，则
>
>0”的逆否命题；
④“若m>1，则mx2－2（m＋1）x＋（m－3）>0的解集为R”的逆命题．
其中真命题的序号为________．
分清原命题的条件与结论写出所要命题，进行判断．
答案 ①②③
解析 ①命题“若b2－4ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）无实根”的否命题是“若b2－4ac≥0，则方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有实根”，是真命题；
②命题“△ABC中，AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题是“△ABC是等边三角形，则AB＝BC＝CA”，是真命题；
③命题“若a>b>0，则
>
>0”是真命题，∴它的逆否命题也是真命题；
④命题“若m>1，则mx2－2（m＋1）x＋（m－3）>0的解集为R”的逆命题是“若mx2－2（m＋1）x＋（m－3）>0的解集为R，则m>1”是假命题，
∵不等式的解集为R时，
的解集为∅，∴逆命题是假命题；
∴真命题有①②③.
方法技巧
四种命题关系及真假判断的方法
1．由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，如果命题不是“若p，则q”的形式，应先改写成“若p，则q”的形式；如果命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提不变．例如典例2.
2．判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例．见教材衍化2.
3．根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．例如冲关针对训练2.
冲关针对训练
1．（2018·陕西模拟）原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）
A．真，假，真B．假，假，真
C．真，真，假D．假，假，假
答案 B
解析 先证原命题为真：
当z1，z2互为共轭复数时，设z1＝a＋bi（a，b∈R），则z2＝a－bi，则|z1|＝|z2|＝
，∴原命题为真，故逆否命题为真；再证逆命题为假：
取z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但是z1，z2不互为共轭复数，∴逆命题为假，故否命题也为假．故选B.
2．（2017·沐阳县期中）以下四个命题中是真命题的有________（填序号）．
①命题“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；
②命题“面积相等的两个三角形全等”的否命题；
③命题“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．
答案 ①②
解析 对于①，命题“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，它是真命题；对于②，命题“面积相等的两个三角形全等”的否命题是“面积不相等的两个三角形不全等”，它是真命题；对于③，命题“若A∩B＝B，则A⊆B”是假命题，∴它的逆否命题也是假命题；综上，正确的命题是①②.
题型2 充分条件与必要条件的判定
角度1 利用定义判断充分、必要条件
（2018·赣中南五校联考）已知α，β均为第一象限角，那么α>β是sinα>sinβ的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
利用定义结合特殊值法进行判断．
答案 D
解析 由α，β均为第一象限角，可取α＝2π＋
，β＝
，有α>β，但sinα＝sinβ，即α>β不是sinα>sinβ的充分条件；又由α，β均为第一象限角，可取α＝
，β＝2π＋
，有sinα>sinβ成立，但α<β，即α>β不是sinα>sinβ的必要条件，综上所述，α>β是sinα>sinβ的既不充分也不必要条件．故选D.
角度2 等价转化法判断充分、必要条件
（2018·阳山模拟）“a≠1或b≠2”是“a＋b≠3”的（ ）
A．必要不充分条件B．既不充分也不必要条件
C．充要条件D．充分不必要条件
用等价转化法．
答案 A
解析 由题意得：
∵命题“若a≠1或b≠2，则a＋b≠3”与命题“若a＋b＝3，则a＝1且b＝2”互为逆否命题．
∴判断命题“若a≠1或b≠2，则a＋b≠3”的真假只要判断命题“若a＋b＝3，则a＝1且b＝2”的真假即可．
因为命题“若a＋b＝3，则a＝1且b＝2”显然是假命题．
所以命题“若a≠1或b≠2，则a＋b≠3”是假命题，
∴a≠1或b≠2推不出a＋b≠3.
同理“若a＝1且b＝2，则a＋b＝3”是真命题，
∴命题“若a＋b≠3，则a≠1或b≠2”是真命题．
∴a＋b≠3⇒a≠1或b≠2.
∴“a≠1或b≠2”是“a＋b≠3”的必要不充分条件．故选A.
角度3 集合法判断充分、必要条件
（2017·天津高考）设θ∈R，则“
＜
”是“sinθ
＜
”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
用集合法．
答案 A
解析 ∵
＜
⇔－
＜θ－
＜
⇔0＜θ＜
，sinθ＜
⇔θ∈
，k∈Z，
，k∈Z，
∴“
<
”是“sinθ<
”的充分而不必要条件．故选A.
角度4 探求结论成立的充分、必要条件
（2018·延安质检）函数f（x）＝
有且只有一
个零点的充分不必要条件是（ ）
A．a<0B．0C.
1
用数形结合法．
答案 A
解析 因为函数f（x）过点（1,0），所以函数f（x）有且只有一个零点⇔函数y＝－2x＋a（x≤0）没有零点⇔函数y＝2x（x≤0）与直线y＝a无公共点．由数形结合，可得a≤0或a>1.
观察选项，根据集合间关系{a|a<0}{a|a≤0或a>1}．故选A.
方法技巧
充分条件和必要条件的三种判断方法
1．定义法：
可按照以下三个步骤进行
（1）确定条件p是什么，结论q是什么；
（2）尝试由条件p推结论q，由结论q推条件p；
（3）确定条件p和结论q的关系．见角度1典例．
2．等价转化法：
对于含否定形式的命题，如綈p是綈q的什么条件，利用原命题与逆否命题的等价性，可转化为求q是p的什么条件．见角度2典例．
3．集合法：
根据p，q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断．设A＝{x|p（x）}，B＝{x|q（x）}，若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若AB，则p是q的充分不必要条件，若A＝B，则p是q的充要条件．见角度3典例．
冲关针对训练
1．（2018·石家庄模拟）命题p：
|x|<1，命题q：
x2＋x－6<0，则綈p是綈q成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 由|x|<1得－1－1－32．（2016·四川高考）设p：
实数x，y满足（x－1）2＋（y－1）2≤2，q：
实数x，y满足
则p是q的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 如图作出p，q表示的区域，其中⊙M及其内部为p表示的区域，△ABC及其内部（阴影部分）为q表示的区域，故p是q的必要不充分条件．故选A.
题型3 充分、必要条件的应用
（2018·石家庄模拟）设命题p：
|4x－3|≤1；命题q：
x2－（2a＋1）x＋a（a＋1）≤0，若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．
本题用集合法．
答案
解析
方法技巧
根据充要条件求解参数范围的常用方法
充分、必要条件的应用，一般体现在参数范围的求解上，其常用方法和注意事项为：
1．解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（组）求解．见典例．
2．求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．
冲关针对训练
已知p：
|x－a|<4；q：
（x－2）（3－x）>0，若綈p是綈q的充分不必要条件，则a的取值范围为________．
答案 [－1,6]
解析 ∵綈p是綈q的充分不必要条件，
∴q是p的充分不必要条件．
对于p，|x－a|<4，∴a－4对于q,2∴
（等号不能同时取到），∴－1≤a≤6.
1．（2017·北京高考）设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n＜0”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 解法一：
由题意知|m|≠0，|n|≠0.
设m与n的夹角为θ.
若存在负数λ，使得m＝λn，
则m与n反向共线，θ＝180°，
∴m·n＝|m||n|cosθ＝－|m||n|＜0.
当90°＜θ＜180°时，m·n＜0，此时不存在负数λ，使得m＝λn.
故“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n＜0”的充分而不必要条件．故选A.
解法二：
∵m＝λn，∴m·n＝λn·n＝λ|n|2.
∴当λ＜0，n≠0时，m·n＜0.
反之，由m·n＝|m||n|cos〈m，n〉＜0⇔cos〈m，n〉＜0
⇔〈m，n〉∈
，
当〈m，n〉∈
时，m，n不共线．
故“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n＜0”的充分而不必要条件．故选A.
2．（2015·北京高考）设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α.“m∥β”是“α∥β”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 若m⊂α且m∥β，则平面α与平面β不一定平行，有可能相交；而m⊂α且α∥β一定可以推出m∥β，所以“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．故选B.
3．（2017·南昌十校模拟）已知命题“已知a，b，c为实数，若abc＝0，则a，b，c中至少有一个等于0”，在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
答案 D
解析 原命题为真命题，逆命题为“已知a，b，c为实数，若a，b，c中至少有一个等于0，则abc＝0”，也为真命题．根据命题的等价关系可知其否命题、逆否命题也是真命题，故在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为3.故选D.
4．（2018·豫南九校联考）已知p：
≤2，q：
x2－2x＋1－m2≤0（m>0），且綈p是綈q的必要而不充分条件，则实数m的取值范围为________．
答案 [9，＋∞）
解析 解法一：
由
≤2，得－2≤x≤10，
∴綈p对应的集合为{x|x>10或x<－2}，
设A＝{x|x>10或x<－2}．
由x2－2x＋1－m2≤0（m>0），得1－m≤x≤1＋m（m>0），
∴綈q对应的集合为{x|x>m＋1或x<1－m，m>0}，
设B＝{x|x>m＋1或x<1－m，m>0}．
∵綈p是綈q的必要而不充分的条件，∴BA，
∴
且不能同时取得等号．
解得m≥9，∴实数m的取值范围为[9，＋∞）．
解法二：
∵綈p是綈q必要而不充分条件，
∴q是p的必要而不充分条件，
即p是q的充分而不必要条件，
由x2－2x＋1－m2≤0（m>0），得1－m≤x≤1＋m（m>0）．∴q对应的集合为{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}，
设M＝{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}，
又由
≤2，得－2≤x≤10，
∴p对应的集合为{x|－2≤x≤10}．设N＝{x|－2≤x≤10}，由p是q的充分而不必要条件知NM，
∴
且不能同时取等号，解得m≥9.
∴实数m的取值范围为[9，＋∞）．
[基础送分提速狂刷练]
一、选择题
1．下列命题中是真命题的是（ ）
①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；
②“正多边形都相似”的逆命题；
③“若x－3
是有理数，则x是无理数”的逆否命题．
A．①②B．①③C．②③D．①②③
答案 B
解析 对于①，其否命题是“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”，这显然是正确的，故①为真命题；对于②，其逆命题是“若两多边形相似，则它们一定是正多边形”，这显然是错误的，故②为假命题；对于③，原命题为真，故逆否命题也为真．因此是真命题的是①③.故选B.
2．（2018·河南八市联考）命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题是（ ）
A．若a≤b，则a＋c≤b＋cB．若a＋c≤b＋c，则a≤b
C．若a＋c>b＋c，则a>bD．若a>b，则a＋c≤b＋c
答案 A
解析 否命题是将原命题的条件和结论都否定，故命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题是“若a≤b，则a＋c≤b＋c”．故选A.
3．（2018·曲阜模拟）已知p：
函数f（x）＝|x＋a|在（－∞，－1）上是单调函数，q：
函数g（x）＝loga（x＋1）（a>0且a≠1）在（－1，＋∞）上是增函数，则綈p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 易知p成立⇔a≤1，q成立⇔a>1，所以綈p成立⇔a>1，则綈p是q的充要条件．故选C.
4．下列命题正确的是（ ）
A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题
B．“a>0，b>0”是“
＋
≥2”的充分必要条件
C．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2－3x＋2≠0”
D．命题p：
∃x∈R，x2＋x－1<0，则綈p：
∀x∈R，x2＋x－1≥0
答案 D
解析 若p∨q为真命题，则p，q中至少有一个为真，那么p∧q可能为真，也可能为假，故A错误；若a>0，b>0，则
＋
≥2，又当a<0，b<0时，也有
＋
≥2，所以“a>0，b>0”是“
＋
≥2”的充分不必要条件，故B错误；命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2”的逆否命题为“若x≠1且x≠2，则x2－3x＋2≠0”，故C错误，易知D正确．故选D.
5．“a<－1”是“∃x0∈R，asinx0＋1<0”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 由题意知“∃x0∈R，asinx0＋1<0”等价于“（asinx＋1）min<0”，即“当a>0时，－a＋1<0，即a>1；当a<0时，a＋1<0，即a<－1”，所以“a<－1”是“∃x0∈R，asinx0＋1<0”的充分不必要条件，故选B.
6．（2018·合肥模拟）祖暅原理：
“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积恒相等，那么体积相等．设A，B为两个同高的几何体，p：
A，B的体积不相等，q：
A，B在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 设命题a：
“若p，则q”，可知命题a是祖暅原理的逆否命题，则a是真命题．故p是q的充分条件．设命题b：
“若q，则p”，若A比B在某些等高处的截面积小一些，在另一些等高处的截面积大一些，且大的总量与小的总量相抵，则它们的体积还是一样的．所以命题b是假命题，即p不是q的必要条件．综上所述，p是q的充分不必要条件．故选A.
7．（2017·衡水联考）“a＝0”是“函数f（x）＝sinx－
＋a为奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 f（x）的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，当a＝0时，f（x）＝sinx－
，f（－x）＝sin（－x）－
＝－sinx＋
＝－
＝－f（x），故f（x）为奇函数；
反之，当f（x）＝sinx－
＋a为奇函数时，f（－x）＋f（x）＝0，
又f（－x）＋f（x）＝sin（－x）－
＋a＋sinx－
＋a＝2a，故a＝0，
所以“a＝0”是“函数f（x）＝sinx－
＋a为奇函数”的充要条件．故选C.
8．（2018·天津模拟）已知f（x）＝2x＋3（x∈R），若|f（x）－1|0），则a，b之间的关系是（ ）
A．b≥
B．b<
C．a≤
D．a>
答案 A
解析 ∵f（x）＝2x＋3，且|f（x）－1|∴|2x＋2|∴
.
∵|x＋1|∴－b－1∵|f（x）－1|0），
∴
⊆（－b－1，b－1），
∴
解得b≥
.故选A.
9．（2018·江西一联）已知i为虚数单位，a为实数，复数z＝（1－2i）（a＋i）在复平面内对应的点为M，则“a>0”是“点M在第四象限”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 复数z＝（1－2i）（a＋i）＝a＋2－2ai＋i＝a＋2＋（1－2a）i在复平面内对应的点为M（a＋2,1－2a）．若a>0，则a＋2>0，但1－2a的正负不确定，所以点M是否在第四象限也是不确定的；若点M在第四象限，则
解得a>
，此时可推出a>0.所以“a>0”是“点M在第四象限”的必要不充分条件．故选B.
10．（2017·湖北七市联考）已知圆C：
（x－1）2＋y2＝r2（r>0）．设p：
0圆C上至多有2个点到直线x－
y＋3＝0的距离为1，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 圆C：
（x－1）2＋y2＝r2的圆心（1,0）到直线x－
y＋3＝0的距离d＝
＝2.当r∈（0,1）时，直线与圆相离，圆上没有到直线的距离为1的点；当r＝1时，直线与圆相离，圆上只有一个点到直线的距离
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