第9讲 数字谜.docx

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第9讲数字谜

第9讲数字谜

（一）

我们在三年级已经学习过一些简单的数字谜问题。

这两讲除了复习巩固学过的知识外，还要学习一些新的内容。

例1在下面算式等号左边合适的地方添上括号，使等式成立：

　　5+7×8+12÷4-2＝20。

　　分析：

等式右边是20，而等式左边算式中的7×8所得的积比20大得多。

因此必须设法使这个积缩小一定的倍数，化大为小。

　　从整个算式来看，7×8是4的倍数，12也是4的倍数，5不能被4整除，因此可在7×8+12前后添上小括号，再除以4得17，5＋17-2=20。

解：

5+（7×8+12）÷4-2=20。

例2把1～9这九个数字填到下面的九个□里，组成三个等式（每个数字只能填一次）：

分析与解：

如果从加法与减法两个算式入手，那么会出现许多种情形。

如果从乘法算式入手，那么只有下面两种可能：

　　2×3＝6或2×4＝8，

　　所以应当从乘法算式入手。

　　因为在加法算式□+□=□中，等号两边的数相等，所以加法算式中的三个□内的三个数的和是偶数；而减法算式□-□=可以变形为加法算式□=□+□，所以减法算式中的三个□内的三个数的和也是偶数。

于是可知，原题加减法算式中的六个数的和应该是偶数。

　　若乘法算式是2×4＝8，则剩下的六个数1，3，5，6，7，9的和是奇数，不合题意；

　　若乘法算式是2×3＝6，则剩下的六个数1，4，5，7，8，9可分为两组：

　　4＋5＝9，8-7＝1（或8-1＝7）；

　　1＋7＝8，9－5＝4（或9－4＝5）。

　　所以答案为

例3下面的算式是由1～9九个数字组成的，其中“7”已填好，请将其余各数填入□，使得等式成立：

　　□□□÷□□=□-□=□-7。

分析与解：

因为左端除法式子的商必大于等于2，所以右端被减数只能填9，由此知左端被除数的百位数只能填1，故中间减式有8-6，6-4，5-3和4-2四种可能。

经逐一验证，8-6，6-4和4-2均无解，只有当中间减式为5-3时有如下两组解：

　　128÷64=5-3=9-7，

　　或164÷82＝5-3＝9-7。

例4将1～9九个数字分别填入下面四个算式的九个□中，使得四个等式都成立：

　　□+□=6，□×□=8，

　　□-□=6，□□÷□=8。

分析与解：

因为每个□中要填不同的数字，对于加式只有两种填法：

1＋5或2＋4；对于乘式也只有两种填法：

1×8或2×4。

加式与乘式的数字不能相同，搭配后只有两种可能：

（1）加式为1＋5，乘式为2×4；

（2）加式为2+4，乘式为1×8。

　　对于

（1），还剩3，6，7，8，9五个数字未填，减式只能是9-3，此时除式无法满足；

　　对于

（2），还剩3，5，6，7，9五个数字未填，减式只能是9-3，此时除式可填56÷7。

答案如下：

　　2＋4＝6，1×8＝8，

　　9－3＝6，56÷7＝8。

　　例2～例4都是对题目经过初步分析后，将满足题目条件的所有可能情况全部列举出来，再逐一试算，决定取舍。

这种方法叫做枚举法，也叫穷举法或列举法，它适用于只有几种可能情况的题目，如果可能的情况很多，那么就不宜用枚举法。

例5从1～9这九个自然数中选出八个填入下式的八个○内，使得算式的结果尽可能大：

　　[○÷○×（○+○）]-[○×○+○-○]。

分析与解：

为使算式的结果尽可能大，应当使前一个中括号内的结果尽量大，后一个中括号内的结果尽量小。

为叙述方便，将原式改写为：

　　[A÷B×（C＋D）]-[E×F＋G－H]。

　　通过分析，A，C，D，H应尽可能大，且A应最大，C，D次之，H再次之；B，E，F，G应尽可能小，且B应最小，E，F次之，G再次之。

于是得到A=9，C=8，D=7，H=6，B=1，E=2，F=3，G=4，其中C与D，E与F的值可互换。

将它们代入算式，得到

　　[9÷1×（8＋7）]－[2×3＋4－6]=131。

 练习9

　　1．在下面的算式里填上括号，使等式成立：

（1）4×6+24÷6-5=15；

（2）4×6+24÷6-5=35；

　　（3）4×6+24÷6-5=48；

　　（4）4×6+24÷6-5＝0。

　　2．加上适当的运算符号和括号，使下式成立：

　　12345＝100。

　　3．把0～9这十个数字填到下面的□里，组成三个等式（每个数字只能填一次）：

　　□+□=□，

　　□-□=□，

　　□×□=□□。

　　4．在下面的□里填上+，-，×，÷，（）等符号，使各个等式成立：

　　4□4□4□4＝1，

　　4□4□4□4＝3，

　　4□4□4□4＝5，

　　4□4□4□4＝9。

　　5．将2～7这六个数字分别填入下式的□中，使得等式成立：

　　□+□-□=□×□÷□。

　　6．将1～9分别填入下式的九个□内，使算式取得最大值：

　　□□□×□□□×□□□。

　　7．将1～8分别填入下式的八个□内，使算式取得最小值：

　　□□×□□×□□×□□。

第10讲数字谜

（二）

例1把下面算式中缺少的数字补上：

分析与解：

一个四位数减去一个三位数，差是一个两位数，也就是说被减数与减数相差不到100。

四位数与三位数相差不到100，三位数必然大于900，四位数必然小于1100。

由此我们找出解决本题的突破口在百位数上。

（1）填百位与千位。

由于被减数是四位数，减数是三位数，差是两位数，所以减数的百位应填9，被减数的千位应填1，百位应填0，且十位相减时必须向百位借1。

（2）填个位。

由于被减数个位数字是0，差的个位数字是1，所以减数的个位数字是9。

　　（3）填十位。

由于个位向十位借1，十位又向百位借1，所以被减数十位上的实际数值是18，18分解成两个一位数的和，只能是9与9，因此，减数与差的十位数字都是9。

　　所求算式如右式。

　　由例1看出，考虑减法算式时，借位是一个重要条件。

例2在下列各加法算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，求出这两个算式：

　　分析与解：

（1）这是一道四个数连加的算式，其特点是相同数位上的数字相同，且个位与百位上的数字相同，即都是汉字“学”。

　　从个位相同数相加的情况来看，和的个位数字是8，有两种可能情况：

2＋2＋2＋2＝8与7＋7＋7＋7＝28，即“学”＝2或7。

　　如果“学”＝2，那么要使三个“数”所代表的数字相加的和的个位数字为8，“数”只能代表数字6。

此时，百位上的和为“学”＋“学”＋1＝2＋2＋1＝5≠4。

因此“学”≠2。

　　如果“学”＝7，那么要使三个“数”所代表的数字相加再加上个位进位的2，和的个位数字为8，“数”只能代表数字2。

百位上两个7相加要向千位进位1，由此可得“我”代表数字3。

　　满足条件的解如右式。

（2）由千位看出，“努”=4。

由千、百、十、个位上都有“努”，5432-4444=988，可将竖式简化为左下式。

同理，由左下式看出，“力”=8，988-888=100，可将左下式简化为下中式，从而求出“学”=9，“习”=1。

　　满足条件的算式如右下式。

　　例2中的两题形式类似，但题目特点并不相同，解法也不同，请同学们注意比较。

例3下面竖式中每个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字，求被乘数。

分析与解：

由于个位上的“赛”ד赛”所得的积不再是“赛”，而是另一个数，所以“赛”的取值只能是2，3，4，7，8，9。

　　下面采用逐一试验的方法求解。

（1）若“赛”＝2，则“数”＝4，积=444444。

被乘数为444444÷2＝222222，而被乘数各个数位上的数字各不相同，所以“赛”≠2。

（2）若“赛”＝3，则“数”=9，仿

（1）讨论，也不行。

　　（3）若“赛”＝4，则“数”＝6，积=666666。

666666÷4得不到整数商，不合题意。

　　（4）若“赛”＝7，则“数”＝9，积=999999。

被乘数为999999÷7＝142857，符合题意。

　　（5）若“赛”＝8或9，仿上讨论可知，不合题意。

　　所以，被乘数是142857。

例4在□内填入适当的数字，使左下式的乘法竖式成立。

分析与解：

为清楚起见，我们用A，B，C，D，…表示□内应填入的数字（见右上式）。

　　由被乘数大于500知，E=1。

由于乘数的百位数与被乘数的乘积的末位数是5，故B，C中必有一个是5。

若C＝5，则有

　　6□□×5=（600+□□）×5=3000+□□×5，

　　不可能等于□5□5，与题意不符，所以B=5。

再由B=5推知G=0或5。

若G=5，则F=A=9，此时被乘数为695，无论C为何值，它与695的积不可能等于□5□5，与题意不符，所以G=0，F=A=4。

此时已求出被乘数是645，经试验只有645×7满足□5□5，所以C=7；最后由B=5，G=0知D为偶数，经试验知D=2。

　　右式为所求竖式。

　　此类乘法竖式题应根据已给出的数字、乘法及加法的进位情况，先填比较容易的未知数，再依次填其余未知数。

有时某未知数有几种可能取值，需逐一试验决定取舍。

例5在□内填入适当数字，使左下方的除法竖式成立。

分析与解：

把左上式改写成右上式。

根据除法竖式的特点知，B=0，D=G=1，E=F=H=9，因此除数应是99的两位数的约数，可能取值有11，33和99，再由商的个位数是5以及5与除数的积是两位数得到除数是11，进而知A＝C-9。

至此，除数与商都已求出，其余未知数都可填出（见右式）。

　　此类除法竖式应根据除法竖式的特点，如商的空位补0、余数必须小于除数，以及空格间的相互关系等求解，只要求出除数和商，问题就迎刃而解了。

例6把左下方除法算式中的*号换成数字，使之成为一个完整的式子（各*所表示的数字不一定相同）。

分析与解：

由上面的除法算式容易看出，商的十位数字“*”是0，即商为

。

　　因为除数与8的积是两位数，除数与商的千位数字的积是三位数，知商的千位数是9，即商为9807。

　　因为“除数×9”是三位数，所以除数≥12；又因为“除数×8”是两位数，所以除数≤12。

推知除数只能是12。

被除数为9807×12＝117684。

　　除法算式如上页右式。

练习10

　　1．在下面各竖式的□内填入合适的数字，使竖式成立：

　　2．右面的加法算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。

问：

“小”代表什么数字？

　　3．在下列各算式中，不同的汉字代表不同的数字相同的汉字代表相同的数字。

求出下列各式：

　　4．在下列各算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字。

这些算式中各字母分别代表什么数字？