重庆市梁平区届高三二调理科数学试题.docx
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重庆市梁平区届高三二调理科数学试题
高2018届第二次调研考试
理科数学试题
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：
（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
每小题只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合，，则中元素的个数为（）
A.3B.2C.1D.0
【答案】B
【解析】试题分析：
集合中的元素为点集，由题意，可知集合A表示以为圆心，为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B表示直线上所有的点组成的集合，又圆与直线相交于两点，，则中有2个元素.故选B.
【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性（是点集、数集或其他情形）和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
2.设复数z满足，则（）
A.B.C.D.2
【答案】C
【解析】∵，
∴
故选：
C
3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：
“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问塔底几盏灯？
”意思是：
一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的底层共有灯（）
A.3盏B.9盏C.192盏D.9384盏
【答案】C
【解析】由题意可得最下面层数灯的盏数最多，设最下层有盏灯，
结合题意可得：
，且，
据此排除ABD选项.
本题选择C选项.
4.为了研究某班学生的脚长（单位：
厘米）和身高（单位：
厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为．已知，，．该班某学生的脚长为25.5，据此估计其身高为（）
A.167B.176C.175D.180
【答案】B
【解析】由题意可得：
，且：
，
则回归方程为：
，据此预测：
该班某学生的脚长为25.5，据此估计其身高为.
本题选择B选项.
5.已知，“函数有零点”是“函数在上为减函数”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】函数有零点，则函数与函数有交点，
则：
，
函数在上为减函数，则，
据此可得“函数有零点”是“函数在上为减函数”的
必要不充分条件.
本题选择B选项.
6.已知函数f （x）=Asin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0）的图象如图所示，则f （x）的解析式为（）
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】结合函数图像可得：
，，
结合周期公式有：
，
且当时，，
令可得：
，
据此可得函数的解析式为：
.
本题选择D选项.
点睛：
已知f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：
（1）由即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0（或ωx0＋φ＝π），即可求出φ.
（2）代入点的坐标，利用一些已知点（最高点、最低点或“零点”）坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
7.函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（）
A.B.5
C.D.
【答案】C
【解析】令，则可得：
，据此可得：
点在直线上，故：
，则：
.
当且仅当时等号成立.
综上可得：
的最小值为.
本题选择C选项.
点睛：
在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
8.已知[x]表示不超过x的最大整数。
执行如图所示的程序框图，若输入x的值为2，则输出z的值为（）
A.1
B.－0.5
C.0.5
D.－0.4
【答案】B
【解析】阅读流程图，该程序运行过程如下：
第1次运行时：
，此时，则：
；
第2次运行时：
，此时，则：
；
第3次运行时：
，此时，跳出循环，
输出：
.
本题选择B选项.
9.已知如下六个函数：
，，，，，，从中选出两个函数记为和，若的图像如图所示，则（）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】利用排除法：
函数为偶函数，题中所给函数图象不关于轴对称，选项A错误；
当时，，选项B错误；
当时，，选项C错误；
本题选择D选项.
10.已知是双曲线的两个焦点，（）是双曲线的渐近线上一点，满足，如果以为焦点的抛物线（）经过点，则此双曲线的离心率为（）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】设,由可知，
又点在直线上,所以,
解得,于是根据抛物线的定义可知，
所以,即,
求解关于离心率的方程,结合可得：
本题选择C选项.
点睛：
双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a或a2转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）．
11.过点作圆C：
R）的切线，切点分别为A，B，则的最小值为（）
A.B.C.D.2－3
【答案】C
【解析】由题意可得圆心坐标为，半径，
其中，
，
，
.
利用平面向量数量积的定义有：
设，则：
，
结合对勾函数的性质可得：
函数在区间上单调递增
当时，.
本题选择C选项.
12.已知定义在R上的函数y＝f （x）对任意的x都满足f （x＋2）＝f （x），当－1≤x＜1时，，若函数g （x）＝f （x）－loga|x|至少有6个零点，则a的取值范围是（）
A.∪（5，＋∞）B.∪[5，＋∞）
C.∪（5，7）D.∪[5，7）
【答案】A
【解析】当a＞1时，作函数f（x）与函数y＝loga|x|的图象如下，
结合图象可知，，故a＞5；
当0＜a＜1时，作函数f（x）与函数y＝loga|x|的图象如下，
结合图象可知，，故0＜a≤.
本题选择A选项.
点睛：
（1）求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f（f（a））的形式时，应从内到外依次求值．
（2）当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分。
第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。
第22题~第23题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：
（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知向量，，若∥，则____________.
【答案】－
【解析】由题意可得：
，
由向量平行的充要条件有：
，
求解关于实数的方程可得：
，
则：
.
14.若x，y满足约束条件则的最小值为____________．
【答案】－1
【解析】
由得,作出不等式对应的可行域（阴影部分），
平移直线由平移可知当直，
经过点B（1,1）时,直线的截距最大，此时z取得最小值，
将B的坐标代入，
即目标函数y的最小值为−1.
故答案为：
−1.
15.曲线与曲线有公共点，且在公共点处的切线相同，则的值为_______.
【答案】
【解析】设公共点的坐标为，
则函数的导数，
曲线的导数,
则，
则由,得，
则，
又，
即,得,则，
16.已知数列的前项和，如果存在正整数，使得成立，则实数的取值范围是_____________．
【答案】
【解析】，，
又；
易知，数列的奇数项为递减的等比数列且各项为正；偶数项为递增的等比数列且各项为负，
于是不等式成立即存在正整数使得成立，
只需要，即即可
故．
三、解答题：
（本大题共6个小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.设数列（n＝1，2，3，…）的前n项和Sn满足，且，，成等差数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和．
【答案】
（1）an＝2n.
（2）
【解析】试题分析：
（1）由题意结合前n项和与通项公式的关系可得数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，则an＝2n.
（2）结合
（1）中求得的通项公式分组求和可得数列的前n项和为.
试题解析：
（1）由已知Sn＝2an－a1，有an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1（n≥2），
即an＝2an－1（n≥2），
从而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1，又因为a1，a2＋1，a3成等差数列，即a1＋a3＝2（a2＋1），
所以a1＋4a1＝2（2a1＋1），解得a1＝2，
所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，故an＝2n.
（2）设的前n项和为，
则
18.已知.
（1）求的单调增区间；
（2）在中，为锐角且，BC边上的中线AD=3，，求.
【答案】
（1）
（2）
【解析】试题分析：
（1）整理三角函数的解析式为，结合三角函数的性质可得函数的单调递增区间为.
（2）由题意结合正弦定理可求得，然后利用同角三角函数基本关系和两角和差正余弦计算可得.
试题解析：
（1）由题意可知，
令，
求解不等式可得函数的单调递增区间为.
（2）以AB、AC为邻边作平行四边形ABEC，因为AD=3，
则，在△ABE中，.
由正弦定理可得：
，解得：
，且.
因此.
19.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：
（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点（在x轴上方），连结PF1并延长交椭圆于另一点Q，设
（1）若点P的坐标为，且△PQF2的周长为8，求椭圆C的方程；
（2）若PF2垂直于x轴，且椭圆C的离心率e∈，求实数λ的取值范围．
【答案】
（1）
（2）
【解析】试题分析：
（1）求椭圆标准方程，实质就是要求的值，为此要找两个关于的方程，本题由已知，把点坐标代入可得一个方程，由椭圆定义知的周长是，又可得值，从而得解；
（2）本小题关键是建立起与离心率的关系，利用两点在椭圆上，由轴可求得，由＝λ，可求得点坐标，把点坐标代入椭圆方程，再转化后可得的关系（λ2＋4λ＋3）e2＝λ2－1，因为λ＋1≠0，故有λ＝，从而可得的范围．
试题解析：
（1）因为F1，F2为椭圆C的两焦点，且P，Q为椭圆上的点，
所以PF1＋PF2＝QF1＋QF2＝2a，从而△PQF2的周长为4a．
由题意，得4a＝8，解得a＝2．
因为点P的坐标为（1，），所以，
解得b2＝3．
所以椭圆C的方程为．
（2）方法一：
因为PF2⊥x轴，且P在x轴上方，故设P（c，y0），y0＞0．设Q（x1，y1）．
因为P在椭圆上，所以，解得y0＝，即P（c，）．
因为F1（－c，0），所以＝（－2c，－），＝（x1＋c，y1）．
由＝λ，得－2c＝λ（x1＋c），－＝λy1，
解得x1＝，y1＝－，所以Q（－c，－）．
因为点Q在椭圆上，所以（）2e2＋＝1，
即（λ＋2）2e2＋（1－e2）＝λ2，（λ2＋4λ＋3）e2＝λ2－1，
因为λ＋1≠0，
所以（λ＋3）e2＝λ－1，从而λ＝．
因为e∈[，]，所以≤e2≤，即≤λ≤5．
所以λ的取值范围为[，5]．
方法二：
因为PF2⊥x轴，且P在x轴上
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