异面直线所成的角求法总结加分析.docx
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异面直线所成的角求法总结加分析
异面直线所成的角
一、平移法：
常见三种平移方法：
直接平移：
中位线平移（尤其是图中出现了中点）：
补形平移法：
“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。
直接平移法
1．在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别为AB、CD的中点，EF＝，求AD、BC所成角的大小．
解：
设BD的中点G，连接FG，EG。
在△EFG中EF＝FG＝EG＝1
∴∠EGF＝120°∴AD与BC成60°的角。
2．正∆ABC的边长为a，S为∆ABC所在平面外的一点，SA＝SB＝SC＝a，E，F分别是SC和AB的中点．求异面直线SA和EF所成角．
答案：
45°
3．S是正三角形ABC所在平面外的一点，如图SA＝SB＝SC，且∠ASB＝∠BSC＝∠CSAπ，M、N分别是AB和SC的中点．求异面直线SM与BN所成的角的余弦值．2S证明：
连结CM，设Q为CM的中点，连结QN则QN∥SM＝
∴∠QNB是SM与BN所成的角或其补角
连结BQ，设SC＝a，在△BQN中
BN＝a2C
BNQ＝1SM＝24aBQ＝a4∴COS∠QNB＝BN2+NQ2-BQ2=2BN⋅NQ5
4．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M、N分别是A1B1和A1C1的中点，若BC＝CA＝CC1，求BM与AN所成的角．
解：
连接MN，作NG∥BM交BC于G，连接AG，
易证∠GNA就是BM与AN所成的角．
设：
BC＝CA＝CC1＝2，则AG＝AN＝，GN＝BM＝，
cos∠GNA＝
6+5-52⨯6⨯=10。
5．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点．求AE与D1F所成的角。
1
A证明：
取AB中点G，连结A1G，FG，因为F是CD的中点，所以GFAD，
又A1D，所以1D1，
故四边形GFD1A1是平行四边形，A1G∥D1F。
设A1G与AE相交于H，则∠A1HA是AE与D1F所成的角。
A
因为E是BB1的中点，所以Rt△A1AG≌△ABE,∠GA1A=∠GAH,从而∠A1HA=90°,即直线AE与D1F所成的角为直角。
D''E6．如图1—28的正方体中，E是A′D′的中点A'
（1）图中哪些棱所在的直线与直线BA′成异面直线?
（2）求直线BA′和CC′所成的角的大小；
D（3）求直线AE和CC′所成的角的正切值；
（4）求直线AE和BA′所成的角的余弦值（图1－28）解：
（1）
∵A'∉平面BC′，又点B和直线CC′都在平面BC′内，且B∉CC′,
∴直线BA′与CC′是异面直线同理，正方体12条棱中的C′D′、DD′、DC、AD、B′C′所在的直线都和直线BA′成异面直线
（2）∵CC′∥BB′，∴BA′和BB′所成的锐角就是BA′和CC′所成的角
∵∠A′BB′=45°∴BA′和CC′所成的角是45°
（3）∵AA′∥BB′∥CC′，故AE和AA′所成的锐角∠A′AE是AE和CC′所成的角在Rt△AA′E中，tan∠A′AE＝A'E11＝，所以AE和CC′所成角的正切值是22AA'
∥∥（4）取B′C′的中点F，连EF、BF，则有EF＝A'B'＝AB,
∴ABFE是平行四边形，从而BF＝AE,即BF∥AE且BF=AE.
∴BF与BA′所成的锐角∠A′BF就是AE和BA′所成的角
设正方体各棱长为2，连A′F，利用勾股定理求出△A′BF的各边长分别为
A′B＝22，A′F＝BF＝，由余弦定理得：
cos∠A′BF＝（22）+（5）-（5）
2⨯22⨯5222∥=5
（图1－29）
7.长方体ABCD—A1B1C1D1中，若AB=BC=3，AA1=4，求异面直线B1D与BC1所成角的大小。
解法一：
如图④，过B1点作B1E∥BC1交CB的延长线于E点。
则∠DB1E或其补角就是异面直线DB1与BC1所成角，连结DE交AB于M，
∴∠DB1E=arccos
cos∠DB1
解法二：
如图⑤，在平面D1DBB1中过B点作BE∥DB1交D1B1的延长线于E，则∠C1BE就是异面直线DB1与BC1所成的角，连结C1E，在△B1C1E中，∠C1B1E=135°，C1
cos∠C1
BE=，∴∠C1BE=arccos
。
170170
练习：
8.如图，PA矩形ABCD，已知PA=AB=8，BC=10，求AD与PC所成角的余切值为。
9.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若棱BB1=BC=1，AB=，求DB和AC所成角的余弦值.
中位线平移法：
构造三角形找中位线，然后利用中位线的性质，将异面直线所成的角转化为平面问题，解三角形求之。
解法一：
如图①连结B1C交BC1于0，过0点作OE∥DB1，则∠BOE为所求的异面直线DB1与BC1所成的角。
连结EB，由已知有B1
BC1=5，
∴∠BOE=arccos
，∴cos∠
解法二：
如图②，连DB、AC交于O点，过O点作OE∥DB1，过E点作EF∥C1B，则∠OEF或其补角就是两异面直线所成的角，过O点作OM∥DC，连结MF、OF。
则
cos∠
OEF=，∴异面直线B1D与BC1所成的角为arccos
。
170170
解法三：
如图③，连结D1B交DB1于O，连结D1A，则四边形ABC1D1为平行四边形。
在平行四边形ABC1D1中过点O作EF∥BC1交AB、D1C1于E、F，则∠DOF或其补角就是异面直线DB1与BC1所成的角。
在△ADF中
DF=
∴∠DOF=arccos
，cos∠
DOF=，2170
课堂练习
10.在正四面体ABCD中，已知E是棱BC的中点，求异面直线AE和BD所成角的余弦值。
A
BD
补形平移法：
在已知图形外补作一个相同的几何体，以例于找出平行线。
解法一：
如图⑥，以四边形ABCD为上底补接一个高为4的长方体ABCD-A2B2C2D2，连结D2B，则DB1∥D2B，∴∠C1BD2或其补角就是异面直线DB1与BC1所成的角，连C1D2，则△C1D2C2为Rt△，cos∠C1BD2=
－，∴异面直线DB1与BC1所成的角是
arc
课堂练习：
11.求异面直线A1C1与BD1所成的角的余弦值。
在长方体ABCD-A1B1C1D1的面BC1上补上一个同样大小的长
方体，将A1C1平移到BE，则∠D1BE或其补角就是异面直
线A1C1与BD1所成的角，在△BD1E
中，
BD1=3，
二、利用模型求异面直线所成的角
模型1引理：
已知平面α的一条斜线a与平面α所成的角为θ1，平面α内的一条直线b与斜线a所成的角为θ，与它的射影a′所成的角为θ2。
求证：
cosθ=cosθ1·cosθ2。
在平面α的斜线a上取一点P，过点P分别作直线c、b的垂线PO、PB，垂足为O、连接OB，则OB⊥b.
AO在直角△AOP中，cosθ1=.APAB在直角△ABC中，cosθ2=.
AO
AB在直角△ABP中，cosθ=.APAOABAB⋅==cosθ所以cosθ1cosθ2=APAOAP
所以cosθ1cosθ2=cosθ
P
证明：
设PA是α的斜线，OA是PA在α上的射影，
OB//b，如图所示。
则∠PAO=θ1，∠PAB=θ，∠OAB=θ2，
过点O在平面α内作OB⊥AB，垂足为B，连结PB。
OAABAB可知PB⊥AB。
所以cosθ1=，cosθ=，cosθ2=。
PAOAPA所以cosθ=cosθ1·cosθ2。
利用这个模型来求两条异面直线a和b所成的角，即引理中的角θ。
需：
过a的一个平面α，以及该平面的一条斜线b以及b在α内的射影。
12.如图，MA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，且MA=AB=a，试求异面直线MB与
AC所成的角。
M
解：
由图可知，直线MB在平面ABCD内的射影为AB，
直线MB与平面ABCD所成的角为45°，
直线AC与直线MB的射影AB所成的角为45°，
所以直线AC与直MB所成的角为θ，满足A1cosθ=cos45°·cos45°=，所以直线AC与MB所成的角为60°。
2
13.已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中
点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（D）
（A
）3（B
）（C
（D）4
解：
设BC的中点为D，连结A1D，AD，易知θ=∠A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角,
由三角余弦定理，易知cosθ=cos∠A1AD⋅cos∠DAB=ADAD3⋅=.故选DA1AAB4
14.如图，在立体图形P-ABCD中，底面ABCD是一个直角梯形，∠BAD=90°，AD//BC，AB=BC=a，AD=2a，且PA⊥底面ABCD，PD与底面成30°角，AE⊥PD于D。
求异面直线AE与CD所成的角的大小。
解：
过E作AD的平行线EF交AD于F，由PA⊥底面ABCD可知，直线AE在平面ABCD内的射影为AF，直线AE与平面ABCD所
成的角为∠DAE，其大小为60°，
射影AF与直线CD所成的角为∠CDA，其大小为45°，所以直线与直
线所成的角θ满足cosθ=cos60°·cos45°=
22，所以其大小为arccos。
B44
模型2定理：
四面体ADBCD两相对棱AC、BD间的夹角为θ，则有
证明：
BD∙A=BDBDCOSθ而BD=BA+AD∴BD∙A=BA+AD∙A=BA∙A+AD∙A（）
AB2+AC2-BC2AD2+AC2-CD2
=-+2
2
AD2
+BC2
-AB2-CD2=2
所以有：
15.长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=AA1=2cm，AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成的角。
解：
连结BC1、A1B在四面体为，易求得
由定理得：
所以
二、向量法求异面直线所成的角
16.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是相邻两侧面BCC1B1及CDD1C1的中心。
求A1E和B1F所成的角的大小。
解法一：
（作图法）作图关键是平移直线，可平移其中一条直线，也可平移两条直线到某个点上。
作法：
连结B1E，取B1E中点G及A1B1中点H，1连结GH，有GH//A1E。
过F作CD的平行线RS，分别交CC1、DD1于点R、S，连结SH，连结GS。
B1S由B1H//C1D1//FS，B1H=FS，可得B1F//SH。
在△GHS中，设正方体边长为a。
QGH=a（作直线GQ//BC交BB1于点Q，4
BPE
连QH，可知△GQH为直角三角形），
26
a（连A1S，可知△HA1S为直角三角形），GS=a（作直线GP交BC于点P，连24
1
PD，可知四边形GPDS为直角梯形）。
∴Cos∠GHS=。
6
11所以直线A1E与直线B1F所成的角的余弦值为。
6
解法二：
（向量法）分析：
因为给出的立体图形是一个正方体，
HS=
所以可以在空间建立直角坐标系，从而可以利用点的坐标表示出空间中每一个向量，从而可以用向量的方法来求出两条直线间的夹角。
以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，设BC长度为2
则点A1的坐标为（0，2，2），点E的坐标为（1，0，1），点B1的坐标为（0，0，2），点F的坐标为（2，1，1）；所以向量EA，向量B1F的坐标为（2，1，-1），1的坐标为（-1，2，1）所以这两个向量的夹角θ满足11=
（-1）⨯2+2⨯1+1⨯（-1）（-1）2+
（2）2+
（1）2⋅
（2）2+
（1）2+（-1）2
1
6
=-
1。
6
所以直线A1E与直线B1F所成的角的余弦值为
17.已知空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a，M、N分别为BC和AD的中点，设AM和CN所成的角为α，求cosα的值。
（平移法也可）
解：
由已知得，空间向量，，不共面，且两两之间的夹角均为60°。
由向量的加法可以得到
11
，NC=-+AC=（+AC）
22所以向量与向量的夹角θ（即角α或者α的补角）满足
11
（-AD+AC）AM·NC=（AB+AC）·
22
111=（-AB·AD+AB·AC+（-AD）·AC+AC·AC）22211111
=a2（-+-+1）=a2；22424
1113
|AM|2=（AB+AC）（AB+AC）=（1+1+1）a2=a2；
2244
111132
|NC|2=（-AD+AC）·（-AD+AC）=+1-a2=a2。
所以cosα=|cosθ|=。
443222
18.已知空间四边形ABCD中，AB=CD=3，E、F分别是BC、AD上的点，且BE：
EC=AF：
FD=1：
2，EF=7，求AB和CD所成的角的大小。
解：
取AC上点G，使AG：
GC=1：
2。
连结EG、FG，
可知EG//AB，FG//CD，3EG=2AB，3FG=CD。
21由向量的知识可知=EG+GF=+，33设向量和的夹角为θ。
2121E则由|EF|2=（BA+CD）·（BA+CD）=4+1+4cosθ=7，3333
1得cosθ=，所以AB和CD所成的角为60°。
2
19.（思考题）如图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1长为b,且AA1与AB、AD的夹角都是120°.
求：
（1）AC1的长；
（2）直线BD1与AC所成的角的余弦值.技巧与方法：
数量积公式及向量、模公式的巧用、变形用.
解:
（1）|AC1|2=AC1⋅AC1=（AA1+）（AA1+）
=（AA1++）（AA1++）
=|AA1|2+||2+||2+2AA1⋅+2AA1⋅+2⋅由已知得:
|AA1|2=b2,||2=||2=a2
==120︒,<,>=90︒
11∴AA1⋅=b⋅acos120︒=-ab,AA1⋅=b⋅acos120︒=-ab,⋅=0,22
∴|AC1|2=2a2+b2-2ab,∴|AC1|=2a2+b2-2ab.
（2）依题意得,||=2a,=+BD1=+=AA1+-∴⋅BD1=（+）（AA1+-）
=⋅AA1+⋅AA1+⋅+AD2-AB2-⋅=-ab
|BD1|2=1⋅BD1=（AA1+-）（AA1+-）
=|AA1|2+|AD|2+|AB|2+2AA1⋅-2⋅-2AA1⋅=2a2+b2
∴|BD1|=2a2+b2cos=1b
4a+2b22=-b4a+2b22∴BD1与AC所成角的余弦值为
.
判断是非：
（1）（3）（8）（10）正确，其余错；
选择：
1（C）；2（D）；3（D）；4（D）．5．
（2）相交，（5）平行，其余异面；（6）：
（D），取AB中
点M，CC1中点N，连B1E和B1F；（7）答案：
（A），延长B1A1至M，使A1M＝A1D1，连MA，取AB中点N．8（D）；9（E）；10（D）；11（C）；三．，取AD中点E，则∠MEN＝90°；四．
五．7543，取AC中点F，连EF、BF，求得BE＝AD＝5，BF＝AC＝32；121212，分别取AC、B1C1的中点P、Q，则PMQN是矩形，设CC1＝MQ＝a，则MP＝a；25
1六．，取AC中点F，连EF、BF，则EF＝4，BE＝BF＝3．6
异面直线所成的角---作业
班级：
姓名：
学号：
一、判断是非（下列命题中，正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）梯形的四个顶点在同一平面内；
（2）对边相等的四边形是平行四边形；（3）平行于同一直线的两直线平行；（4）垂直于同一直线的两直线平行；（5）两条直线确定一个平面；（6）经过三点可以确定一个平面；（7）无公共点的两直线异面；（8）两异面直线无公共点；
（9）两异面直线可以同时平行于一直线；（10）两异面直线可以同时垂直于一直线；（11）不同在一个已知平面内的两直线异面；（12）互相垂直的两条直线必可确定一平面
二、选择题
1.没有公共点的两条直线的位置关系是（）
（A）平行（B）异面（C）平行或异面（D）不能确定
2.分别在两相交平面内的两条直线的位置关系是（）
（A）异面（B）平行（C）平行或异面（D）平行或异面或相交
3.两条异面直线指的是（）
（A）在空间不相交的两条直线（B）某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线（C）分别位于两个不同平面的两条直线（D）不同在任一平面内的两条直线
4.a、b是异面直线，b、c也是异面直线，那么a、c的位置是（）
（A）异面（B）异面或平行（C）异面或相交（D）相交、平行或异面
5.说出正方体中各对线段的位置关系：
（1）AB和CC1；
（2）A1C和BD1；（3）A1A和CB1；
（4）A1C1和CB1；（5）A1B1和DC；（6）BD1和DC.
6.在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是（
）
（A（B（C）
35
（D）
25
7.如图，A1B1C1—ABC是直三棱柱（三侧面为矩形），∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（）
（A
8.正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线BC1与AC
（A）相交且垂直（B）相交但不垂直（C）异面且垂直（D）
异面但不垂直
9.设a、b、c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：
①如果a⊥b、b⊥c，则a∥c；②如果a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；③如果a、b是异面直线，c、b是异面直线，则a、c也是异面直线；④如果a和b共面，b和c共面，则a和c也共面，在上述四个命题中，真命题的个数是（）
（A）4（B）3（C）2（D）1（E）010.如果直线l和n是异面直线，那么和直线l、n都垂直的直线（A）不一定存在（B）总共只有一条（C）总共可能有一条，也可能有两条（D）有无穷多条
11.如图，四面体SABC的各棱长都相等，如果E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于
（A）90°（B）60°（C）45°（D）30°
求MN和BD所成角的正切值
B
MA
4
N
BS
（第11题）
1（B205
15
三．如图，四面体ABCD中，AC⊥BD,且AC＝4，BD＝3，M、N分别是AB、CD的中点，
（第三题）
四．如图，四面体ABCD中，AB⊥BC，AB⊥BD，BC⊥CD，且AB＝BC＝6，BD＝8，E
是AD中点，求BE与CD所成角的余弦值
五．如图，正三棱柱的九条棱都相等，三个侧面都是正方体，M、N分别是BC和A1C1的中
点。
求MN与CC1所成角的余弦值。
六．如图，四面体ABCD中，E为AD中点，若AC＝CD＝DA＝8，AB＝BD＝5，BC＝7，
求BE与CD所成角的余弦值。
C
8
58
A
6
E
8
B
D
（第四题）A1
A
N
1
C（第五题）
A
4
E
4
D
7
（第六题）
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