第9讲 数字谜.docx
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第9讲数字谜
第9讲数字谜
(一)
我们在三年级已经学习过一些简单的数字谜问题。
这两讲除了复习巩固学过的知识外,还要学习一些新的内容。
例1在下面算式等号左边合适的地方添上括号,使等式成立:
5+7×8+12÷4-2=20。
分析:
等式右边是20,而等式左边算式中的7×8所得的积比20大得多。
因此必须设法使这个积缩小一定的倍数,化大为小。
从整个算式来看,7×8是4的倍数,12也是4的倍数,5不能被4整除,因此可在7×8+12前后添上小括号,再除以4得17,5+17-2=20。
解:
5+(7×8+12)÷4-2=20。
例2把1~9这九个数字填到下面的九个□里,组成三个等式(每个数字只能填一次):
分析与解:
如果从加法与减法两个算式入手,那么会出现许多种情形。
如果从乘法算式入手,那么只有下面两种可能:
2×3=6或2×4=8,
所以应当从乘法算式入手。
因为在加法算式□+□=□中,等号两边的数相等,所以加法算式中的三个□内的三个数的和是偶数;而减法算式□-□=可以变形为加法算式□=□+□,所以减法算式中的三个□内的三个数的和也是偶数。
于是可知,原题加减法算式中的六个数的和应该是偶数。
若乘法算式是2×4=8,则剩下的六个数1,3,5,6,7,9的和是奇数,不合题意;
若乘法算式是2×3=6,则剩下的六个数1,4,5,7,8,9可分为两组:
4+5=9,8-7=1(或8-1=7);
1+7=8,9-5=4(或9-4=5)。
所以答案为
例3下面的算式是由1~9九个数字组成的,其中“7”已填好,请将其余各数填入□,使得等式成立:
□□□÷□□=□-□=□-7。
分析与解:
因为左端除法式子的商必大于等于2,所以右端被减数只能填9,由此知左端被除数的百位数只能填1,故中间减式有8-6,6-4,5-3和4-2四种可能。
经逐一验证,8-6,6-4和4-2均无解,只有当中间减式为5-3时有如下两组解:
128÷64=5-3=9-7,
或164÷82=5-3=9-7。
例4将1~9九个数字分别填入下面四个算式的九个□中,使得四个等式都成立:
□+□=6,□×□=8,
□-□=6,□□÷□=8。
分析与解:
因为每个□中要填不同的数字,对于加式只有两种填法:
1+5或2+4;对于乘式也只有两种填法:
1×8或2×4。
加式与乘式的数字不能相同,搭配后只有两种可能:
(1)加式为1+5,乘式为2×4;
(2)加式为2+4,乘式为1×8。
对于
(1),还剩3,6,7,8,9五个数字未填,减式只能是9-3,此时除式无法满足;
对于
(2),还剩3,5,6,7,9五个数字未填,减式只能是9-3,此时除式可填56÷7。
答案如下:
2+4=6,1×8=8,
9-3=6,56÷7=8。
例2~例4都是对题目经过初步分析后,将满足题目条件的所有可能情况全部列举出来,再逐一试算,决定取舍。
这种方法叫做枚举法,也叫穷举法或列举法,它适用于只有几种可能情况的题目,如果可能的情况很多,那么就不宜用枚举法。
例5从1~9这九个自然数中选出八个填入下式的八个○内,使得算式的结果尽可能大:
[○÷○×(○+○)]-[○×○+○-○]。
分析与解:
为使算式的结果尽可能大,应当使前一个中括号内的结果尽量大,后一个中括号内的结果尽量小。
为叙述方便,将原式改写为:
[A÷B×(C+D)]-[E×F+G-H]。
通过分析,A,C,D,H应尽可能大,且A应最大,C,D次之,H再次之;B,E,F,G应尽可能小,且B应最小,E,F次之,G再次之。
于是得到A=9,C=8,D=7,H=6,B=1,E=2,F=3,G=4,其中C与D,E与F的值可互换。
将它们代入算式,得到
[9÷1×(8+7)]-[2×3+4-6]=131。
练习9
1.在下面的算式里填上括号,使等式成立:
(1)4×6+24÷6-5=15;
(2)4×6+24÷6-5=35;
(3)4×6+24÷6-5=48;
(4)4×6+24÷6-5=0。
2.加上适当的运算符号和括号,使下式成立:
12345=100。
3.把0~9这十个数字填到下面的□里,组成三个等式(每个数字只能填一次):
□+□=□,
□-□=□,
□×□=□□。
4.在下面的□里填上+,-,×,÷,()等符号,使各个等式成立:
4□4□4□4=1,
4□4□4□4=3,
4□4□4□4=5,
4□4□4□4=9。
5.将2~7这六个数字分别填入下式的□中,使得等式成立:
□+□-□=□×□÷□。
6.将1~9分别填入下式的九个□内,使算式取得最大值:
□□□×□□□×□□□。
7.将1~8分别填入下式的八个□内,使算式取得最小值:
□□×□□×□□×□□。
第10讲数字谜
(二)
例1把下面算式中缺少的数字补上:
分析与解:
一个四位数减去一个三位数,差是一个两位数,也就是说被减数与减数相差不到100。
四位数与三位数相差不到100,三位数必然大于900,四位数必然小于1100。
由此我们找出解决本题的突破口在百位数上。
(1)填百位与千位。
由于被减数是四位数,减数是三位数,差是两位数,所以减数的百位应填9,被减数的千位应填1,百位应填0,且十位相减时必须向百位借1。
(2)填个位。
由于被减数个位数字是0,差的个位数字是1,所以减数的个位数字是9。
(3)填十位。
由于个位向十位借1,十位又向百位借1,所以被减数十位上的实际数值是18,18分解成两个一位数的和,只能是9与9,因此,减数与差的十位数字都是9。
所求算式如右式。
由例1看出,考虑减法算式时,借位是一个重要条件。
例2在下列各加法算式中,相同的汉字代表相同的数字,不同的汉字代表不同的数字,求出这两个算式:
分析与解:
(1)这是一道四个数连加的算式,其特点是相同数位上的数字相同,且个位与百位上的数字相同,即都是汉字“学”。
从个位相同数相加的情况来看,和的个位数字是8,有两种可能情况:
2+2+2+2=8与7+7+7+7=28,即“学”=2或7。
如果“学”=2,那么要使三个“数”所代表的数字相加的和的个位数字为8,“数”只能代表数字6。
此时,百位上的和为“学”+“学”+1=2+2+1=5≠4。
因此“学”≠2。
如果“学”=7,那么要使三个“数”所代表的数字相加再加上个位进位的2,和的个位数字为8,“数”只能代表数字2。
百位上两个7相加要向千位进位1,由此可得“我”代表数字3。
满足条件的解如右式。
(2)由千位看出,“努”=4。
由千、百、十、个位上都有“努”,5432-4444=988,可将竖式简化为左下式。
同理,由左下式看出,“力”=8,988-888=100,可将左下式简化为下中式,从而求出“学”=9,“习”=1。
满足条件的算式如右下式。
例2中的两题形式类似,但题目特点并不相同,解法也不同,请同学们注意比较。
例3下面竖式中每个汉字代表一个数字,不同的汉字代表不同的数字,求被乘数。
分析与解:
由于个位上的“赛”ד赛”所得的积不再是“赛”,而是另一个数,所以“赛”的取值只能是2,3,4,7,8,9。
下面采用逐一试验的方法求解。
(1)若“赛”=2,则“数”=4,积=444444。
被乘数为444444÷2=222222,而被乘数各个数位上的数字各不相同,所以“赛”≠2。
(2)若“赛”=3,则“数”=9,仿
(1)讨论,也不行。
(3)若“赛”=4,则“数”=6,积=666666。
666666÷4得不到整数商,不合题意。
(4)若“赛”=7,则“数”=9,积=999999。
被乘数为999999÷7=142857,符合题意。
(5)若“赛”=8或9,仿上讨论可知,不合题意。
所以,被乘数是142857。
例4在□内填入适当的数字,使左下式的乘法竖式成立。
分析与解:
为清楚起见,我们用A,B,C,D,…表示□内应填入的数字(见右上式)。
由被乘数大于500知,E=1。
由于乘数的百位数与被乘数的乘积的末位数是5,故B,C中必有一个是5。
若C=5,则有
6□□×5=(600+□□)×5=3000+□□×5,
不可能等于□5□5,与题意不符,所以B=5。
再由B=5推知G=0或5。
若G=5,则F=A=9,此时被乘数为695,无论C为何值,它与695的积不可能等于□5□5,与题意不符,所以G=0,F=A=4。
此时已求出被乘数是645,经试验只有645×7满足□5□5,所以C=7;最后由B=5,G=0知D为偶数,经试验知D=2。
右式为所求竖式。
此类乘法竖式题应根据已给出的数字、乘法及加法的进位情况,先填比较容易的未知数,再依次填其余未知数。
有时某未知数有几种可能取值,需逐一试验决定取舍。
例5在□内填入适当数字,使左下方的除法竖式成立。
分析与解:
把左上式改写成右上式。
根据除法竖式的特点知,B=0,D=G=1,E=F=H=9,因此除数应是99的两位数的约数,可能取值有11,33和99,再由商的个位数是5以及5与除数的积是两位数得到除数是11,进而知A=C-9。
至此,除数与商都已求出,其余未知数都可填出(见右式)。
此类除法竖式应根据除法竖式的特点,如商的空位补0、余数必须小于除数,以及空格间的相互关系等求解,只要求出除数和商,问题就迎刃而解了。
例6把左下方除法算式中的*号换成数字,使之成为一个完整的式子(各*所表示的数字不一定相同)。
分析与解:
由上面的除法算式容易看出,商的十位数字“*”是0,即商为
。
因为除数与8的积是两位数,除数与商的千位数字的积是三位数,知商的千位数是9,即商为9807。
因为“除数×9”是三位数,所以除数≥12;又因为“除数×8”是两位数,所以除数≤12。
推知除数只能是12。
被除数为9807×12=117684。
除法算式如上页右式。
练习10
1.在下面各竖式的□内填入合适的数字,使竖式成立:
2.右面的加法算式中,相同的汉字代表相同的数字,不同的汉字代表不同的数字。
问:
“小”代表什么数字?
3.在下列各算式中,不同的汉字代表不同的数字相同的汉字代表相同的数字。
求出下列各式:
4.在下列各算式中,相同的字母代表相同的数字,不同的字母代表不同的数字。
这些算式中各字母分别代表什么数字?