第9讲 数字谜.docx

1、第9讲 数字谜第9讲 数字谜（一）我们在三年级已经学习过一些简单的数字谜问题。这两讲除了复习巩固学过的知识外，还要学习一些新的内容。例1 在下面算式等号左边合适的地方添上括号，使等式成立：5+78+124-220。分析：等式右边是20，而等式左边算式中的78所得的积比20大得多。因此必须设法使这个积缩小一定的倍数，化大为小。从整个算式来看，78是4的倍数，12也是4的倍数，5不能被4整除，因此可在78+12前后添上小括号，再除以4得17，517-2=20。解：5+（78+12）4-2=20。例2 把19这九个数字填到下面的九个里，组成三个等式（每个数字只能填一次）：分析与解：如果从加法与减法两

2、个算式入手，那么会出现许多种情形。如果从乘法算式入手，那么只有下面两种可能：236或248，所以应当从乘法算式入手。因为在加法算式+=中，等号两边的数相等，所以加法算式中的三个内的三个数的和是偶数；而减法算式-=可以变形为加法算式=+，所以减法算式中的三个内的三个数的和也是偶数。于是可知，原题加减法算式中的六个数的和应该是偶数。若乘法算式是248，则剩下的六个数1，3，5，6，7，9的和是奇数，不合题意；若乘法算式是236，则剩下的六个数1，4，5，7，8，9可分为两组：459，8-71（或8-17）；178，954（或945）。所以答案为例3 下面的算式是由19九个数字组成的，其中“7”已填

3、好，请将其余各数填入，使得等式成立：=-=-7。分析与解：因为左端除法式子的商必大于等于2，所以右端被减数只能填9，由此知左端被除数的百位数只能填1，故中间减式有8-6，6-4，5-3和4-2四种可能。经逐一验证，8-6，6-4和4-2均无解，只有当中间减式为5-3时有如下两组解：12864=5-3=9-7，或 164825-39-7。例4 将19九个数字分别填入下面四个算式的九个中，使得四个等式都成立：+=6， =8，-=6， =8。分析与解：因为每个中要填不同的数字，对于加式只有两种填法：15或24；对于乘式也只有两种填法：18或24。加式与乘式的数字不能相同，搭配后只有两种可能：（1）加

4、式为15，乘式为24；（2）加式为2+4，乘式为18。对于（1），还剩3，6，7，8，9五个数字未填，减式只能是9-3，此时除式无法满足；对于（2），还剩3，5，6，7，9五个数字未填，减式只能是9-3，此时除式可填567。答案如下：246， 188，936， 5678。例2例4都是对题目经过初步分析后，将满足题目条件的所有可能情况全部列举出来，再逐一试算，决定取舍。这种方法叫做枚举法，也叫穷举法或列举法，它适用于只有几种可能情况的题目，如果可能的情况很多，那么就不宜用枚举法。例5 从19这九个自然数中选出八个填入下式的八个内，使得算式的结果尽可能大：（+）-+-。分析与解：为使算式的结果尽可

5、能大，应当使前一个中括号内的结果尽量大，后一个中括号内的结果尽量小。为叙述方便，将原式改写为：AB（CD）-EFGH。通过分析，A，C，D，H应尽可能大，且A应最大，C，D次之，H再次之；B，E，F，G应尽可能小，且B应最小，E，F次之，G再次之。于是得到A=9，C=8，D=7，H=6，B=1，E=2，F=3，G=4，其中C与D，E与F的值可互换。将它们代入算式，得到91（87）2346=131。 练习91在下面的算式里填上括号，使等式成立：（1）46+246-5=15；（2）46+246-5=35；（3）46+246-5=48；（4）46+246-50。2加上适当的运算符号和括号，使下式成立

6、：1 2 3 4 5 100。3把09这十个数字填到下面的里，组成三个等式（每个数字只能填一次）：+=，-=，=。4在下面的里填上+，-，（）等符号，使各个等式成立：44441，44443，44445，44449。5将27这六个数字分别填入下式的中，使得等式成立：+-=。6将19分别填入下式的九个内，使算式取得最大值：。7将18分别填入下式的八个内，使算式取得最小值：。第10讲 数字谜（二）例1 把下面算式中缺少的数字补上：分析与解：一个四位数减去一个三位数，差是一个两位数，也就是说被减数与减数相差不到100。四位数与三位数相差不到100，三位数必然大于900，四位数必然小于1100。由此我们

7、找出解决本题的突破口在百位数上。（1）填百位与千位。由于被减数是四位数，减数是三位数，差是两位数，所以减数的百位应填9，被减数的千位应填1，百位应填0，且十位相减时必须向百位借1。（2）填个位。由于被减数个位数字是0，差的个位数字是1，所以减数的个位数字是9。（3）填十位。由于个位向十位借1，十位又向百位借1，所以被减数十位上的实际数值是18，18分解成两个一位数的和，只能是9与9，因此，减数与差的十位数字都是9。所求算式如右式。 由例1看出，考虑减法算式时，借位是一个重要条件。例2 在下列各加法算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，求出这两个算式：分析与解：（1）这是一

8、道四个数连加的算式，其特点是相同数位上的数字相同，且个位与百位上的数字相同，即都是汉字“学”。从个位相同数相加的情况来看，和的个位数字是8，有两种可能情况：22228与777728，即“学”2或7。如果“学”2，那么要使三个“数”所代表的数字相加的和的个位数字为8，“数”只能代表数字6。此时，百位上的和为“学”“学”122154。因此“学”2。如果“学”7，那么要使三个“数”所代表的数字相加再加上个位进位的2，和的个位数字为8，“数”只能代表数字2。百位上两个7相加要向千位进位1，由此可得“我”代表数字3。满足条件的解如右式。（2）由千位看出，“努”=4。由千、百、十、个位上都有“努”，543

9、2-4444=988，可将竖式简化为左下式。同理，由左下式看出，“力”=8，988-888=100，可将左下式简化为下中式，从而求出“学”=9，“习”=1。满足条件的算式如右下式。例2中的两题形式类似，但题目特点并不相同，解法也不同，请同学们注意比较。例3 下面竖式中每个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字，求被乘数。分析与解：由于个位上的“赛”“赛”所得的积不再是“赛”，而是另一个数，所以“赛”的取值只能是2，3，4，7，8，9。下面采用逐一试验的方法求解。（1）若“赛”2，则“数”4，积=444444。被乘数为4444442222222，而被乘数各个数位上的数字各不相同，所以“赛”2

10、。（2）若“赛”3，则“数”=9，仿（1）讨论，也不行。（3）若“赛”4，则“数”6，积=666666。6666664得不到整数商，不合题意。（4）若“赛”7，则“数”9，积=999999。被乘数为9999997142857，符合题意。（5）若“赛”8或9，仿上讨论可知，不合题意。所以，被乘数是142857。例4 在内填入适当的数字，使左下式的乘法竖式成立。分析与解：为清楚起见，我们用A，B，C，D，表示内应填入的数字（见右上式）。由被乘数大于500知，E=1。由于乘数的百位数与被乘数的乘积的末位数是5，故B，C中必有一个是5。若C5，则有65=（600+）5=3000+5，不可能等于55，与

11、题意不符，所以B=5。再由B=5推知G=0或5。若G=5，则F=A=9，此时被乘数为695，无论C为何值，它与695的积不可能等于55，与题意不符，所以G=0，F=A=4。此时已求出被乘数是645，经试验只有6457满足55，所以C=7；最后由B=5，G=0知D为偶数，经试验知D=2。右式为所求竖式。此类乘法竖式题应根据已给出的数字、乘法及加法的进位情况，先填比较容易的未知数，再依次填其余未知数。有时某未知数有几种可能取值，需逐一试验决定取舍。例5 在内填入适当数字，使左下方的除法竖式成立。分析与解：把左上式改写成右上式。根据除法竖式的特点知，B=0，D=G=1，E=F=H=9，因此除数应是9

12、9的两位数的约数，可能取值有11，33和99，再由商的个位数是5以及5与除数的积是两位数得到除数是11，进而知AC-9。至此，除数与商都已求出，其余未知数都可填出（见右式）。此类除法竖式应根据除法竖式的特点，如商的空位补0、余数必须小于除数，以及空格间的相互关系等求解，只要求出除数和商，问题就迎刃而解了。例6 把左下方除法算式中的*号换成数字，使之成为一个完整的式子（各*所表示的数字不一定相同）。分析与解：由上面的除法算式容易看出，商的十位数字“*”是0，即商为。因为除数与8的积是两位数，除数与商的千位数字的积是三位数，知商的千位数是9，即商为9807。因为“除数9”是三位数，所以除数12；又因为“除数8”是两位数，所以除数12。推知除数只能是12。被除数为980712117684。除法算式如上页右式。 练习101在下面各竖式的内填入合适的数字，使竖式成立：2右面的加法算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。问：“小”代表什么数字？3在下列各算式中，不同的汉字代表不同的数字相同的汉字代表相同的数字。求出下列各式：4在下列各算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字。这些算式中各字母分别代表什么数字？