异面直线所成的角求法总结加分析.docx
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异面直线所成的角求法总结加分析
异面直线所成的角
一、平移法:
常见三种平移方法:
直接平移:
中位线平移(尤其是图中出现了中点):
补形平移法:
“补形法”是立体几何中一种常见的方法,通过补形,可将问题转化为易于研究的几何体来处理,利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。
直接平移法
1.在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分别为AB、CD的中点,EF=,求AD、BC所成角的大小.
解:
设BD的中点G,连接FG,EG。
在△EFG中EF=FG=EG=1
∴∠EGF=120°∴AD与BC成60°的角。
2.正∆ABC的边长为a,S为∆ABC所在平面外的一点,SA=SB=SC=a,E,F分别是SC和AB的中点.求异面直线SA和EF所成角.
答案:
45°
3.S是正三角形ABC所在平面外的一点,如图SA=SB=SC,且∠ASB=∠BSC=∠CSAπ,M、N分别是AB和SC的中点.求异面直线SM与BN所成的角的余弦值.2S证明:
连结CM,设Q为CM的中点,连结QN则QN∥SM=
∴∠QNB是SM与BN所成的角或其补角
连结BQ,设SC=a,在△BQN中
BN=a2C
BNQ=1SM=24aBQ=a4∴COS∠QNB=BN2+NQ2-BQ2=2BN⋅NQ5
4.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M、N分别是A1B1和A1C1的中点,若BC=CA=CC1,求BM与AN所成的角.
解:
连接MN,作NG∥BM交BC于G,连接AG,
易证∠GNA就是BM与AN所成的角.
设:
BC=CA=CC1=2,则AG=AN=,GN=BM=,
cos∠GNA=
6+5-52⨯6⨯=10。
5.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是BB1、CD的中点.求AE与D1F所成的角。
1
A证明:
取AB中点G,连结A1G,FG,因为F是CD的中点,所以GFAD,
又A1D,所以1D1,
故四边形GFD1A1是平行四边形,A1G∥D1F。
设A1G与AE相交于H,则∠A1HA是AE与D1F所成的角。
A
因为E是BB1的中点,所以Rt△A1AG≌△ABE,∠GA1A=∠GAH,从而∠A1HA=90°,即直线AE与D1F所成的角为直角。
D''E6.如图1—28的正方体中,E是A′D′的中点A'
(1)图中哪些棱所在的直线与直线BA′成异面直线?
(2)求直线BA′和CC′所成的角的大小;
D(3)求直线AE和CC′所成的角的正切值;
(4)求直线AE和BA′所成的角的余弦值(图1-28)解:
(1)
∵A'∉平面BC′,又点B和直线CC′都在平面BC′内,且B∉CC′,
∴直线BA′与CC′是异面直线同理,正方体12条棱中的C′D′、DD′、DC、AD、B′C′所在的直线都和直线BA′成异面直线
(2)∵CC′∥BB′,∴BA′和BB′所成的锐角就是BA′和CC′所成的角
∵∠A′BB′=45°∴BA′和CC′所成的角是45°
(3)∵AA′∥BB′∥CC′,故AE和AA′所成的锐角∠A′AE是AE和CC′所成的角在Rt△AA′E中,tan∠A′AE=A'E11=,所以AE和CC′所成角的正切值是22AA'
∥∥(4)取B′C′的中点F,连EF、BF,则有EF=A'B'=AB,
∴ABFE是平行四边形,从而BF=AE,即BF∥AE且BF=AE.
∴BF与BA′所成的锐角∠A′BF就是AE和BA′所成的角
设正方体各棱长为2,连A′F,利用勾股定理求出△A′BF的各边长分别为
A′B=22,A′F=BF=,由余弦定理得:
cos∠A′BF=(22)+(5)-(5)
2⨯22⨯5222∥=5
(图1-29)
7.长方体ABCD—A1B1C1D1中,若AB=BC=3,AA1=4,求异面直线B1D与BC1所成角的大小。
解法一:
如图④,过B1点作B1E∥BC1交CB的延长线于E点。
则∠DB1E或其补角就是异面直线DB1与BC1所成角,连结DE交AB于M,
∴∠DB1E=arccos
cos∠DB1
解法二:
如图⑤,在平面D1DBB1中过B点作BE∥DB1交D1B1的延长线于E,则∠C1BE就是异面直线DB1与BC1所成的角,连结C1E,在△B1C1E中,∠C1B1E=135°,C1
cos∠C1
BE=,∴∠C1BE=arccos
。
170170
练习:
8.如图,PA矩形ABCD,已知PA=AB=8,BC=10,求AD与PC所成角的余切值为。
9.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,若棱BB1=BC=1,AB=,求DB和AC所成角的余弦值.
中位线平移法:
构造三角形找中位线,然后利用中位线的性质,将异面直线所成的角转化为平面问题,解三角形求之。
解法一:
如图①连结B1C交BC1于0,过0点作OE∥DB1,则∠BOE为所求的异面直线DB1与BC1所成的角。
连结EB,由已知有B1
BC1=5,
∴∠BOE=arccos
,∴cos∠
解法二:
如图②,连DB、AC交于O点,过O点作OE∥DB1,过E点作EF∥C1B,则∠OEF或其补角就是两异面直线所成的角,过O点作OM∥DC,连结MF、OF。
则
cos∠
OEF=,∴异面直线B1D与BC1所成的角为arccos
。
170170
解法三:
如图③,连结D1B交DB1于O,连结D1A,则四边形ABC1D1为平行四边形。
在平行四边形ABC1D1中过点O作EF∥BC1交AB、D1C1于E、F,则∠DOF或其补角就是异面直线DB1与BC1所成的角。
在△ADF中
DF=
∴∠DOF=arccos
,cos∠
DOF=,2170
课堂练习
10.在正四面体ABCD中,已知E是棱BC的中点,求异面直线AE和BD所成角的余弦值。
A
BD
补形平移法:
在已知图形外补作一个相同的几何体,以例于找出平行线。
解法一:
如图⑥,以四边形ABCD为上底补接一个高为4的长方体ABCD-A2B2C2D2,连结D2B,则DB1∥D2B,∴∠C1BD2或其补角就是异面直线DB1与BC1所成的角,连C1D2,则△C1D2C2为Rt△,cos∠C1BD2=
-,∴异面直线DB1与BC1所成的角是
arc
课堂练习:
11.求异面直线A1C1与BD1所成的角的余弦值。
在长方体ABCD-A1B1C1D1的面BC1上补上一个同样大小的长
方体,将A1C1平移到BE,则∠D1BE或其补角就是异面直
线A1C1与BD1所成的角,在△BD1E
中,
BD1=3,
二、利用模型求异面直线所成的角
模型1引理:
已知平面α的一条斜线a与平面α所成的角为θ1,平面α内的一条直线b与斜线a所成的角为θ,与它的射影a′所成的角为θ2。
求证:
cosθ=cosθ1·cosθ2。
在平面α的斜线a上取一点P,过点P分别作直线c、b的垂线PO、PB,垂足为O、连接OB,则OB⊥b.
AO在直角△AOP中,cosθ1=.APAB在直角△ABC中,cosθ2=.
AO
AB在直角△ABP中,cosθ=.APAOABAB⋅==cosθ所以cosθ1cosθ2=APAOAP
所以cosθ1cosθ2=cosθ
P
证明:
设PA是α的斜线,OA是PA在α上的射影,
OB//b,如图所示。
则∠PAO=θ1,∠PAB=θ,∠OAB=θ2,
过点O在平面α内作OB⊥AB,垂足为B,连结PB。
OAABAB可知PB⊥AB。
所以cosθ1=,cosθ=,cosθ2=。
PAOAPA所以cosθ=cosθ1·cosθ2。
利用这个模型来求两条异面直线a和b所成的角,即引理中的角θ。
需:
过a的一个平面α,以及该平面的一条斜线b以及b在α内的射影。
12.如图,MA⊥平面ABCD,四边形ABCD是正方形,且MA=AB=a,试求异面直线MB与
AC所成的角。
M
解:
由图可知,直线MB在平面ABCD内的射影为AB,
直线MB与平面ABCD所成的角为45°,
直线AC与直线MB的射影AB所成的角为45°,
所以直线AC与直MB所成的角为θ,满足A1cosθ=cos45°·cos45°=,所以直线AC与MB所成的角为60°。
2
13.已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面ABC上的射影为BC的中
点,则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为(D)
(A
)3(B
)(C
(D)4
解:
设BC的中点为D,连结A1D,AD,易知θ=∠A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角,
由三角余弦定理,易知cosθ=cos∠A1AD⋅cos∠DAB=ADAD3⋅=.故选DA1AAB4
14.如图,在立体图形P-ABCD中,底面ABCD是一个直角梯形,∠BAD=90°,AD//BC,AB=BC=a,AD=2a,且PA⊥底面ABCD,PD与底面成30°角,AE⊥PD于D。
求异面直线AE与CD所成的角的大小。
解:
过E作AD的平行线EF交AD于F,由PA⊥底面ABCD可知,直线AE在平面ABCD内的射影为AF,直线AE与平面ABCD所
成的角为∠DAE,其大小为60°,
射影AF与直线CD所成的角为∠CDA,其大小为45°,所以直线与直
线所成的角θ满足cosθ=cos60°·cos45°=
22,所以其大小为arccos。
B44
模型2定理:
四面体ADBCD两相对棱AC、BD间的夹角为θ,则有
证明:
BD∙A=BDBDCOSθ而BD=BA+AD∴BD∙A=BA+AD∙A=BA∙A+AD∙A()
AB2+AC2-BC2AD2+AC2-CD2
=-+2
2
AD2
+BC2
-AB2-CD2=2
所以有:
15.长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2cm,AD=1cm,求异面直线A1C1与BD1所成的角。
解:
连结BC1、A1B在四面体为,易求得
由定理得:
所以
二、向量法求异面直线所成的角
16.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是相邻两侧面BCC1B1及CDD1C1的中心。
求A1E和B1F所成的角的大小。
解法一:
(作图法)作图关键是平移直线,可平移其中一条直线,也可平移两条直线到某个点上。
作法:
连结B1E,取B1E中点G及A1B1中点H,1连结GH,有GH//A1E。
过F作CD的平行线RS,分别交CC1、DD1于点R、S,连结SH,连结GS。
B1S由B1H//C1D1//FS,B1H=FS,可得B1F//SH。
在△GHS中,设正方体边长为a。
QGH=a(作直线GQ//BC交BB1于点Q,4
BPE
连QH,可知△GQH为直角三角形),
26
a(连A1S,可知△HA1S为直角三角形),GS=a(作直线GP交BC于点P,连24
1
PD,可知四边形GPDS为直角梯形)。
∴Cos∠GHS=。
6
11所以直线A1E与直线B1F所成的角的余弦值为。
6
解法二:
(向量法)分析:
因为给出的立体图形是一个正方体,
HS=
所以可以在空间建立直角坐标系,从而可以利用点的坐标表示出空间中每一个向量,从而可以用向量的方法来求出两条直线间的夹角。
以B为原点,BC为x轴,BA为y轴,BB1为z轴,设BC长度为2
则点A1的坐标为(0,2,2),点E的坐标为(1,0,1),点B1的坐标为(0,0,2),点F的坐标为(2,1,1);所以向量EA,向量B1F的坐标为(2,1,-1),1的坐标为(-1,2,1)所以这两个向量的夹角θ满足11=
(-1)⨯2+2⨯1+1⨯(-1)(-1)2+
(2)2+
(1)2⋅
(2)2+
(1)2+(-1)2
1
6
=-
1。
6
所以直线A1E与直线B1F所成的角的余弦值为
17.已知空间四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA=AC=BD=a,M、N分别为BC和AD的中点,设AM和CN所成的角为α,求cosα的值。
(平移法也可)
解:
由已知得,空间向量,,不共面,且两两之间的夹角均为60°。
由向量的加法可以得到
11
,NC=-+AC=(+AC)
22所以向量与向量的夹角θ(即角α或者α的补角)满足
11
(-AD+AC)AM·NC=(AB+AC)·
22
111=(-AB·AD+AB·AC+(-AD)·AC+AC·AC)22211111
=a2(-+-+1)=a2;22424
1113
|AM|2=(AB+AC)(AB+AC)=(1+1+1)a2=a2;
2244
111132
|NC|2=(-AD+AC)·(-AD+AC)=+1-a2=a2。
所以cosα=|cosθ|=。
443222
18.已知空间四边形ABCD中,AB=CD=3,E、F分别是BC、AD上的点,且BE:
EC=AF:
FD=1:
2,EF=7,求AB和CD所成的角的大小。
解:
取AC上点G,使AG:
GC=1:
2。
连结EG、FG,
可知EG//AB,FG//CD,3EG=2AB,3FG=CD。
21由向量的知识可知=EG+GF=+,33设向量和的夹角为θ。
2121E则由|EF|2=(BA+CD)·(BA+CD)=4+1+4cosθ=7,3333
1得cosθ=,所以AB和CD所成的角为60°。
2
19.(思考题)如图,已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为a的正方形,侧棱AA1长为b,且AA1与AB、AD的夹角都是120°.
求:
(1)AC1的长;
(2)直线BD1与AC所成的角的余弦值.技巧与方法:
数量积公式及向量、模公式的巧用、变形用.
解:
(1)|AC1|2=AC1⋅AC1=(AA1+)(AA1+)
=(AA1++)(AA1++)
=|AA1|2+||2+||2+2AA1⋅+2AA1⋅+2⋅由已知得:
|AA1|2=b2,||2=||2=a2
==120︒,<,>=90︒
11∴AA1⋅=b⋅acos120︒=-ab,AA1⋅=b⋅acos120︒=-ab,⋅=0,22
∴|AC1|2=2a2+b2-2ab,∴|AC1|=2a2+b2-2ab.
(2)依题意得,||=2a,=+BD1=+=AA1+-∴⋅BD1=(+)(AA1+-)
=⋅AA1+⋅AA1+⋅+AD2-AB2-⋅=-ab
|BD1|2=1⋅BD1=(AA1+-)(AA1+-)
=|AA1|2+|AD|2+|AB|2+2AA1⋅-2⋅-2AA1⋅=2a2+b2
∴|BD1|=2a2+b2cos=1b
4a+2b22=-b4a+2b22∴BD1与AC所成角的余弦值为
.
判断是非:
(1)(3)(8)(10)正确,其余错;
选择:
1(C);2(D);3(D);4(D).5.
(2)相交,(5)平行,其余异面;(6):
(D),取AB中
点M,CC1中点N,连B1E和B1F;(7)答案:
(A),延长B1A1至M,使A1M=A1D1,连MA,取AB中点N.8(D);9(E);10(D);11(C);三.,取AD中点E,则∠MEN=90°;四.
五.7543,取AC中点F,连EF、BF,求得BE=AD=5,BF=AC=32;121212,分别取AC、B1C1的中点P、Q,则PMQN是矩形,设CC1=MQ=a,则MP=a;25
1六.,取AC中点F,连EF、BF,则EF=4,BE=BF=3.6
异面直线所成的角---作业
班级:
姓名:
学号:
一、判断是非(下列命题中,正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)梯形的四个顶点在同一平面内;
(2)对边相等的四边形是平行四边形;(3)平行于同一直线的两直线平行;(4)垂直于同一直线的两直线平行;(5)两条直线确定一个平面;(6)经过三点可以确定一个平面;(7)无公共点的两直线异面;(8)两异面直线无公共点;
(9)两异面直线可以同时平行于一直线;(10)两异面直线可以同时垂直于一直线;(11)不同在一个已知平面内的两直线异面;(12)互相垂直的两条直线必可确定一平面
二、选择题
1.没有公共点的两条直线的位置关系是()
(A)平行(B)异面(C)平行或异面(D)不能确定
2.分别在两相交平面内的两条直线的位置关系是()
(A)异面(B)平行(C)平行或异面(D)平行或异面或相交
3.两条异面直线指的是()
(A)在空间不相交的两条直线(B)某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线(C)分别位于两个不同平面的两条直线(D)不同在任一平面内的两条直线
4.a、b是异面直线,b、c也是异面直线,那么a、c的位置是()
(A)异面(B)异面或平行(C)异面或相交(D)相交、平行或异面
5.说出正方体中各对线段的位置关系:
(1)AB和CC1;
(2)A1C和BD1;(3)A1A和CB1;
(4)A1C1和CB1;(5)A1B1和DC;(6)BD1和DC.
6.在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中,M和N分别为A1B1和BB1的中点,那么直线AM与CN所成角的余弦值是(
)
(A(B(C)
35
(D)
25
7.如图,A1B1C1—ABC是直三棱柱(三侧面为矩形),∠BCA=90°,点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点若BC=CA=CC1,则BD1与AF1所成角的余弦值是()
(A
8.正方体ABCD—A1B1C1D1中,直线BC1与AC
(A)相交且垂直(B)相交但不垂直(C)异面且垂直(D)
异面但不垂直
9.设a、b、c是空间中的三条直线,下面给出四个命题:
①如果a⊥b、b⊥c,则a∥c;②如果a和b相交,b和c相交,则a和c也相交;③如果a、b是异面直线,c、b是异面直线,则a、c也是异面直线;④如果a和b共面,b和c共面,则a和c也共面,在上述四个命题中,真命题的个数是()
(A)4(B)3(C)2(D)1(E)010.如果直线l和n是异面直线,那么和直线l、n都垂直的直线(A)不一定存在(B)总共只有一条(C)总共可能有一条,也可能有两条(D)有无穷多条
11.如图,四面体SABC的各棱长都相等,如果E、F分别为SC、AB的中点,那么异面直线EF与SA所成的角等于
(A)90°(B)60°(C)45°(D)30°
求MN和BD所成角的正切值
B
MA
4
N
BS
(第11题)
1(B205
15
三.如图,四面体ABCD中,AC⊥BD,且AC=4,BD=3,M、N分别是AB、CD的中点,
(第三题)
四.如图,四面体ABCD中,AB⊥BC,AB⊥BD,BC⊥CD,且AB=BC=6,BD=8,E
是AD中点,求BE与CD所成角的余弦值
五.如图,正三棱柱的九条棱都相等,三个侧面都是正方体,M、N分别是BC和A1C1的中
点。
求MN与CC1所成角的余弦值。
六.如图,四面体ABCD中,E为AD中点,若AC=CD=DA=8,AB=BD=5,BC=7,
求BE与CD所成角的余弦值。
C
8
58
A
6
E
8
B
D
(第四题)A1
A
N
1
C(第五题)
A
4
E
4
D
7
(第六题)